1、 - 1 - 2006 年常德市初中毕业生学业考试数学试卷 题号 一 二 三 四 五 六 总分 合分人 复分人 得分 考试注意： 1请考生在总分栏上面的座位号方格内工整地填写好座位号； 2本学科试卷共六道大题，满分 150 分，考试时量 120 分钟； 3考生可带科学计算器参加考试 一、填空题 （本大题 8 个小题，每个小题 4 分，满分 32 分） 112 的相反数是 2据统计，湖南省常德市 2005 年农业总产值达到 24 800 000 000 元，用科学记数法可表示为 元 3已知一元二次方程有一个根是 2，那么这个方程可以是 （填上你认为正确的一个方程即可） 4等腰梯形的上底、下底和腰
2、长分别为 4cm， 10cm， 6cm，则等腰梯形的下底角为 度 5多项式24ax a 与多项式244xx+的公因式是 6如图 1，若 AB CD ， EF 与 AB CD， 分别相交于点 E F EP EF EFD， ， 的平分线与 EP 相交于点 P ，且 40BEP=o，则 EPF = 度 7在半径为 10cm 的 Onull 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 6cm，则弦 AB 的长是 cm 8右边是一个有规律排列的数表，请用含 n 的代数式（ n 为正整数）表示数表中第 n 行第 n 列的数： 二、选择题 （本题中的选项只有一个是正确的，请你将正确的选项填在下表中，本大题 8个小题
3、，每小题 4 分，满分 32 分） 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 9下列计算正确的是（ ） 16 4= 32 22 1= 24 6 4 = 2623=null 10图 2 是由 6 个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ） B E A P F C D 图 1 - 2 - 11图 3 是某中学七年级学生参加课外活动人数的扇形统计图， 若参加舞蹈类的学生有 42 人，则参加球类活动的学生人数有（ ） 145 人 147 人 149 人 151 人 12根据下列表格中二次函数2y ax bx c=+的自变量 x 与函数值 y的对应值，判断方程20ax
4、bx c+=（ 0aabc ， 为常数）的一个解 x 的范围是（ ） x 6.17 6.18 6.19 6.20 2y ax bx c=+ 0.03 0.01 0.02 0.04 66.17x 6.17 6.18x 6.18 6.19x 6.19 6.20x 13下列命题中，真命题是（ ） 两条对角线相等的四边形是矩形 两条对角线垂直的四边形是菱形 两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 ;两条对角线相等的平行四边形是矩形 14已知11 1 2 2 2 33 3()( )( )Px y Px y Px y， ， ， 是反比例函数2yx= 的图象上的三点，且12 30x xx，则123y yy，
5、的大小关系是（ ） 321y yy 123y yy 213y yy 231y yy 15如图 4，在直角坐标系中， Onull 的半径为 1， 则直线 2yx= + 与 Onull 的位置关系是（ ） 相离 相交 相切 以上三种情形都有可能 16若用（ 1） ， （ 2） ， （ 3） ， （ 4）四幅图象分别表示变量之间的关系，将下面的（ a） ， （ b） ，（ c） ， （ d）对应的图象排序： 球类 其它 35% 40% 15% 美术 类 舞蹈 类 图 3 O 1 1 1 1y x图 4 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4）图 2 A B C D - 3 - （ a）面积为定值的矩形
6、（矩形的相邻两边长的关系） （ b）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系） （ c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系） （ d）某人从 A 地到 B 地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开 A 地的距离与时间的关系） ，其中正确的顺序是（ ） （ 3） （ 4） （ 1） （ 2） （ 3） （ 2） （ 1） （ 4） （ 4） （ 3） （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 2） （ 1） 三、 （本大题 4 个小题，每小题 6 分，满分 24 分） 17计算：2011(3.14 ) (1 cos 60 )32 +onull 18先化简代数式：221
7、2 111 1xxxx x+ ，然后选取一个使原式有意义的 x 的值代入求值 19有 2 个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有 1、2、 3、 4 四个数，另一个信封内的四张卡片分别写有 5、 6、 7、 8 四个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于 20，则甲获胜，否则乙获胜 （ 1）请你通过列表（或画树状图）计算甲获胜的概率 （ 4 分） （ 2）你认为这个游戏公平吗？为什么？（ 2 分） - 4 - 20 如图 5 ，已知反比例函数1(0)mymx= 的图象经过点 (21)A ，
8、 ，一次函数2(0)ykxbk=+ 的图象经过点 (0 3)C ， 与点 A ，且与反比例函数的图象相交于另一点 B （ 1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式； （ 4 分） （ 2）求点 B 的坐标 （ 2 分） 四、 （本大题 2 个小题，每小题 8 分，满分 16 分） 21如图 6，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度 1: 3i = ，斜坡 BD 的长是 50 米，在山坡的坡底 B 处测得铁架顶端 A 的仰角为 45o，在山坡的坡顶 D 处测得铁架顶端 A 的仰角为 60o （ 1）求小山的高度； （ 4 分） （ 2）求铁架的高度 （ 31.7
9、3 ，精确到 0.1 米） （ 4 分） 1 0 1 3 1 12y xC B A 图 5 - 5 - 22如图 7， P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA PB PC， ，以 BP 为边作60PBQ=o，且 BQBP= ，连结 CQ （ 1）观察并猜想 AP 与 CQ之间的大小关系，并证明你的结论 （ 4 分） （ 2）若 : 3:4:5PA PB PC = ，连结 PQ ，试判断 PQC 的形状，并说明理由 （ 4 分） 五、 （本大题 2 个小题，每小题 10 分，满分 20 分） 23在今年“五一”长假期间，某学校团委会要求学生参加一项社会调查活动八年级学生小青想了解她所居住
10、的小区 500 户居民的家庭收入情况，从中随机调查了 40 户居民家庭的收入情况（收入取整数，单位：元）并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图 根据以上提供的信息，解答下列问题： （ 1） 补全频数分布表： （ 3 分） （ 2） 补全频数分布直方图； （ 2 分） （ 3） 这 40 户家庭收入的中位数落在哪一个小组？（ 2 分） （ 4） 请你估计该居民小区家庭收入较低（不足 1000 元）的户数大约有多少户？（ 3 分） 分组 频数 频率 600 799 2 0.050 800 999 6 0.150 1000 1199 0.450 1200 1399 9 0.225 1400 159
11、9 1600 1800 2 0.050 合计 40 1.000 图 7 Q C P A B 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 0 4 8 12 16 20 (户数 )(元 ) 频数分布表 频数分布直方图 - 6 - 24某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进 8 台空调和 20 台电风扇，需要资金 17400 元，若购进 10 台空调和 30 台电风扇，需要资金 22500 元 （ 1）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？（ 5 分） （ 2）该经营业主计划购进这两种电器共 70 台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000 元，
12、根据市场行情，销售一台这样的空调可获利 200 元，销售一台这样的电风扇可获利 30 元该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于 3500 元试问该经营业主有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？（ 5 分） 六、 （本大题 2 个小题，每小题 13 分，满分 26 分） 25如图 8，在直角坐标系中，以点 (30)A ， 为圆心，以 23为半径的圆与 x 轴相交于点B C， ，与 y 轴相交于点 DE， （ 1）若抛物线213yxbxc=+经过 CD， 两点，求抛物线的解析式，并判断点 B 是否在该抛物线上 （ 6 分） （ 2）在（ 1）中的抛物线的对称轴上求一点 P
13、 ，使得 PBD 的周长最小 （ 3 分） （ 3）设 Q 为（ 1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点 M ，使得四边形 BCQM 是平行四边形若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 （ 4 分） 图 8 O A B D E y x C - 7 - 26把两块全等的直角三角形 ABC 和 DEF 叠放在一起，使三角板 DEF 的锐角顶点 D 与三角板 ABC 的斜边中点 O 重合，其中 90ABC DEF=o， 45CF=o，4ABDE=，把三角板 ABC 固定不动，让三角板 DEF 绕点 O 旋转，设射线 DE 与射线AB 相交于点 P ，射线 DF 与线段 B
14、C 相交于点 Q （ 1）如图 9，当射线 DF 经过点 B ，即点 Q 与点 B 重合时，易证 APD CDQ 此时， APCQ= （ 2 分） （ 2）将三角板 DEF 由图 9 所示的位置绕点 O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为 其中 090oo，问 AP CQ 的值是否改变？说明你的理由 （ 5 分） （ 3）在（ 2）的条件下，设 CQ x= ，两块三角板重叠面积为 y ，求 y 与 x 的函数关系式 （图10，图 11 供解题用） （ 6 分） ( ) ( ) ( ) B(Q) C F E A P 图 9 图 10 图 11 - 8 - 2006 年常德市初中毕业生学业考试试卷 数学
15、参考答案及评分标准 说明： （一） 答案中各行右端所注分数表示正确作完该步应得的累加分数，全卷满分 150分 （二） 答案中的解法只是该题解法中的一种或几种，如果考生的解法和本答案不同，可参照本答案中的标准给分 （三）评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度者，视影响程度决定后面部分的得分，但原则上不超过后面部分应得分数的一半，如有严重的概念错误，就不给分 一、填空题（本小题 8 个小题，每小题 4 分，满分 32 分） 1122102.48 10 3220xx = 或2320xx +=等 4 60 5
16、 2x 6 65 7 16cm 821nn+ 二、选择题（本小题 8 个小题，每小题 4 分，满分 32 分） 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 三、 （本小题 4 个小题，每小题 6 分，满分 24 分） 17解：2011(3.14 ) (1 cos 60 )32 +onull 211111322=+null 3 分 221232= + null 4 分 223= + 5 分 43= 6 分 18解：2212 111 1xxxx x+ 222(1) 2 1(1)(1) 1 1xxxx x x=+ 2 分 2221(1)1xxx+= 4 分 21x=+ 5 分 - 9
17、- 当 0x = 时，原式的值为 1 6 分 说明：只要 1x ，且代入求值正确，均可记满分 6 分 19解： （ 1）利用列表法得出所有可能的结果，如下表： 1 2 3 4 5 5 10 15 206 6 12 18 247 7 14 21 288 8 16 24 32由上表可知，该游戏所有可能的结果共 16 种，其中两卡片上的数字之积大于 20 的有 5 种，所以甲获胜的概率为516P =甲 4 分 （ 2）这个游戏对双方不公平，因为甲获胜的概率516P =甲，乙获胜的概率1116P =乙，1116 165 ，所以，游戏对双方是不公平的 6 分 20解： （ 1） 点 (21)A ， 在反
18、比例函数1myx= 的图象上 2m1= 即 2m = 又 (21)A ， ， (0 3)C ， 在一次函数2y kx b= + 图象上 213kbb+= 即13kb= 反比例函数与一次函数解析式分别为：2yx= 与 3y x= + 4 分 （ 2）由32y xyx=+=得23xx+=，即2320xx+ += 2x = 或 1x = 于是21xy=或12xy= 点 B 的坐标为 (12) ， 6 分 四、 （本大题 2 个小题，每小题 8 分，满分 16 分） 21解： （ 1）如图，过 D 作 DF 垂直于坡底的水平线 BC 于点 F 由已知，斜坡的坡比 1: 3i = ，于是3tan3DBC
19、= 坡角 30DBC=o 2 分 于是在 Rt DFB 中， sin 30 25DF DB=o - 10 - 即小山高为 25 米 4 分 （ 2）设铁架的高 AEx= 在 Rt AED 中，已知 60ADE =o，于是 3tan 60 3AEDE x=o 6 分 在 Rt ACB 中，已知 45ABC=o， 25AC AE EC AE DF x=+=+=+ 又3233BCBFFCBFDE x=+=+= + 由 AC BC= ，得325 25 33x x+= + 25 3 43.3x = ，即铁架高 43.3米 8 分 22解： （ 1）猜想： APCQ= 1 分 证明：在 ABP 与 CBQ
20、 中， ABCB= ， BPBQ= ， 60ABC PBQ=oABP ABC PBC PBQ PBC CBQ= ABP CBQ APCQ= 4 分 （ 2）由 : 3:4:5PA PB PC = 可设 3PA a= ， 4PB a= ， 5PC a= 5 分 连结 PQ ，在 PBQ 中，由于 4PB BQ a= = ，且 60PBQ=oPBQ 为正三角形 4PQ a= 于是在 PQC 中，22 22 2216 9 25PQ QC a a a PC+=+= PQC 是直角三角形 8 分 五、 （本大题 2 个小题，每小题 10 分，满分 20 分） 23解： （ 1）频数： 18 频数： 3，
21、 频率： 0.075 3 分 （ 2）略 5 分 （ 3）这 40 户家庭收入的中位数在 1000 1199null 这个小组（或答第三小组） 7 分 （ 4）因为收入较低的频率为 0.050 0.150 0.2+ = ，所以该小区 500 户居民的家庭收入较 - 11 - 低的户数为 0.2 500 100=户 10 分 24解： （ 1）设挂式空调和电风扇每台的采购价格分别为 x 元和 y 元 依题意，得8 20 1740010 30 22500xyxy+=+= 3 分 解得1800150xy=即挂式空调和电风扇每台的采购价分别为 1800元和 150元 5 分 （ 2）设该业主计划购进空
22、调 t 台，则购进电风扇 (70 )t 台 则1800 150(70 ) 30000200 30(70 ) 3500tttt+解得：4981117 11t t 为整数 t 为 9， 10， 11 7 分 故有三种进货方案，分别是：方案一：购进空调 9 台，电风扇 61 台； 方案二：购进空调 10 台，电风扇 60 台； 方案三：购进空调 11 台，电风扇 59 台 8 分 设这两种电器销售完后，所获得的利润为 W ，则 200 30(70 )Wt t= + 170 2100t= + 由于 W 随 t 的增大而增大 故当 11t = 时， W 有最大值， 170 11 2100 3970W =
23、 + =最大即选择第 3 种进货方案获利最大，最大利润为 3970元 10 分 说明：如果将 9t = ， 10， 11时分别代入 170 2100Wt= + 中，通过比较得到获利最大的方案，同样记满分 六、 （本大题 2 个小题，每小题 13 分，满分 26 分） 25解： （ 1） 3OA = ， 23AB AC= (30)B ， ， (3 3 0)C ， 又在 Rt AOD 中， 23AD = ， 3OA = 223OD AD OA= = D 的坐标为 (0 3)， 3 分 又 DC， 两点在抛物线上， 231(3 3) 3 3 03cbc=+=null 解得2333bc= - 12 -
24、 抛物线的解析式为：2123333y xx= 5 分 当 3x = 时， 0y = 点 (30)B ， 在抛物线上 6 分 （ 2）2123333y xx= 21(3)43x= 抛物线2123333y xx= 的对称轴方程为 3x = 7 分 在抛物线的对称轴上存在点 P ，使 PBD 的周长最小 BD 的长为定值 要使 PBD 周长最小只需 PB PD+ 最小 连结 DC ，则 DC 与对称轴的交点即为使 PBD 周长最小的点 设直线 DC 的解析式为 ymxn= + 由333 0nmn=+=得333mn= 直线 DC 的解析式为333y x= 由3333yxx=得32xy=故点 P 的坐标
25、为 (3 2)，- 9 分 （ 3）存在，设 (3 )Qt， 为抛物线对称轴 3x = 上一点， M 在抛物线上要使四边形 BCQM 为平行四边形，则 BCQM 且 BCQM= ，点 M 在对称轴的左侧 于是，过点 Q 作直线 LBC 与抛物线交于点 ()mM xt， 由 BCQM= 得 43QM = 从而 33mx = ， 12t = 故在抛物线上存在点 ( 312)M ， ，使得四边形 BCQM 为平行四边形 - 13 - 13 分 26解： （ 1） 8 2 分 （ 2） APCQnull 的值不会改变 3 分 理由如下：在 APD 与 CDQ 中， 45AC=o180 45 (45 )
26、 90APD a a=+=oo o o90CDQ a=o即 APD CDQ= APD CDQ 5 分 AP CDAD CQ= 22182AP CQ AD CD AD AC= =nullnull 7 分 （ 3）情形 1：当 045aoo时， 24CQ ，即 24x ，此时两三角板重叠部分为四边形 DPBQ ，过 D 作 DG AP 于 G ， DN BC 于 N ， 2DG DN= 由（ 2）知： 8AP CQ =null 得8APx= 于是11 122 2yABACCQDNAPDG=nullnullnull 88(24)xxx= 10 分 情形 2：当 45 90a oo 时， 02CQ 时
27、，即 02x ，此时两三角板重叠部分为 DMQ ， 由于8APx= ，84PBx=，易证： PBM DNM ， BMPBMNDN= 即22BMPBBM=解得28424PB xBMPB x=+ 84444xMQ BM CQ xx= = 于是184(02)24xyMQDN x xx= null （ ） （ ） - 14 - 综上所述，当 24x 时，88yxx= 当 02x 时，8444xyxx=2484yxxx= +或 13 分 说明：未指明 x 的范围，不扣分 上述情形 2 有多种解法，如： 法二：连结 BD ，并过 D 作 DN BC 于点 N ，在 DBQ 与 MCD 中，45DBQ MC
28、D=o45DQB QCB QDC QDC MDQ QDC MDC = + = + = + =oDBQ MCD MCDBCD BQ= 即2422MCx2=84MCx= 284844xxMQ MC CD xx x += = 2148(0 2)24xxyDNMQ xx+= null 法三：过 D 作 DN BC 于点 N ，在 Rt DNQ 中， 222DQ DN NQ=+ 24(2 )x=+ 248x x=+ 于是在 BDQ 与 DMQ 中 45DBQ MDQ=oDMQ DBM BDM=+ 45 BDM=+oBDQ= BDQ DMQ - 15 - BQDQDQ MQ= 即4 x DQDQ MQ= 224844DQ x xMQx x+= 2148(0 2)24xxyDNMQ xx+= null
