1、2006 年高考文科数学试题（福建卷） 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1）已知两条直线 2yax=和 (2)1ya x=+ +互相垂直，则 a等于 （ A） 2 （ B） 1 （ C） 0 （ D） 1 （ 2）在等差数列 na 中，已知1232, 13,aaa=+=则456aaa+ + 等于 （ A） 40 （ B） 42 （ C） 43 （ D） 45 （ 3） tan 1 = 是 4 = 的 （ A）充分而不必要条件 （ B）必要不而充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 4）
2、已知3(,),sin ,25=则 tan( )4 + 等于 （ A）17（ B） 7 （ C）17 （ D） 7 （ 5）已知全集 ,UR= 且 2|12, | 680,Axx Bxx x=+的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （A） (1, 2 （B） (1, 2) （C） 2, )+ （D） (2, )+ （ 12）已知 ()f x 是周期为 2 的奇函数，当 01x在区间 ,34 上的最小值是 2 ，则 的最小值是。 三解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17
3、） （本小题满分 12 分） 已知函数22( ) sin 3 sin cos 2cos , .f xx xx xR=+ + （ I）求函数 ()f x 的最小正周期和单调增区间； （ II）函数 ()f x 的图象可以由函数 sin 2 ( )yxxR= 的图象经过怎样的变换得到？ （ 18） （本小题满分 12 分） 每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字 1, 2,3, 4,5, 6). （ I）连续抛掷 2 次，求向上的数不同的概率； （ II）连续抛掷 2 次，求向上的数之和为 6 的概率； （ III）连续抛掷 5 次，求向上的数为奇数恰好出现 3 次的概率。 （ 19） （本小题满
4、分 12 分） 如图，四面体 ABCD 中， O、 E 分别是 BD、 BC 的中点， 2, 2.CA CB CD BD AB AD= = （ I）求证： AO 平面 BCD； （ II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小； （ III）求点 E 到平面 ACD 的距离。 （ 20） （本小题满分 12 分） 已知椭圆2212xy+=的左焦点为 F， O 为坐标原点。 （ I）求过点 O、 F，并且与椭圆的左准线 l相切的圆的方程； （ II）设过点 F 的直线交椭圆于 A、 B 两点，并且线段 AB 的 中点在直线 0xy+ = 上，求直线 AB 的方程。 （ 21） （本小题满分 1
5、2 分） 已知 ()f x 是二次函数，不等式 () 0fx= =nullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnull 异面直线 AB 与 CD 所成角 的大小为2arccos .4（ III）解：设平面 ACD 的法向量为 (, ,),nxyz=null则 .(,).(1,01)0,.(,).(0,3,1)0,nAD xyznAC xyz=null nullnullnullnullnull nullnullnullnullxCABODyzE 0,3
6、0.xzyz+=令 1,y = 得 (3,1,3)n=null是平面 ACD 的一个法向量。 又13(,0),22EC =nullnullnullnull点 E 到平面 ACD 的距离 .321.77EC nhn=nullnullnullnull nullnull （ 20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。满分 12 分。 解： （ I）222, 1, 1, ( 1, 0), : 2.ab cF lx= = 圆过点 O、 F， 圆心 M 在直线12x= 上。 设1(,),2M t 则圆半径 13()(2) .22r = =
7、 由 ,OM r= 得2213() ,t += 解得 2.t = 所求圆的方程为2219()(2).24xy+ = （ II）设直线 AB 的方程为 (1)( 0),ykx k=+ 代入221,2xy+=整理得22 2 2(1 2 ) 4 2 2 0.kx kx k+= 直线 AB 过椭圆的左焦点 F， 方程有两个不等实根， 记11 2 2(, ),(, ),Ax y Bx y AB中点00(, ),Nx y 则212 24,21kxxk+=+xylANBF O 2012 002212() ,(1) ,221 21kkxxx ykx=+= =+=+线段 AB 的中点 N 在直线 0xy+=上，
8、 200 2220,2121kkxykk+= + =+0k = ，或1.2k = 当直线 AB 与 x轴垂直时，线段 AB 的中点 F 不在直线 0xy+ = 上。 直线 AB 的方程是 0,y = 或 210.xy+= （ 21）本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分 12 分。 （ I）解： ()f x 是二次函数，且 () 0fx ()f x 在区间 1, 4 上的最大值是 (1) 6.f a = 由已知，得 612,a= 22,() 2( 5) 2 10( ).af xxx x
9、 xxR = = （ II）方程37() 0fxx+=等价于方程32210 370.xx += 设32( ) 2 10 37,hx x x= + 则2( ) 6 20 2 (3 10).hx x x xx= 当10(0, )3x 时， ( ) 0, ( )hx hx 是增函数。 10 1(3) 1 0, ( ) 0, (4) 5 0,327hh h= = 方程 () 0hx= 在区间10 10(3, ),( , 4)33内分别有惟一实数根，而在区间 (0,3), (4, )+ 内没有实数根， 所以存在惟一的自然数 3,m= 使得方程37() 0fxx+ = 在区间 (, 1)mm+ 内有且只有
10、两个不同的实数根。 （ 22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分 14 分。 （ I）证明：2132,nnnaaa+= 21 112*2112( ),1, 3,2( ).nn nnnnnnaa aaaaaanNaa+ + = = = 1nnaa+ 是以21aa 2= 为首项， 2 为公比的等比数列。 （ II）解：由（ I）得*12( ),nnnaa N+= 112 211( ) ( ) . ( )nnn nnaaa aa aaa = + + 12*2 2 . 2 121( ).nnnnN=+=（ III）证明：121114 4 .4 ( 1) ,nnbbbbna=+ 12(.)42,nnbb b nb+ = 122( . ) ,nnbb b nnb + = 12 1 12( . ) ( 1) ( 1) .nn nbb bb n n b+ +=+ ，得112( 1) ( 1) ,nnnbnbb+ =+ 即1(1) 20.nnnb nb+= 21(1) 20.nnnb n b+ += ，得2120,nnnnb nb nb+= 即2120,nnnbbb+= *21 1(),nnnnbbbb N+ = nb 是等差数列。
