1、北京市2005年高级中等学校招生统一考试（海淀卷）数学试卷 一. 选择题：（本题共24分，每小题4分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的。 1. 一个数的相反数是3，则这个数是（ ） A. 13B. 13C. 3 D. 3 2. 同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能事件的是（ ） A. 点数之和为12 B. 点数之和小于3 C. 点数之和大于4且小于8 D. 点数之和为13 3. 已知()|1202+=mn，则m+n的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 3 D. 不确定 4. 如图，C是O上一点，O是圆心，若 = C AOB35
2、，则的度数为（ ） A. 35 B. 70 C. 105 D. 150 5. 如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45o，若点D到电线杆底部点B的距离为a，则电线杆AB的长可表示为（ ） A. a B. 2a C. 32a D. 52a6. 用一块等边三角形的硬纸片（如图1）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图2），在ABC的每个顶点处各需剪掉一个四边形，其中四边形AMDN中，MDN的度数为（ ） A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 二. 填空题：（本题共24分，每小题4分） 7. 103000用科学记数法可表示为_
3、。 8. 函数yx=13中，自变量x的取值范围是_。 9. 某校初三（2）班想举办班徽设计比赛，全班50名同学，计划每位同学交设计方案一份，拟评选出10份为一等奖，那么该班某位同学获一等奖的概率为_。 10. 用“”“”定义新运算：对于任意实数a,b，都有a b=a和a b=b。例如，3 2=3，3 2=2，则（2006 2005）（2004 2003）=_。 11. 已知圆柱的底面半径为2cm，母线长为3cm，则该圆柱的侧面展开图的面积为_cm2。 12. 把编号为1，2，3，4，的若干盆花按下图所示摆放，花盆中的花按红、黄、蓝、紫的颜色依次循环排列，则第8行从左边数第6盆花的颜色为_色。
4、三. 解答题：（本题共30分，每小题5分） 13. 计算： + 2 2 12 30 4531 0(tan cos )14. 先化简，再求值：mm m mm+=3692322，其中。15. 解方程组xyxy=+=4121616. 解不等式2110 16xx+ 17. 如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE AC于E，CF BD于F。 求证BE=CF。 18. 如图，梯形ABCD中，AB/DC， = B90，E为BC上一点，且AE ED。若BC=12，DC=7，BE：EC=1：2，求AB的长。 四. 解答题：（本题共20分，第19、21题各5分，第20题4分，第22题6分） 19. 已知反
5、比例函数ykx=的图象经过点（4，12），若一次函数yx= +1的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m），求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标。 20. 甲、乙两名运动员在6次百米跑训练中的成绩如下。（单位：秒） 甲 10.8 10.9 11.0 10.7 11.2 10.8 乙 10.9 10.9 10.8 10.8 10.5 10.9 请你比较这两组数据中的众数、平均数、中位数，谈谈你的看法。 21. 如图，ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F。 （1）求证AB是O的切线； （2）求ABO腰上的高等于底边的一半，且AB = 43，求E
6、CF的长。 22. 印制一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的纸，对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页，；然后再排页码。如果想设计一本16页的毕业纪念册，请你按图1、图2、图3（图中的1，16表示页码）的方法折叠，在图4中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码。 16 1 图4 五. 解答题：（本题共22分，第23题6分，第24题8分，第25题8分） 23. 如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P。若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行。 （1）请判断木棍滑动的过程中
7、，点P到点O的距离是否变化，并简述理由。 （2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值。 24. 已知抛物线yx mxm=+22。 （1）求证此抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）若m是整数，抛物线yx mxm=+22与x轴交于整数点，求m的值； （3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B。若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标。 25. 已知ABC，分别以AB、BC、CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF。 （1）如图1，当ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四
8、个成立的结论； （2）如图2，当ABC ACB S SABC ABD中只有时，请你证明与 = 60的和等于SSBCE ACF与的和。 【试题答案】 一. 选择题：（本题共24分，每小题4分） 1. C 2. D 3. A 4. B 5. B 6. C 二. 填空题：（本题共24分，每小题4分） 7. 103 105. 8. x 3 9. 1510. 2005 11. 1212. 黄 三. 解答题：（本题共30分，每小题5分） 13. 解： + 2 2 12 30 4531 0(tan cos )= + 81223 14分 = +4235分 14. 解：mm m m+369232=+mmmmm3
9、63332()()2分 =+mm334分 当时，原式m = =+=2232355分 15. 解方程组xyxy=+=4112162()()解：由() ()1413，得xy= 1分 把代入，得() () ( )3224116yy+=即y = 2把代入，得yx=23 7()所以原方程组的解为xy=725分 16. 解：62 1 10 1()xx +1分 12 10 1 6xx+ 27x 3分 x 725分 所以原不等式的解集为x 7217. 证明：因为四边形ABCD为矩形 所以，则AC BD BO CO=1分 因为于，于所以又因为BE AC E CF BD FBEO CFOBOE COF=90则BO
10、E COF4分 所以BE=CF5分 18. 解：因为AB/DC，且= B90 所以及+=AEB BAE C90 901分 所以故分所以所以分又：，且及+=AEB CEDBAE CEDEAB DECABECBECDBE EC BC DC90231 2 12 7故分则分ABAB84743275=四. 解答题：（本题共20分，第19、21题各5分，第20题4分，第22题6分） 19. 解：由于反比例函数ykx=的图象过点（，）412所以解得分所以反比例函数的解析式为又因为（，）在的图象上所以分124212222212=kkyxBmyxm 所以（，）设由的图象平移后得到的函数解析式为由题意知的图象过（
11、，）所以解得分Byx yxbyxb Bbb211211213=+ =+=+=+=故平移后的一次函数解析式为令，则解得分所以平移后的一次函数图象与轴的交点坐标为（，）分yxyxxx=100 11410 520. 解：甲的众数、平均数、中位数依次为10.8 10.9 10.85 乙的众数、平均数、中位数依次为10.9 10.8 10.85 说明：众数、平均数、中位数比较正确一组给1分，看法合理给1分。 21. 解：（1）证明：连结OC1分 因为，所以OA OB AC BCOC AB=故AB是O的切线。2分 （2）过B点作BD AO，交AO延长线于D点 由题意有AB=2BD，由题目条件 有在直角三角
12、形中，根据正弦定义ABABD ABDAB=4312sin所以分在直角三角形中，则由勾股定理，求得分因为，且，所以由弧长公式可求得的长为分= = =AACO AC AB A AO OCOCOA OB A AOBECF30 31223 30 22430 12043522. 解： 8 9 16 1 5 12 13 4 说明：每填对一个页码给1分。 五. 填空题：（本题共22分，第23题6分，第24题8分，第25题8分） 23. 解：（1）不变。1分 理由：在直角三角形中，因为斜边AB的长不变，由性质有斜边中线OP长不变。 3分 （2）当AOB的斜边AB上的高h等于中线OP时，AOB的面积最大4分 如
13、图，若h与OP不相等，则总有hmm mx2248 240 12()（2）因为关于x的方程xmxm xmm2220242+= =+的根为()由m为整数，当()m+242为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点 设（其中为整数）()mnn+=24223分 所以因为与的奇偶性相同所以或 ( ) ( )() ()nm nmnm nmnmnmnmnm+ =+ +=+=+=+=22422222222 解得经检验，当时，关于的方程有整数根所以分mmxxmxmm=+=2220252（3）当m=2时，此二次函数解析式为yx x x=22211()则顶点A的坐标为（1，-1） 抛物线与x轴的交点为O（0，
14、0），B（2，0） 设抛物线的对称轴与x轴交于M1，则M110（，）在直角三角形AM O AO12中，由勾股定理，得=由抛物线的对称性可得，AB AO=2又即所以为等腰直角三角形分() ()222622 2+=+=OA AB OBABO则所以（，）为所求的点分MA MBM11110 7=若满足条件的点在轴上时，设坐标为（，）过作轴于，连结、，则My M yAANy N AM BM MA MB2222 2 20=由勾股定理，有；即MA MN AN MB MO OByy222222222222 2 211=+ =+=+()解得所以（，）为所求的点分综上所述满足条件的点的坐标为（，）或（，）yMM=
15、 101 810 01225. 解：（1）略 每正确地写出一个结论得1分，共4分。 （2）解法一：过A作AM/FC交BC于M，连结DM、EM 因为，所以所以所以四边形为平行四边形=ACB CAFACB CAFAF MCAMCF60 60/又因为所以平行四边形为菱形分FA FCAMCF=5所以，且在与中，所以所以AC CM AM MACBAC EMC CA CM ACB MCE CB CEBAC EMCBA EM= = =60在与中，所以所以则，所以四边形为平行四边形分ADM ABC AM AC DAM BAC DA BAADM ABCDM BCDM EB DB EMDBEM= =7所以即分SSSSSSSS SSBDM DAM MAC BEM EMC ACFABC ABD BCE ACF+ + = + +=+ 8解法二：过A作AM BC于M，设BC=a，AC=b 而，则可求得 = =+ACB AB a b ab602223分 可求得类似的可求得又分所以分SbbbSaS ababSabSS SSACFBCE ABDABCABC ABD BCE ACF =+=+=+123234343434782222()
