1、2005 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（文史类） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1至 2 页，第 II 卷 3 至 9 页，共150 分。考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷（选择题共 40 分） 注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、本大题共 8 小题每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
2、求的一项 . （ 1）设集合 M=x| x1， P=x| x21，则下列关系中正确的是 （ A） M P （ B） PM （ C） MP （ D） M PR= （ 2）为了得到函数321xy=的图象，只需把函数 2xy = 上所有点 （ A）向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 （ B）向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 （ C）向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 （ D）向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 （ 3） “ m=21”是“直线 (m+2)x+3my+1=0 与直线 (m 2)x+(m+2)y 3=0 相互垂直”
3、的 （ A）充分必要条件 （ B）充分而不必要条件 （ C）必要而不充分条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 4）若 |1,|2,abcab=+nullnullnullnullnull，且 canullnull，则向量 anull与 bnull的夹角为 （ A） 30 （ B） 60 （ C） 120 （ D） 150 （ 5）从原点向圆 x2 y2 12y 27=0 作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为 （ A）6（ B）3（ C）2（ D）32（ 6）对任意的锐角 ，下列不等关系中正确的是 第 2 页 共 8 页 （ A） sin(+)sin+sin （ B） sin(+)cos+co
4、s （ C） cos(+)0；12 1 2() ()()22x xfxfxf+0）与直线 l2： y kx 之间的阴影区域（不含边界）记为 W，其左半部分记为 W1，右半部分记为第 4 页 共 8 页 W2 （ I）分别用不等式组表示 W1和 W2； （ II）若区域 W 中的动点 P(x， y)到 l1， l2的距离之积等于 d2，求点 P 的轨迹 C 的方程； （ III）设不过原点 O 的直线 l 与（ II）中的曲线 C 相交于 M1， M2两点，且与 l1， l2分别交于 M3， M4两点求证 OM1M2的重心与 OM3M4的重心重合 第 5 页 共 8 页 2005 年普通高等学校
5、招生全国统一考试数学 （文史类） （北京卷）参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （ 1） C （ 2） A （ 3） B （ 4） C （ 5） B （ 6） D （ 7） C （ 8） B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （ 9） x= 1； (1, 0) （ 10） 20 （ 11） 1, 2) (2, + ) （ 12） 2 （ 13） （ 14） 65； 20 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （ 15） （共 12 分） 解： （ I） tan2=2, 22tan22 42tan14 31tan2=;
6、 所以tan tantan 14tan( )41ta1tan tan4+= =41134713+=+； （ II）由 (I), tan =34, 所以6sin cos3sin 2cos +=6tan 13tan 2+=46( ) 173463( ) 23+=. （ 16） （共 14 分） （ I）直三棱柱 ABC A1B1C1，底面三边长 AC=3， BC=4AB=5， AC BC，且 BC1在平面 ABC 内的射影为 BC， AC BC1； （ II）设 CB1与 C1B 的交点为 E，连结 DE， D是 AB 的中点， E 是 BC1的中点， DE/AC1， DE平面 CDB1， AC1
7、 平面 CDB1， AC1/平面 CDB1； （ III） DE/AC1， CED 为 AC1与 B1C 所成的角， 第 6 页 共 8 页 在 CED 中， ED=21AC1=25， CD=21AB=25， CE=21CB1=2 2 ， 822cos5522 22CED= =， 异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值225. （ 17） （共 13 分） 解： （ I）由 a1=1，113nnaS+= ， n=1， 2， 3，得 211111333aSa=，32 1211 4()33 9aS aa=+=，43 12311 16()33 27aS aaa=+=， 由1111()33nn n
8、n naa SS a+= = （ n 2） ，得143nnaa+= （ n 2） ， 又 a2=31，所以 an=214()33n(n 2), 数列 an的通项公式为21114() 233nnnan=； 第 7 页 共 8 页 （ II ）由（ I ）可知24 2,naa anull 是首项为31，公比为24()3项数为 n 的等比数列， 246 2naaa a+null =22241()1343( ) 143731()3nn=. （ 18） （共 13 分） 解： （ I）甲恰好击中目标的 2 次的概率为23313()28C = （ II）乙至少击中目标 2 次的概率为22 333321 2
9、 20() () ()33 3 27CC+ =； （ III）设乙恰好比甲多击中目标 2 次为事件 A，乙恰击中目标 2 次且甲恰击中目标 0 次为事件 B1，乙恰击中目标 3 次且甲恰击中目标 1 次为事件 B2，则 A B1 B2， B1， B2为互斥事件 22 03 3313123 3 321 1 2 1() ( ) ( ) () () () ()33 2 3 2PA PB PB C C C C=+= + =11118 9 6+ = . 所以，乙恰好比甲多击中目标 2 次的概率为16. （ 19） （共 14 分） 解： （ I） f (x) 3x2 6x 9令 f (x)3， 所以函数
10、 f(x)的单调递减区间为（， 1） ， （ 3，） （ II）因为 f( 2) 8 12 18 a=2 a， f(2) 8 12 18 a 22 a， 所以 f(2)f( 2)因为在（ 1， 3）上 f (x)0，所以 f(x)在 1, 2上单调递增，又由于 f(x)在 2，1上单调递减，因此 f(2)和 f( 1)分别是 f(x)在区间 2， 2上的最大值和最小值，于是有 22 a 20，解得 a 2 故 f(x)= x3 3x2 9x 2，因此 f( 1) 1 3 9 2 7， 即函数 f(x)在区间 2， 2上的最小值为 7 （ 20） （共 14 分） 解： （ I） W1=(x,
11、y)| kx0， （ II）直线 l1： kx y 0，直线 l2： kx y 0，由题意得 222|11kx y kx ydkk+=+, 即22 222|1kx ydk=+， 由 P(x, y) W，知 k2x2 y20， 第 8 页 共 8 页 所以 22 2221kx ydk=+，即22 2 2 2(1) 0kx y k d + =, 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为22 2 2 2(1) 0kx y k d + =； （ III）当直线 l 与 x 轴垂直时，可设直线 l 的方程为 x a（ a 0） 由于直线 l，曲线 C 关于 x 轴对称，且l1与 l2关于 x 轴对称，于是 M
12、1M2， M3M4的中点坐标都为（ a， 0） ，所以 OM1M2， OM3M4的重心坐标都为（32a， 0） ，即它们的重心重合， 当直线 l1与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y=mx+n（ n 0） 由22 2 2 2(1) 0kx y k dymxn + =+，得222 2222()2 0kmx mnxnkdd = 由直线 l 与曲线 C 有两个不同交点，可知 k2 m2 0 且 =2222222(2 ) 4( ) ( )mn k m n k d d+0 设 M1， M2的坐标分别为 (x1, y1)， (x2, y2)， 则12 222mnxxkm+=, 12 12()2y ymxx n+= +, 设 M3， M4的坐标分别为 (x3, y3)， (x4, y4)， 由及ykx y kxymxn ymxn= =+ =+得34,nnxxkm km= +从而34 12222mnx xxxkm+= =+， 所以 y3+y4=m(x3+x4)+2n m(x1+x2)+2n y1+y2, 于是 OM1M2的重心与 OM3M4的重心也重合
