1、 2006 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学试题（文科） 第卷（共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1）设集合 A=|x 1 x 2|， B=|x|0 x 4|，则 A B= （ A） 0， 2 （ B） 1， 2 （ C） 0， 4 （ D） 1， 4 （ 2）在二项式6(1)x+ 的展开式中，含3x 的项的系数是 （ A） 15 （ B） 20 （ C） 30 （ D） 40 （ 3）抛物线28y x= 的准线方程是 （ A） x= 2 （ B） x= 4 （ C） y= 2
2、（ D） y= 4 （ 4）已知1122log log 0mn的解集是 _ . （ 12）函数 2sin cos 1,yxxxR=的值域是 _ （ 13）双曲线221xym = 上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是 3，则 m 等于 _ 。 （ 14 ）如图，正四面体 ABCD 的棱长为 1，平面过棱 AB ， 且 CD，则正四面体上的所有点在平面内的射 影构成的图形面积是 _ 。 三、解答题：本大题共 6小题，每小题 14 分，共 84 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 15）若nS 是公差不为 0的等差数列 na 的前 n项和，且124,SSS成等比数列 （）求数列1
3、24,SSS的公比； （）2S =4，求 na 的通项公式。 （ 16）如图，函数 2sin( ),y xxR =+其中 ( 02 )的图象与 y 轴交于点（ 0， 1） （）求 的值； （）设 P 是图象上的最高点， M， N 是图象与 x 轴的交点，求 PMJJJJG与 PNJJJG的夹角。 （ 17）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面为直角梯形， AD BC， BAD=90， PA底面 ABCD， 且 PA=AD=AB=2BC， M、 N 分别为 PC、 PB 的中点。 （）求证： PB DM； （）求 BD 与平面 ADMN 所成的角。 （ 18）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球
4、，甲袋装有 2 个红球， 2 个白球；乙袋装有 2 个红球， n 个白球，现从甲、乙两袋中任取 2个球。 （）若 3n= ，求取到的 4 个球全是红球的概率； （）若取到的 4 个球中至少有 2个红球的概率为 34，求 n。 （ 19）如图，椭圆22221( 0)xyabab+=与过 (2,0)A , (0,1)B 的直线有且只有一个公共点 T ，且椭圆的离心率32e= , （）求椭圆的方程 （）设12,FF分别为椭圆的左、右焦点，求证1212ATAFAF= （ 20）设2() 3 2f xaxbxc=+，若 a+b+c=0， (0) (1) 0ff ，求证 （）方程 () 0fx= 有实根；
5、 （） 21ba或 （ 12） 2,0 （ 13）18（ 14）12三、解答题 （ 15）本题主要考察等差、等比数列的基本知识、考查运算及推理 能力。满分 14 分。 解： （）设数列 na 的公差为 d ,由题意，得 2214SSS= 所以2111(2 ) (4 6 )ad aa d+= + 因为 0d 所以 12da= 故公比214SqS= （）因为2121114, 2, 2 2 4,SdaSaaa= =+= 所以11, 2ad= 因此21(1) 21.aand n=+ = （ 16）本题主要考查三角函数的图象，已知三角函数值求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。 满分 14 分
6、。 解： （）因为函数图象过点（ 0， 1） 所以 2sin 1x = ,即 1sin2x= 因为 02l 所以6l= . （）由函数 2sin( )6yx=+及其图象，得 11 5( ,0), ( , 2), ( ,0),63 6MPN 所以 11(,2,) (,2)22PM PN= = JJJJGJJJG从而 cos ,PM PNPM PNPM PN=JJJJG JJJG. 17本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。满分 14 分。 解：方法一： （）因为 N 是 PB 的中点， PA=AB, 所以 AN PB. 因为 AD面 PAB, 所以
7、 AD PB. 从而 PB平面 ADMN. DM ADMN因为 平面 所以 PB DM. （）连结 DN， 因为 PB平面 ADMN， 所以 BDN 是 BD 与平面 ADMN 所成的角 . 在 RtBDN 中 , 1sin ,2BNBDNBD= 故 BD 与平面 ADMN 所成的角是6. 方法二： 如图，以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A xyz ,设 BC=1，则 (0,0,0)A 1(0,0,3), (2,0,0), (1, ,1), (0,2,0)2PBMD （）因为3(2,0, 2)(1, ,1)2PB DM=JJJG JJJJG0= 所以 PB DM . （）因为 (2, 0
8、, 2) (0, 2, 0)PB AD= JJJG JJJG0= 所以 PB AD. 又 PB DM. 因此 PB ADJJJG JJJG的余角即是 BD 与平面 ADMN. 所成的角 . 因为 cos3PB AD=JJJG JJJG所以 PB ADJJJG JJJG=3因此 BD 与平面 ADMN 所成的角为6. （ 18） 本题主要考查排列组合、 概率等基本知识， 同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。满分 14 分。 解： （）记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A. 2222224511 1() .610 60CCPACC= （）记“取到的 4 个球至多有一个红球”为事件 B， “取到
9、的 4 个球只有 1 个红球”为事件1B ， “取到的 4 个球全是白球”为事件2B . 由题意，得 31() 144PB= = 21111 2222 214242()naaaCCCCC CPBCC CC+=+ 22;3( 2)( 1)nnn=+2221 2242()aaCCPBCC+= (1);6( 2)( 1)nnnn=+所以 12() ( ) ( )PB PB PB=+ 22(1);3( 2)( 1) 6( 2)( 1)nnnnn nn=+ + 14= 化简，得 271160,nn=解得 2n= ，或37n= （舍去） ， 故 2n = . （ 19）本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭
10、圆的几何性质，考查解析几何的基本思想方法和综 合解题能力。满分 14 分。 解： （）过 A、 B 的直线方程为 12xy+ = 因为由题意得22221112xyaby x +=+=+有惟一解。 即222221() 04baxaxab+=有惟一解 , 所以22 2 2( 4 4) 0( 0),ab a b ab= + = ， 故22(44)0ab+= 又因为 32c= ,即22234aba= ， 所以224ab= 从而得2212, ,2ab= 故所求的椭圆方程为22212xy+=. （）由（）得62c= , 所以 1266(,0),(,0)22FF 由 22221112xyaby x +=+=
11、 +解得 121,xx=, 因此1(1, )2T = . 从而 2 54AT = , 因为1252AF AF=, 所以21212ATAFAF= (20）本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。满分 14 分。 证明： （）若 a = 0, 则 b = c , f (0) f (1) = c (3a + 2b + c ) 20c= ， 与已知矛盾， 所以 a 0. 方程232ax bx c+ = 0 的判别式 24( 3 ),bac= 由条件 a + b + c = 0，消去 b，得 224( )abac= + 22134( ) 024ac c=+故方程 f (x) = 0 有实根 . （）由条件，知 1223bxxa+=, 1233cabxxaa+= = , 所以2212 12 12()()4x xxxx= 2431().923ba=+ 因为 21,ba 所以 21214()39xx 故 123233xx
