1、第 1 页 共 11 页 2005 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 理科数学 YCY 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 第 I 卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页，共 150分 第I卷 注意事项 ： 1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效 3考试结束，临考员将试题卷、答题卡
2、一并收回 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 24 RS = 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P(AB)=P(A)P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 334RV =次的概率knkknnPPCkP= )1()( 其中 R 表示球的半径 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 =+. 15如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB=BC= 2 ， BB1
3、=2，null90=ABC ， E、 F 分别为 AA1、 C1B1的中点，沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度为 . 16以下同个关于圆锥曲线的命题中 设 A、 B 为两个定点， k 为非零常数， kPBPA = | ，则动点 P 的轨迹为双曲线； 设定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB， O 为坐标原点，若 ),(21OBOAOP += 则动点 P 的轨迹为椭圆； 方程 02522=+ xx 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； 双曲线 13519252222=+= yxyx与椭圆 有相同的焦点 . 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共 6
4、 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17 （本小题满分 12 分） 已知函数baxxxf+=2)( （ a， b 为常数）且方程 f(x) x+12=0 有两个实根为 x1=3, x2=4. （ 1）求函数 f(x)的解析式； （ 2）设 k1，解关于 x 的不等式；xkxkxf+ kxxx 当 ).,2(),1(,21 += xxxk 解集为不等式为时 ),()2,1(,2 + kxk 解集为时当 . 18解： )42tan()42tan()42sin(2cos22)(+=xxxxbaxf 12cos22cos2sin22tan112tan2tan12tan1)
5、2cos222sin22(2cos222+=+=xxxxxxxxxx.cossin xx+= xxxxxfxfxfxfsincoscossin)()(:,0)()(+=+=+ 即令.0cos2 = x .0)()(,02,2=+= xfxfxx 使所以存在实数可得 第 8 页 共 11 页 19解： （ 1）设正面出现的次数为 m，反面出现的次数为 n，则=+=915|nmnm，可得： .9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当=nmnmnmnmnmnm（ 2） ;645)21(2)7(;161322)21(2)5(7155= C
6、PP .322756455964571615;64556451611)9(=+=EP20解法（一） （ 1）证明： AE平面 AA1DD1， A1D AD1， A1D D1E （ 2）设点 E 到面 ACD1的距离为 h，在 ACD1中， AC=CD1= 5 ， AD1= 2 ， 故 .2121,232152211=BCAESSACECAD而 .31,23121,3131111=hhhSDDSVCADAECAECD（ 3）过 D 作 DH CE 于 H，连 D1H、 DE，则 D1H CE， DHD1为二面角 D1 EC D 的平面角 . 设 AE=x，则 BE=2 x ,1,.1,4,211
7、xEHDHERtxDEADERtDHDHDDHDRt=+=中在中在中在.4,32.32543.54,3122的大小为二面角时中在中在DECDAExxxxxxCECBERtCHDHCRt=+=+=解法（二） ：以 D 为坐标原点，直线 DA， DC， DD1分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设 AE=x，则 A1（ 1， 0， 1） ， D1（ 0， 0， 1） ， E（ 1， x， 0） ， A（ 1， 0， 0） C（ 0， 2， 0） （ 1） .,0)1,1(),1,0,1(,1111EDDAxEDDA = 所以因为 （ 2）因为 E 为 AB 的中点，则 E（ 1， 1， 0
8、） ，从而 )0,2,1(),1,1,1(1= ACED ， 第 9 页 共 11 页 )1,0,1(1=AD ，设平面 ACD1的法向量为 ),( cban = ，则=,0,01ADnACn也即=+=+002caba，得=caba 2，从而 )2,1,2(=n ，所以点 E 到平面 AD1C 的距离为 .313212|1=+=nnEDh （ 3）设平面 D1EC 的法向量 ),( cban = ， ),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11= DDCDxCE 由=+=.0)2(02,0,01xbacbCEnCDn令 b=1, c=2,a=2 x， ).2,1,2( xn = 依题意
9、 .225)2(222|4cos211=+=xDDnDDn 321+=x （不合，舍去） ， 322=x . AE= 32 时，二面角 D1 EC D 的大小为4. 21解： （ 1）方法一 用数学归纳法证明： 1当 n=1 时， ,23)4(21,10010= aaaa 210 kkkkkkaaaaaa 又 .2)2(421)4(2121=+ kkkkaaaa 1+= kn 时命题正确 . 由 1、 2知，对一切 n N 时有 .21+nnaa 第 10 页 共 11 页 方法二：用数学归纳法证明： 1当 n=1 时， ,23)4(21,10010= aaaa 2010 aa ； 2假设 n
10、=k 时有 21 kkaa 成立， 令 )4(21)( xxxf = ， )(xf 在 0， 2上单调递增，所以由假设 有： ),2()()(1fafafkk即 ),24(221)4(21)4(2111 kkkkaaaa 也即当 n=k+1 时 21+kkaa 成立，所以对一切 2,1+kkaaNn 有 （ 2）下面来求数列的通项： ,4)2(21)4(2121+=+ nnnnaaaa 所以 21)2()2(2 =+ nnaa nnnnnnnnnbbbbbab22212122222112)21()21(21)21(2121,2+=nullnull则令 , 又 bn= 1，所以1212)21(2
11、2,)21(=+=nnnnnbab 即 22解： （ 1）设切点 A、 B 坐标分别为 )(,(),(0121120xxxxxx 和 ， 切线 AP 的方程为： ;02200= xyxx 切线 BP 的方程为： ;02211= xyxx 解得 P 点的坐标为：1010,2xxyxxxPP=+= 所以 APB 的重心 G 的坐标为 PPGxxxxx =+=310， ,343)(3321021010212010pPPGyxxxxxxxxxyyyy=+=+=+= 所以243GGpxyy += ，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为： ).24(31,02)43(22+=+ x
12、xyxyx 即 （ 2）方法 1：因为 ).41,(),41,2(),41,(2111010200=+= xxFBxxxxFPxxFA 由于 P 点在抛物线外，则 .0| FP 第 11 页 共 11 页 ,|41)41(|)41)(41(2|cos10220202010010FPxxxxFPxxxxxxFAFPFAFPAFP+=+= 同理有 ,|41)41(|)41)(41(2|cos10221212110110FPxxxxFPxxxxxxFBFPFBFPBFP+=+= AFP= PFB. 方法 2：当 ,0,0,0000101= yxxxxx 则不妨设由于时 所以 P 点坐标为 )0,2(
13、1x，则 P 点到直线 AF 的距离为： ,4141:;2|12111xxxyBFxd= 的方程而直线 即 .041)41(1121=+ xyxxx 所以 P 点到直线 BF 的距离为：2|412|)41()()41(|42)41(|1211212122111212xxxxxxxxxd =+=+= 所以 d1=d2，即得 AFP= PFB. 当 001xx 时，直线 AF 的方程：,041)41(),0(041410020020=+= xyxxxxxxy 即直线 BF 的方程：,041)41(),0(041411121121=+= xyxxxxxxy 即所以 P 点到直线 AF 的距离为： 2|41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201xxxxxxxxxxxxxxd=+=+= ，同理可得到 P 点到直线BF 的距离2|012xxd= ，因此由 d1=d2，可得到 AFP= PFB.
