1、 - 1 - 济南市 2006 年高中阶段学校招生考试 数学试题（非课改区） 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 2 页，第卷3 10 页，共 120 分考试时间 120 分钟 第卷（选择题 共 30 分） 注意事项： 1 数学考试允许使用科学计算器 （凡符合大纲或课程标准要求的计算器都可带入考场） 2数学考试允许考生进行剪、拼、折叠实验 3答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在 答题卡上 4每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案， 答案写在试卷上无效 5考试结束，监考人将本试卷和答题卡
2、一并收回 一、选择题： 本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 如图，数轴上 AB， 两点所表示的两数的（ ） 和为正数 和为负数 积为正数 积为负数 2下列计算错误的是（ ） 23aa a=null 222()ab a b= 23 5()aa= 2aaa+ = 3如图，是一个正在绘制的扇形统计图，整个圆表示某班参加 体育活动的总人数，那么表示参加立定跳远训练的人数占总人数 的 35%的扇形是（ ） M N P Q 4如图，直线 a 与直线 b 互相平行，则 x y 的值是（ ） 20 80 120 180 5亮亮准备用自己节
3、省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有 45 元，计划从现在起以后每个月节省 30 元，直到他至少有 300 元设 x 个月后他至少有 300 元，则可以用于计算所需要的月数 x 的不等式是（ ） 30 45 300x 30 45 300x+ 30 45 300x 30 45 300x+ 3 3 01 题图 3 题图 xo30o3yoa b 4 题图 - 2 - 6如图，雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞 机的飞行假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电 磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个 过程共用了55.24 10 秒已知电磁波的传播速度为 83.0 10 米秒，则该时刻飞机与雷达站的距离是
4、（ ） 37.86 10 米 47.86 10 米 31.572 10 米 41.572 10 米 7已知 2x = ，则代数式1xx的值为（ ） 22+ 22 223+2238如图，一张长方形纸片沿 AB 对折，以 AB 的中点 O 为顶点，将平角五等分，并沿五等分线折叠， 再从点 C 处剪开， 使展开后的图形为正五边形， 则剪开线与 OC 的夹角 OCD为（ ） 126o 108o 90o 72o9如图，直线 l 是函数132yx=+的图象若点 ()Px y， 满足 5x +，则 P 点的坐标可能是（ ） (7 5)， (4 6)， (3 4)， (21) ， 10如图，nullBE 是半
5、径为 6 的 Dnull 的14圆周， C 点是nullBE 上 的任意一点， ABD 是等边三角形，则四边形 ABCD 的周 长 p 的取值范围是（ ） 12 18p ） 15如图，矩形 ABCD 中， 86AB AD=， ，将矩形 ABCD 在直线 l 上按顺时针方向不滑动的每秒转动 90o，转动 3 秒后停止，则顶点 A 经过的路线长为 16现有若干张边长不相等但都大于 4cm 的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形的四个顶点 2cm 处，沿 45o角画线，将正方形纸片分成 5 部分，则中间阴影部分的面积是 cm2；若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，
6、你能发现什么规律？ 输入 x 5( 1)yxx=+ 5( 1)yx x= + 输出y12 题图 2l1lAxy0 2 1 14 题图 2cm45o45o45o45o2cm2cm2cm 16 题图 P A O C B 60o13 题图 3A2A1AD C B l15 题图 - 4 - 三、解答题：本大题共 11 小题，共 72 分，解答应写出文字说明或演算步骤 17 （本题 5 分）请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解 2224()19axy b+， ， ， 18 （本题 5 分）解方程：233x x= 19 （本题 6 分）已知关于 x 的方程2210kx x+ =有两个
7、不相等的实数根2x x1， ，且满足212()1xx+=，求 k 的值 20 （本题 7 分）某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅经过测试：同时开放 1 个大餐厅、 2个小餐厅，可供 1680 名学生就餐；同时开放 2 个大餐厅、 1 个小餐厅，可供 2280 名学生就餐 （ 1）求 1 个大餐厅、 1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐； （ 2）若 7 个餐厅同时开放，能否供全校的 5300 名学生就餐？请说明理由 21 （本题 6 分）元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表： 纸环数 x （个） 1 2 3 4 彩
8、纸链长度 y （ cm） 19 36 53 70 （ 1） 把上表中 x y， 的各组对应值作为点的坐标， 在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想 y 与 x 的函数关系，并求出函数关系式； （ 2）教室天花板对角线长 10m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？ 22 （本题 6 分）如图 1， M N， 分别表示边长为 a 的等边三角形和正方形， P 表示直径为a 的圆图 2 是选择基本图形 M P， 用尺规画出的图案，22348Saa=阴影 （ 1）请你从图 1 中任意选择两种基本图形，按给定图形的大小设计一个新图案，还要选择恰当的图形部分涂上阴影，并计
9、算阴影的面积； （尺规作图，不写作法，保留痕迹，作直角时可以使用三角板） x （个）(cm)y 1 2 3 4 5 6 7 70 10 20 30 40 50 60 80 90 21 题图 - 5 - （ 2）请你写一句在完成本题的过程中感受较深且与数学有关的话 23 （本题 6 分）某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况，收集了学生在作业和考试中的常见错误，编制了 10 道选择题，每题 3 分，对她所任教的初三（ 1）班和（ 2）班进行了检测如图表示从两班各随机抽取的 10 名学生的得分情况： （ 1）利用图中提供的信息，补全下表： 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
10、（ 1）班 24 24 （ 2）班 24 （ 2）若把 24 分以上（含 24 分）记为“优秀” ，两班各有 60 名学生，请估计两班各有多少名学生成绩优秀； （ 3）观察图中的数据分布情况，你认为哪个班的学生纠错的整体情况更好一些？ 24 （本题 7 分）如图，在 Rt ABC 与 Rt ABD 中， 90ABC BAD=o，AD BC AC BD= ， 相交于点 G ，过 点 A 作 AEDB 交 CB 的延长线于点 E ，过 点 B 作BFCA 交 DA 的延长线于点 FAEBF， 相交于点 H （ 1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明； （不添加任何辅助线） （ 2）证
11、明四边形 AHBG 是菱形； （ 3）若使四边形 AHBG 是正方形，还需在 Rt ABC 的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件 （不必证明） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 编号 成绩（分 ) 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 （ 1）班 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 编号 成绩（分 )3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 （ 2）班 23 题图 图 2 aM N 图 1 - 6 - 25 （本题 7 分）某校数学研究性学习小组准备设计一种高为 60cm 的简易废纸箱如图 1，废纸箱的一面利用墙，放置在地面上，利用地
12、面作底，其它的面用一张边长为 60cm 的正方形硬纸板围成 经研究发现： 由于废纸箱的高是确定的， 所以废纸箱的横截面图形面积越大，则它的容积越大 （ 1）该小组通过多次尝试，最终选定下表中的简便且易操作的三种横截面图形，如图 2，是根据这三种横截面图形的面积2(cm )y 与 (cm)x （见表中横截面图形所示）的函数关系式而绘制出的图象请你根据有信息，在表中空白处填上适当的数、式，并完成 y 取最大值时的设计示意图； 横截面图形 y 与 x 的函数关系式 21302y xx= + 2333034y xx= + y 取最大值时 x （ cm）的值 30 20 2(cm )y 取得的最大值 4
13、50 300 3 y 取最大值时的设计示意图 （ 2）在研究性学习小组展示研究成果时，小华同学指出：图 2 中“底角为 60o的等腰梯形”的图象与其他两个图象比较，还缺少一部分，应该补画你认为他的说法正确吗？请简要说明理由 24 题图 cmxcmx60o60ocmx30cm30cm - 7 - 26 （本题 8 分）如图 1，以矩形 OABC 的两边 OA和 OC 所在的直线为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系， A 点的坐标为 (3 ) C，0 ， 点的坐标为 (0 4)， 将矩形 OABC 绕 O 点逆时针旋转，使 B 点落在 y 轴的正半轴上，旋转后的矩形为111 11OA B C B
14、C A B， 相交于点 M （ 1）求点1B 的坐标与线段1B C 的长； （ 2）将图 1 中的矩形111OA B C 沿 y 轴向上平移，如图 2，矩形222PA B C 是平移过程中的某一位置，22BCAB， 相交于点1M ，点 P 运动到 C 点停止设点 P 运动的距离为 x ，矩形222PA B C 与原矩形 OABC 重叠部分的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （ 3）如图 3，当点 P 运动到点 C 时，平移后的矩形为333PA B C 请你思考如何通过图形变换使矩形333PA B C 与原矩形 OABC 重合，请简述你的做法 26 题图 1
15、M 1B1C1Axy xyxy 2B2CP2A ( )3C3B3A图 1 图 2 图 3 图 1 10 15 20 30 40 50 60 0 1002003004004505005506002(cm )y(cm)x 底角为 60o的等腰梯形 直角三角形 图 2 矩形 25 题图 - 8 - 27 （本题 9 分） 如图 1， 已知 Rt ABC 中， 30CAB=o， 5BC = 过点 A 作 AE AB ，且 15AE = ，连接 BE 交 AC 于点 P （ 1）求 PA 的长； （ 2）以点 A 为圆心， AP 为半径作 Anull ，试判断 BE 与 Anull 是否相切，并说明理由
16、； （ 3）如图 2，过点 C 作 CD AE ，垂足为 D 以点 A 为圆心， r 为半径作 Anull ；以点 C为圆心， R 为半径作 Cnull 若 r 和 R 的大小是可变化的， 并且在变化过程中保持 Anull 和 Cnull相切，且使 D 点在 Anull 的内部， B 点在 Anull 的外部，求 r 和 R 的变化范围 济南市 2006 年高中阶段学校招生考试 数学试题参考答案及评分标准（非课改区） 一、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 C 9 10 二、填空题 11 1 12 2 13 33 142yx= 15 12 16 8； 2 分 得到的阴影部分的面积是28c
17、m ，即阴影部分的面积不变 3 分 三、解答题 17本题存在 12 种不同的作差结果，不同选择的评分标准分述如下： 241a ；291b ；2249ab ；214a ；219b ；2294ba 这 6 种选择的评分范例如下： 例 1：2249ab 2 分 (2 3 )(2 3 )abab=+ 5 分 A B C P E E A B C P 27 题图 图 1 图 2 - 9 - 2()1xy+；22()4x ya+；22()9x yb+；21( )x y+ ；224( )axy+ ；229( )bxy+这 6 种选择的评分范例如下： 例 2：21( )x y+ 2 分 1( )1( )x yx
18、y=+ + 4 分 (1 )(1 )x yxy=+ 5 分 提示：因式分解结果正确但没有中间步骤的不扣分 18方程两边同乘以 (3)xx ，得 23(3)xx= 2 分 解这个方程，得 9x = 4 分 检验：将 9x = 代入原方程，得左边13= =右边 所以， 9x = 是原方程的根 5 分 19根据题意，得 0k ， 1 分 224(1)0k=，解得 1k 3 分 221k=，解得 2k = 5 分 所以 2k = 6 分 20 （ 1）设 1 个大餐厅可供 x 名学生就餐， 1 个小餐厅可供 y 名学生就餐，根据题意，得 1 分 2 16802 2280.xyxy+=+=， 3 分 解
19、这个方程组，得960360.xy=，答： 1 个大餐厅可供 960 名学生就餐， 1 个小餐厅可供 360 名学生就餐 5 分 （ 2）因为 960 5 360 2 5520 5300+ = ， 所以如果同时开放 7 个餐厅，能够供全校的 5300 名学生就餐 7 分 21 （ 1）在所给的坐标系中准确描点 1 分 由图象猜想到 y 与 x 之间满足一次函数关系 2 分 设经过 (119)， ， (2 36)， 两点的直线为 ykxb= + ，则可得 19236.kbkb+=+=，解得 17k = ， 2b = 即 17 2yx= + 当 3x = 时， 17 3 2 53y =+=；当 4x
20、 = 时， 17 4 2 70y = += 即点 (3 53) (4 70)， 都在一次函数 17 2yx= + 的图象上 - 10 - 所以彩纸链的长度 y （ cm）与纸环数 x （个）之间满足一次函数关系 17 2yx= + 4 分 （ 2） 10m 1000cm= ，根据题意，得 17 2 1000x+ 5 分 解得125817x 答：每根彩纸链至少要用 59 个纸环 6 分 22 （ 1）正确运用两种基本图形进行组合设计 3 分 尺规作图运用恰当 4 分 阴影面积计算正确 5 分 参考举例： （ 2）写出在解题过程中感受较深且与数学有关的一句话 6 分 参考举例： 运用圆的半径，可以
21、作正方形的边上的中点，这对于作图很有利 这三个图形关系很密切，能组合设计许多美丽的图案，来装饰我们的生活 数学作图中要一丝不苟，否则产生的作图误差会影响图形的美观 提示： 本问题应积极评价学生富有个性和创造性的解答， 只要回答合理， 即可得分 23 （ 1） 3 分 （ 2）760 4210=（名） ，660 3610 = （名） 答： （ 1）班有 42 名学生成绩优秀， （ 2）班有 36 名学生成绩优秀 5 分 （ 3） （ 1）班的学生纠错的整体情况更好一些 6 分 24 （ 1） ABC BAD 1 分 90AD BC ABC BAD AB BA= =oQ ， ()ABC BAD S
22、AS 3 分 （ 2） AH GB BH GAQ ， 四边形 AHBG 是平行四边形 4 分 ABC BADQ ， ABD BAC GA GB=， 5 分 平行四边形 AHBG 是菱形 6 分 （ 3）需要添加的条件是 ABBC= 7 分 25 （ 1）表中空白处填写项目依次为2260y xx= + ； 15； 450 3 分 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）（ 1）班 24 （ 2）班 24 21 22Saa=4阴影22Saa=4阴影22Sa a3=4阴影 - 11 - 表中 y 取最大值时的设计示意图分别为： 5 分 （ 2）小华的说法不正确 6 分 因为腰长 x 大于 30c
23、m 时，符合题意的等腰梯形不存在，所以 x 的取值范围不能超过 30cm，因此研究性学习小组画出的图象是正确的 7 分 26 （ 1）如图 1，因为22134 5OB OB=+=，所以点1B 的坐标为 (0 5)， 2 分 11541B C OB OC= 3 分 （ 2） 在矩形111OA B C 沿 y 轴向上平移到 P 点与 C 点重合的过程中， 点1A 运动到矩形 OABC的边 BC 上时，求得 P 点移动的距离115x = 当自变量 x 的取值范围为1105x 时，如图 2，由21 22B CM B A P ， 得1334xCM+= ，此时，22 2 111334 (1 )224BAP
24、 BCMxyS S x+= + 即23(1)68yx= + + （或23345848yxx= + ） 5 分 当自变量 x 的取值范围为1145x 时， 求得122(4)3PCMyS x=（或221632333yx x= +） 7 分 （ 3）部分参考答案： 8 分 把矩形333PA B C 沿3BPA 的角平分线所在直线对折 把矩形333PA B C 绕 C 点顺时针旋转，使点3A 与点 B 重合，再沿 y 轴向下平移 4 个单位长度 把矩形333PA B C 绕 C 点顺时针旋转，使点3A 与点 B 重合，再沿 BC 所在的直线对折 把矩形333PA B C 沿 y 轴向下平移 4 个单位
25、长度，再绕 O 点顺时针旋转，使点3A 与点 A 重合 提示：本问只要求整体图形的重合，不必要求图形原对应点的重合 27 （ 1） Q在 Rt ABC 中， 30 5CAB BC= =o， ， 210AC BC = 1 分 AEBCQ ， APE CPB 15cm15cm 30cm20cm 20cm 20cm60o - 12 - :3:1PA PC AE BC = :3:4PA AC = ，310 1542PA= 3 分 （ 2） BE 与 Anull 相切 4 分 Q在 Rt ABE 中， 53AB = ， 15AE = ， 15tan 353AEABEAB =， 60ABE=o 5 分 又 30PAB=oQ ， 90 90ABE PAB APB+=oo， ， BE 与 Anull 相切 6 分 （ 3）因为 553AD AB=， ，所以 r 的变化范围为 553r 7 分 当 Anull 与 Cnull 外切时， 10Rr+ = ，所以 R 的变化范围为 10 5 3 5R ； 8 分 当 Anull 与 Cnull 内切时， 10Rr = ，所以 R 的变化范围为 15 10 5 3R+ 9 分 注：其他不同解法，可参照本标准执行
