1、2005 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择）题两部分，满分 150 分 .考试用时 120 分钟 . 第卷（选择题，共 60 分） 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 24 RS = 如果事件 A、 B 相互独立，那么 P(AB)=P(A)P(B) 其中 R 表示球的半径 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 334RV =球次的概率knkknnPPCkP= )1()( 其中 R 表示球的半径 一、选择题：本大题共 12 小题，每小
2、题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1复数 .111+=iiz 在复平面内， z 所对应的点在 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2极限 )(lim0xfxx存在是函数 )(xf 在点0xx = 处连续的 （ ） A充分而不必要的条件 B必要而不充分的条件 C充要条件 D既不充分也不必要的条件 3设袋中有 80 个红球， 20 个白球，若从袋中任取 10 个球，则其中恰有 6 个红球的概率为 （ ） A10100610480CCC B10100410680CCC C10100620480CCC D10100420680CC
3、C 4已知 m、 n 是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命 题：若 /, 则 mm ； 若 /, 则 ； 若 /,/, 则nmnm ； 若 m、 n 是异面直线， /,/,/, 则nnmm 其中真命题是 （ ） A和 B和 C和 D和 5函数 1ln(2+= xxy 的反函数是 （ ） A2xxeey+= B2xxeey+= C2xxeey= D2xxeey= 6若 011log22+，则该函数的图象是 （ ） A B C D 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 . 13nxx )2(2121 的展开式中常数项是
4、 . 14如图，正方体的棱长为 1， C、 D 分别是两条棱的中点， A、 B、 M 是顶点，那么点 M 到截面 ABCD 的距离是 . 15用 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8 组成没有重复数字的八位数，要求 1 和 2 相邻， 3 与 4 相邻， 5与 6 相邻，而 7 与 8 不相邻，这样的八位数共有 个 .（用数字作答） 16 是正实数，设 )(cos)(| += xxfS 是奇函数 ，若对每个实数 a， )1,( + aaS的元素不超过 2 个，且有 a使 )1,( + aaS含 2 个元素，则 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 .解答应写出
5、文字说明，证明过程或演算步骤 . 17 （本小题满分 12 分） 已知三棱锥 P ABC 中， E、 F 分别是 AC、 AB 的中点， ABC， PEF 都是正三角形， PF AB. （）证明 PC平面 PAB； （）求二面角 P AB C 的平面角的余弦值； （）若点 P、 A、 B、 C 在一个表面积为 12的 球面上，求 ABC 的边长 . 18 （本小题满分 12 分） 如图，在直径为 1 的圆 O 中，作一关于圆心对称、 邻边互相垂直的十字形，其中 .0 xy （）将十字形的面积表示为 的函数； （） 为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？ 19 （本小题满分 12 分） 已
6、知函数 ).1(13)( += xxxxf 设数列na 满足 )(,111 nnafaa =+，数列nb 满足).(|,3|*21NnbbbSabnnnn+= null （）用数学归纳法证明12)13(nnnb ； （）证明 .332=+ babyax的左、右焦点分别是 F1（ c， 0） 、 F2（ c， 0） ， Q 是椭圆外的动点，满足 .2|1aQF = 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q 上，并且满足 .0|,022= TFTFPT （）设 x为点 P 的横坐标，证明 xacaPF +=|1； （）求点 T 的轨迹 C 的方程； （）试问：在点 T 的轨迹
7、 C 上，是否存在点 M， 使 F1MF2的面积 S= .2b 若存在，求 F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由 . 22 （本小题满分 12 分） 函数 )(xfy = 在区间（ 0， +）内可导，导函数 )(xf 是减函数，且 .0)( xf 设 mkxyx +=+ ),0(0是曲线 )(xfy = 在点（ )(,00xfx ）得的切线方程，并设函数 .)( mkxxg += （）用0x 、 )(0xf 、 )(0xf 表示 m； （）证明：当 )()(,),0(0xfxgx + 时 ； （）若关于 x的不等式 ),0231322+ 在xbaxx 上恒成立，其中 a、 b 为实数，
8、求 b 的取值范围及 a 与 b 所满足的关系 . 2005 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学参考答案与评分标准 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空题
9、不给中间分。 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分 . 1.B 2.B 3.D 4.D 5.C 6.C 7.C 8.B 9.A 10.A 11.B 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 16 分。 13 160 143215 576 16 2,( 三、解答题 17本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考 查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分 12 分 . （）证明： 连结 CF. .,2121PCAPACBCEFPE = ., PCFABABPFABCF 平面 ., PABPCA
10、BPCPCFPC 平面平面 4 分 （）解法一： , CFABPFAB PFC 为所求二面角的平面角 . 设 AB=a，则 AB=a，则aCFaEFPF23,2= .33232cos =aaPFC 8 分 解法二：设 P 在平面 ABC 内的射影为 O. PAF PABPAE , .PAC 得 PA=PB=PC. 于是 O 是 ABC 的中心 . PFO 为所求二面角的平面角 . 设 AB=a，则 .2331,2aOFaPF = .33cos =PFOFPFO 8 分 （）解法一：设 PA=x，球半径为 R. , PBPAPABPC 平面 124.232= RRx ， ABCxR = .2.3
11、 得 的边长为 22 . 12 分 解法二：延长 PO 交球面于 D，那么 PD 是球的直径 . 连结 OA、 AD，可知 PAD 为直角三角形 . 设 AB=x，球半径为 R. ,2332,66tan.32,1242xOAxPFOOFPOPDR = 22.22).6632(66)33(2的边长为于是 ABCxxxx = . 12 分 18本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和 三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力 . 满分 12 分 . （）解：设 S 为十字形的面积，则22 xxyS = ).24(coscossin22 +
12、 acxacaax 知 ，所以 .|1xacaPF += 3 分 证法二：设点 P 的坐标为 ).,( yx 记 ,|,|2211rPFrPF = 则 .)(,)(222221ycxrycxr +=+= 由 .|,4,211222121xacarPFcxrrarr +=+ 得 证法三：设点 P 的坐标为 ).,( yx 椭圆的左准线方程为 .0=+ xaca 由椭圆第二定义得accaxPF=+ |21 ，即.|21xacacaxacPF +=+=由 0, + acxacaax 知 ，所以 .|1xacaPF += 3 分 （）解法一：设点 T 的坐标为 ).,( yx 当 0| =PT 时，点
13、（ a， 0）和点（ a， 0）在轨迹上 . 当 | 0|0|2 TFPT 且 时，由 0|2= TFPT ，得2TFPT . 又 |2PFPQ = ，所以 T 为线段 F2Q 的中点 . 在 QF1F2中， aQFOT = |21|1，所以有 .222ayx =+ 综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是 .222ayx =+ 7 分 解法二：设点 T 的坐标为 ).,( yx 当 0| =PT 时，点（ a， 0）和点（ a， 0）在轨迹上 . 当 | 0|0|2 TFPT 且 时，由 02=TFPT ，得2TFPT . 又 |2PFPQ = ，所以 T 为线段 F2Q 的中点 . 设点 Q
14、 的坐标为（ yx , ） ，则=+=.2,2yycxx因此=.2,2yycxx 由 aQF 2|1= 得 .4)(222aycx =+ 将代入，可得 .222ayx =+ 综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是 .222ayx =+ 7 分 （）解法一： C 上存在点 M（00, yx ）使 S=2b 的充要条件是 =+.|221,2022020bycayx由得 ay |0，由得 .|20cby 所以，当cba2时，存在点 M，使 S=2b ； 当cba2 xhxx 时 ； 当 0)(,0a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立 . 0)1(,122+ baxxbaxx 即 对任意
15、),0 +x 成立的充要条件是 .)1(221ba 另一方面，由于3223)( xxf =满足前述题设中关于函数 )(xfy = 的条件，利用（ II）的结果可知，3223xbax =+的充要条件是：过点（ 0， b ）与曲线 3223xy =相切的直线的斜率大于 a ，该切线的方程为.)2(21bxby +=于是 3223xbax +的充要条件是 .)2(21ba 10 分 综上，不等式322231 xbaxx + 对任意 ),0 +x 成立的充要条件是 .)1(2)2(2121bab 显然，存在 a、 b 使式成立的充要条件是：不等式 .)1(2)2(2121bb 有解、解不等式得.422
16、422 +b 因此，式即为 b 的取值范围，式即为实数在 a 与 b 所满足的关系 . 12 分 （）解法二： 0,10 ab 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立 . 0)1(,122+ baxxbaxx 即 对任意 ),0 +x 成立的充要条件是 .)1(221ba 8 分 令3223)( xbaxx += ，于是3223xbax +对任意 ),0 +x 成立的充要条件是 .0)( x 由 .0)(331= axxax 得 当30ax 时， 0)( x ， 所以， 当3= ax 时， )(x 取最小值 .因此 0)( x成立的充要条件是 0)(3a ，即 .)2(21 ba 10 分 综上，不等式322231 xbaxx +对任意 ),0 +x 成立的充要条件是 .)1(2)2(2121bab 显然，存在 a、 b 使式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2( bb 有解、解不等式得.422422 +b因此，式即为 b 的取值范围，式即为实数在 a 与 b 所满足的关系 . 12 分
