1、第 1 页 共 9 页 2005 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学（必修+选修II） 第 I 卷（共 60 分） 参考公式：如果事件 A、 B 互斥，那么 ()()()PA B PA PB+ =+ 如果事件 A、 B 相互独立，那么 ( ) ()()PAB PAPB = 一选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项 . （ 1）()()221111iiii+=+（ ） （ A） i （ B） i （ C） 1 （ D） 1 （ 2）函数 ()10xyxx=的反函数图像大致是 （ ） （ A） （ B） （ C
2、） （ D） （ 3）已知函数 sin cos12 12yx x = ，则下列判断正确的是（ ） （ A）此函数的最小周期为 2 ，其图像的一个对称中心是 ,012（ B）此函数的最小周期为 ，其图像的一个对称中心是 ,012（ C）此函数的最小周期为 2 ，其图像的一个对称中心是 ,06（ D）此函数的最小周期为 ，其图像的一个对称中心是 ,06（ 4）下列函数既是奇函数，又在区间 1,1 上单调递减的是（ ） xy1oxy1oxyo1xyo1第 2 页 共 9 页 （ A） () sinf xx= （ B） () 1f xx= + （ C）()1()2x xf xaa=+（ D）2() l
3、n2xfxx=+（ 5）如果3213nxx的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中31x的系数是（ ） （ A） 7 （ B） 7 （ C） 21 （ D） 21 （ 6）函数21sin( ), 1 0,(),0.xxxfxex （ B）(1 ) (1 )log (1 ) log (1 )aaaa+ 的右焦点为 F ，右准线 l与两条渐近线交于 P、 Q两点，如果 PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率 _e= . (15)设 x 、 y 满足约束条件5,3212,03,04.xyxyxy+则使得目标函数 65zxy= + 的最大的点 (, )x y 是_ . (16)已知 mn、 是不同
4、的直线， 、 是不重合的平面，给出下列命题： 若 / , , ,mn 则 /mn 若 ,/,mn m 则 / 若 ,/mnmn ，则 / ,mn是两条异面直线，若/ , / , / , /mmnn ，则 / 上面的命题中，真命题的序号是 _ （写出所有真命题的序号） 三解答题：本大题共 6 小题，共74 分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17） （本小题满分 12 分） 已知向量 (cos ,sin )m =nullnull和( )()2sin,cos , ,2n = null，且82,5mn+=nullnull null求cos28 +的值. (18)(本小题满分 12 分) 袋
5、中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为1,7现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个第 4 页 共 9 页 球在每一次被取出的机会是等可能的，用 表示取球终止所需要的取球次数. （I）求袋中所有的白球的个数； （II）求随机变量 的概率分布； （III）求甲取到白球的概率. （19） （本小题满分 12 分） 已知 1x= 是函数32() 3( 1) 1f xmx m xnx= +的一个极值点，其中 ,0mn Rm . （I）求动圆圆心 C的轨迹的方程； （II） 设A、 B是轨迹 C上异于原点 O
6、的两个不同点， 直线 OA和 OB的倾斜角分别为 和 ， 当 , A1ABCD1BF1C1DEyAxoBMN第 5 页 共 9 页 变化且 + 为定值 (0 ) + ，当 x变化时， ()f x 与 ()f x 的变化如下表： x 2,1m +21m+ 21,1m+1 ()1, + ()f x 0 0 0 ，即22( 1) 2 0mx m x+ 又 0m又()01 1211nnnnnn n nCC C C=+ = + + +null 2221nn+ + 所以 () ( )12 2 1 0nnn+即 0 从而 2(1)f 223 13nn 22 （ 考查知识点:圆锥曲线） 第 9 页 共 9 页
7、 解： （I）如图，设 M 为动圆圆心， ,02p为记为 F ，过点 M 作直线2px= 的垂线，垂足为 N ，由题意知： MFMN= 即动点 M 到定点 F 与定直线2px= 的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中 ,02pF为焦点，2px= 为准线，所以轨迹方程为22( 0)ypxP=； （II） 如图， 设 ()()11 2 2, ,Axy Bx y ， 由题意得12x x （否则 + = ） 且12,0xx 所以直线 AB的斜率存在，设其方程为 ykxb=+，显然221212,22yyxxpp=，将 ykxb= + 与22( 0)ypxP=联立消去 x，得2220ky
8、 py pb+=由韦达定理知12 1222,p pbyy yykk+= = （1）当2 = 时，即2+= 时， tan tan 1 = 所以1212 12121, 0yyxx yyxx =，221212204yyyyp=所以2124y yp= 由知：224pbpk= 所以 2.bpk= 因此直线 AB 的方程可表示为2ykx Pk=+ ，即 (2) 0kx P y+ =所以直线 AB恒过定点( )2,0p （2）当2 时，由 + = ，得 tan tan( ) = + =tan tan1tan tan += 122122( )4p yyy yp+将式代入上式整理化简可得：2tan2pbpk =，所以22tanpbpk=+， 此时，直线 AB的方程可表示为 y kx=+22tanppk+ 即2(2) 0tanpkx p y+ =所以直线 AB恒过定点22,tanpp所以由（1） （2）知，当2 = 时，直线 AB 恒过定点 ( )2,0p ，当2 时直线 AB 恒过定点22,tanpp.
