1、2005 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（理工农医类） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1至 2 页，第 II 卷 3 至 9 页，共150 分。考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷（选择题共 40 分） 注意事项： 1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、本大题共 8 小题每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
2、目要求的一项 . （ 1）设全集 U=R，集合 M=x| x1， P=x| x21，则下列关系中正确的是 （ A） M P （ B） PM （ C） MP （ D）UMP= （ 2） “ m=21”是“直线 (m+2)x+3my+1=0 与直线 (m 2)x+(m+2)y 3=0 相互垂直”的 （ A）充分必要条件 （ B）充分而不必要条件 （ C）必要而不充分条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 3）若 |1,|2,abcab=+nullnullnullnullnull，且 canullnull，则向量 anull与 bnull的夹角为 （ A） 30 （ B） 60 （ C） 120 （
3、 D） 150 （ 4）从原点向圆 x2 y2 12y 27=0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 （ A） （ B） 2 （ C） 4 （ D） 6 （ 5）对任意的锐角 ，下列不等关系中正确的是 （ A） sin(+)sin+sin （ B） sin(+)cos+cos （ C） cos(+)0；12 1 2() ()()22x xfxfxf+0）与直线 l2： y kx 之间的阴影区域（不含边界）记为 W，其左半部分记为 W1，右半部分记为W2 （ I）分别用不等式组表示 W1和 W2； 4（ II）若区域 W 中的动点 P(x， y)到 l1， l2的距离之积等于 d2，求点
4、 P 的轨迹 C 的方程； （ III）设不过原点 O 的直线 l 与（ II）中的曲线 C 相交于 M1， M2两点，且与 l1， l2分别交于 M3， M4两点求证 OM1M2的重心与 OM3M4的重心重合 （ 19） （本小题共 12 分） 设数列 an的首项 a1=a41，且11为为为21为为为4nnnanaan+=+, 记2114nnba=， n l， 2， 3， （ I）求 a2， a3； （ II）判断数列 bn是否为等比数列，并证明你的结论； （ III）求123lim( )nnbbb b+null （ 20） （本小题共 14 分） 设 f(x)是定义在 0, 1上的函数，若
5、存在 x* (0， 1)，使得 f(x)在 0, x*上单调递增，在 x*， 1上单调递减，则称 f(x)为 0, 1上的单峰函数， x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间 对任意的 0， l上的单峰函数 f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法 （ I）证明：对任意的 x1， x2 (0， 1)， x1 x2，若 f(x1) f(x2)，则 (0， x2)为含峰区间；若 f(x1) f(x2)，则 (x*，1)为含峰区间； （ II）对给定的 r（ 0 r 0.5） ，证明：存在 x1， x2 (0， 1)，满足 x2 x1 2r，使得由（ I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5 r； （
6、 III）选取 x1， x2 (0, 1)， x1 x2，由（ I）可确定含峰区间为 (0， x2)或 (x1， 1)，在所得的含峰区间内选取x3，由 x3与 x1或 x3与 x2类似地可确定一个新的含峰区间在第一次确定的含峰区间为 (0， x2)的情况下，试确定 x1， x2， x3的值，满足两两之差的绝对值不小于 0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到 0.34. （区间长度等于区间的右端点与左端点之差） 第 5 页 共 10 页 2005 年普通高等学校招生全国统一考试数学 （理工农医类） （北京卷）参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （ 1） C
7、 （ 2） B （ 3） C （ 4） B （ 5） D （ 6） C （ 7） A （ 8） A 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （ 9）38（ 10）34；71（ 11） 15 （ 12） (1, e)； e （ 13） （ 14）21n(n 3)； 2n 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （ 15） （共 13 分） 解： （ I） f (x) 3x2 6x 9令 f (x)3， 所以函数 f(x)的单调递减区间为（， 1） ， （ 3，） （ II）因为 f( 2) 8 12 18 a=2 a， f(2) 8 12 18 a 22 a， 所
8、以 f(2)f( 2)因为在（ 1， 3）上 f (x)0，所以 f(x)在 1, 2上单调递增，又由于 f(x)在 2，1上单调递减，因此 f(2)和 f( 1)分别是 f(x)在区间 2， 2上的最大值和最小值，于是有 22 a 20，解得 a 2 故 f(x)= x3 3x2 9x 2，因此 f( 1) 1 3 9 2 7， 即函数 f(x)在区间 2， 2上的最小值为 7 （ 16） （共 14 分） （ I）在直四棱柱 ABCD AB1C1D1中， AA1底面 ABCD AC 是 A1C 在平面 ABCD 上的射影 BD AC BD A1C； （ II）连结 A1E， C1E， A1
9、C1 与（ I）同理可证 BD A1E， BD C1E， A1EC1为二面角 A1 BD C1的平面角 AD DC， A1D1C1= ADC 90， 又 A1D1=AD 2， D1C1= DC 2 3 ， AA1= 3 且 AC BD， 6 A1C1 4， AE 1， EC 3， A1E 2， C1E 2 3 ， 在 A1EC1中， A1C12 A1E2 C1E2， A1EC1 90， 即二面角 A1 BD C1的大小为 90 （ III）过 B 作 BF/AD 交 AC 于 F，连结 FC1， 则 C1BF 就是 AD 与 BC1所成的角 AB AD 2， BD AC， AE 1， BF=2
10、， EF 1， FC 2， BC DC， FC1= 7 ， BC1 15 ， 在 BFC1 中，115 4 7 15cos512 15CBF+= =, C1BF=15arccos5即异面直线 AD 与 BC1所成角的大小为15arccos5 第 7 页 共 10 页 （ 17） （共 13 分） 解： （ I） P( 0)03311()28C = ， P( 1)133()28C = ， P( 2)23313()28C = ， 8P( 3)33311()28C = ， 的概率分布如下表： E13 3101231.588 88+= , （或 E=321=1.5） ； （ II）乙至多击中目标 2
11、次的概率为 13332()3C =1927； （ III）设甲恰比乙多击中目标 2 次为事件 A，甲恰击中目标 2 次且乙恰击中目标 0 次为事件 B1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件 B2，则 A B1 B2， B1， B2为互斥事件 1231 12 1() ( ) ( )827 89 24PA PB PB=+=+= 所以，甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率为124. （ 18） （共 14 分） 解： （ I） W1=(x, y)| kx0， （ II）直线 l1： kx y 0，直线 l2： kx y 0，由题意得 222|11kx y kx ydkk+=+, 即22 22
12、2|1kx ydk=+， 由 P(x, y) W，知 k2x2 y20， 所以 22 2221kx ydk=+，即22 2 2 2(1) 0kx y k d + =, 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为22 2 2 2(1) 0kx y k d + =； （ III）当直线 l 与 x 轴垂直时，可设直线 l 的方程为 x a（ a 0） 由于直线 l，曲线 C 关于 x 轴对称，且l1与 l2关于 x 轴对称，于是 M1M2， M3M4的中点坐标都为（ a， 0） ，所以 OM1M2， OM3M4的重心坐标都为（32a， 0） ，即它们的重心重合， 当直线 l1与 x 轴不垂直时，设直线 l
13、 的方程为 y=mx+n（ n 0） 由22 2 2 2(1) 0kx y k dymxn + =+，得222 2222()2 0kmx mnxnkdd = 由直线 l 与曲线 C 有两个不同交点，可知 k2 m2 0 且 0 1 2 3 P 81838381第 9 页 共 10 页 =2222222(2 ) 4( ) ( )mn k m n k d d+0 设 M1， M2的坐标分别为 (x1, y1)， (x2, y2)， 则12 222mnxxkm+=, 12 12()2y ymxx n+= +, 设 M3， M4的坐标分别为 (x3, y3)， (x4, y4)， 由及ykx y kx
14、ymxn ymxn= =+ =+得34,nnxxkm km= +从而34 12222mnx xxxkm+= =+， 所以 y3+y4=m(x3+x4)+2n m(x1+x2)+2n y1+y2, 于是 OM1M2的重心与 OM3M4的重心也重合 （ 19） （共 12 分） 解： （ I） a2 a1+41=a+41， a3=21a2=21a+81； （ II） a4=a3+41=21a+83, 所以 a5=21a4=41a+316, 所以 b1=a141=a41, b2=a341=21(a41), b3=a541=41(a41), 猜想： bn是公比为21的等比数列 证明如下： 因为 bn+
15、1 a2n+141=21a2n41=21(a2n141)=21bn, (n N*) 所以 bn是首项为 a41, 公比为21的等比数列 （ III）11121(1 )12lim( ) lim 2( )1141122nnnnbbbb b a + = = = null . （ 20） （共 14 分） （ I）证明：设 x*为 f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知， f(x)在 0, x*上单调递增，在 x*, 1上单调递减 当 f(x1) f(x2)时，假设 x*(0, x2)，则 x1f(x1)， 这与 f(x1) f(x2)矛盾，所以 x* (0, x2)，即 (0, x2)是含峰区间 .
16、 当 f(x1) f(x2)时，假设 x*( x2, 1)，则 x*f(x2)， 10这与 f(x1) f(x2)矛盾，所以 x* (x1, 1)，即 (x1, 1)是含峰区间 . （ II）证明：由（ I）的结论可知： 当 f(x1) f(x2)时，含峰区间的长度为 l1 x2； 当 f(x1) f(x2)时，含峰区间的长度为 l2=1 x1； 对于上述两种情况，由题意得 210.510.5x rx r+ 由得 1 x2 x1 1+2r，即 x1 x1 2r. 又因为 x2 x1 2r，所以 x2 x1=2r, 将代入得 x1 0.5 r, x2 0.5 r， 由和解得 x1 0.5 r， x2 0.5 r 所以这时含峰区间的长度 l1 l1 0.5 r，即存在 x1， x2使得所确定的含峰区间的长度不大于 0.5 r （ III）解：对先选择的 x1； x2， x1x3时，含峰区间的长度为 x1 由条件 x1 x3 0.02，得 x1 (1 2x1) 0.02，从而 x1 0.34 因此，为了将含峰区间的长度缩短到 0.34，只要取 x1 0.34， x2 0.66， x3=0.32
