1、- 1 - 2006 高考数学试题陕西卷 文科试题（必修选修） 注意事项 ： 本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。 2考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。 3所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（共 60 分） 一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.已知集合 P=x N|1 x 10,集合 Q=x R|x2+x 6=0, 则 P Q 等于 ( ) A. 2 B.1,2 C.2,3
2、D.1,2,3 2.函数 f(x)=11+x2 (x R)的值域是 ( ) A.(0,1) B.(0,1 C.0,1) D.0,1 3. 已知等差数列 an中 ,a2+a8=8,则该数列前 9 项和 S9等于 ( ) A.18 B.27 C.36 D.45 4.设函数 f(x)=loga(x+b)(a0,a 1)的图象过点 (0, 0),其反函数的图像过点 (1,2),则 a+b 等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3 5.设直线过点 (0,a),其斜率为 1, 且与圆 x2+y2=2 相切 ,则 a 的值为 ( ) A. 2 B. 2 B. 2 2 D. 4 6. “、成等差数列”是“等
3、式 sin( + )=sin2成立”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 7.设 x,y 为正数 , 则 (x+y)(1x+ 4y)的最小值为 ( ) A. 6 B.9 C.12 D.15 8.已知非零向量 AB与 AC满足 (AB|AB|+AC|AC|) BC=0 且AB|AB|AC|AC|=12, 则 ABC 为 ( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 9. 已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(a0),若 x1f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 10.
4、已知双曲线x2a2 y22=1(a 2)的两条渐近线的夹角为3,则双曲线的离心率为 ( ) A.2 B. 3 C.2 63D.2 3311.已知平面外不共线的三点 A,B,C 到的距离都相等 ,则正确的结论是 ( ) - 2 - A.平面 ABC 必平行于 B.平面 ABC 必与相交 C.平面 ABC 必不垂直于 D.存在 ABC 的一条中位线平行于或在内 12.为确保信息安全 ,信息需加密传输 ,发送方由明文密文 (加密 ),接收方由密文明文 (解密 ),已知加密规则为 :明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如 ,明文 1,2,3,4 对应密文5,7,18
5、,16.当接收方收到密文 14,9,23,28 时 ,则解密得到的明文为 ( ) A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7 第二部分（共 90 分） 二填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共16 分） 。 13.cos43 cos77 +sin43 cos167的值为 14.(2x1x)6展开式中常数项为 (用数字作答 ) 16.某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教 (每地 1 人 ),其中甲和乙不同去 ,则不同的选派方案共有 种 . 15.水平桌面上放有 4个半径均为 2R的球 ,且相
6、邻的球都相切 (球心的连线构成正方形 ).在这4 个球的上面放 1 个半径为 R 的小球 ,它和下面 4 个球恰好都相切 ,则小球的球心到水平桌面的距离是 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 74 分） 。 17.(本小题满分 12 分 ) 甲、乙、丙 3 人投篮 ,投进的概率分别是25, 12, 13.现 3 人各投篮 1 次 ,求 : ( )3 人都投进的概率 ; ( )3 人中恰有 2 人投进的概率 . 18. (本小题满分 12 分 ) 已知函数 f(x)= 3sin(2x6)+2sin2(x12) (x R) ( )求函数 f(x)的最小正周期
7、; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合 . 19. (本小题满分 12 分 ) 如图 , , =l , A , B ,点 A 在直线 l 上的射影为 A1, 点 B 在 l 的射影为 B1,已知 AB=2,AA1=1, BB1= 2, 求 : ( ) 直线 AB 分别与平面 ,所成角的大小 ; ( )二面角 A1 AB B1的大小 . - 3 - 20. (本小题满分 12 分 ) 已知正项数列 an，其前 n 项和 Sn满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15成等比数列，求数列 an的通项 an. 21. (本小题满分 12 分 ) 如图 ,三定点 A(2,1
8、),B(0, 1),C( 2,1); 三动点 D,E,M 满足 AD=tAB, BE= t BC, DM=t DE, t 0,1. ( ) 求动直线 DE 斜率的变化范围 ; ( )求动点 M 的轨迹方程 . 22.（本小题满分 4 分） 已知函数 f(x)=kx3 3x2+1(k 0). ( )求函数 f(x)的单调区间 ; ( )若函数 f(x)的极小值大于 0, 求 k 的取值范围 . ABA1B1 l第 19 题图y x O MD A B C 1 1 2 1 2 E - 4 - 2006 年高考文科数学参考答案（陕西卷） 一、选择题 1 A 2 B 3 C 4 C 5 B 6 A 7
9、B 8 D 9 A 10 D 11 D 12 C 二、填空题 131214 60 15 1320 16 3R 三、解答题 17.解 : ( )记 甲投进 为事件 A1, 乙投进 为事件 A2, 丙投进 为事件 A3, 则 P(A1)= 25, P(A2)= 12, P(A3)= 13, P(A1A2A3)=P(A1) P(A2) P(A3) = 251235= 325 3 人都投进的概率为325( ) 设“ 3 人中恰有 2 人投进 为事件 B P(B)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3) =P(A1) P(A2) P(A3)+P(A1) P(A2) P(A3)+P(A
10、1) P(A2) P(A3) =(125)1235+ 25 (112)35+ 2512 (135) = 1950 3 人中恰有 2 人投进的概率为195018.解 :( ) f(x)= 3sin(2x6)+1 cos2(x12) = 232sin2(x12)12cos2(x12)+1 =2sin2(x12)6+1 = 2sin(2x3) +1 T=22= ( )当 f(x)取最大值时 , sin(2x3)=1,有 2x3=2k +2即 x=k + 512(k Z) 所求 x 的集合为 x R|x= k + 512, (k Z). - 5 - 19.解法一 : ( )如图 , 连接 A1B,AB
11、1, , =l ,AA1 l, BB1 l, AA1 , BB1 . 则 BAB1, ABA1分别是 AB 与和所成的角 . Rt BB1A 中 , BB1= 2 , AB=2, sin BAB1= BB1AB= 22. BAB1=45 . Rt AA1B 中 , AA1=1,AB=2, sin ABA1=AA1AB= 12, ABA1= 30 . 故 AB 与平面 ,所成的角分别是 45 ,30 . ( ) BB1 , 平面 ABB1 .在平面内过 A1作 A1E AB1交 AB1于 E,则 A1E平面 AB1B.过 E 作 EF AB 交 AB 于 F,连接 A1F,则由三垂线定理得 A1
12、F AB, A1FE 就是所求二面角的平面角 . 在 Rt ABB1中 , BAB1=45 , AB1=B1B= 2. Rt AA1B 中 ,A1B= AB2 AA12= 4 1 = 3. 由 AA1 A1B=A1F AB 得 A1F=AA1 A1BAB= 1 32= 32, 在 Rt A1EF 中 ,sin A1FE = A1EA1F= 63, 二面角 A1 AB B1的大小为 arcsin63. 解法二 : ( )同解法一 . ( ) 如图 ,建立坐标系 , 则 A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B( 2,1,0).在 AB 上取一点 F(x,y,z),则存在 t
13、R,使得 AF=tAB, 即 (x,y,z 1)=t( 2,1, 1), 点 F 的坐标为 ( 2t, t,1 t).要使 A1F AB,须 A1F AB=0, 即 ( 2t, t,1 t) ( 2,1, 1)=0, 2t+t (1 t)=0,解得 t=14, 点 F 的坐标为 (24,14, 34), A1F=(24,14, 34). 设 E为 AB1的中点 ,则点 E的坐标为 (0,12, 12). EF=(24,14,14). 又 EF AB=(24,14,14) ( 2,1, 1)= 12 14 14=0, EF AB, A1FE 为所求二面角的平面角 . 又 cos A1FE= A1
14、F EF|A1F| |EF|= (24，14，34) (24，14，14)216+116+916216+116+116= 18116+3163412= 13= 33, 二面角 A1 AB B1的大小为 arccos33. A B A1B1 l 第 19 题解法一图 E F ABA1B1l第 19 题解法二图 y xyEF- 6 - 20.解 : 10Sn=an2+5an+6, 10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3. 又 10Sn1=an12+5an1+6(n 2), 由得 10an=(an2 an12)+6(an an1),即 (an+an1)(an an1 5)=0
15、an+an10 , an an1=5 (n 2). 当 a1=3 时 ,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列 a1 3; 当 a1=2 时 ,a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15, a1=2, an=5n 3. 21.解法一 : 如图 , ( )设 D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由 AD=tAB, BE= t BC, 知 (xD 2,yD 1)=t( 2, 2). xD= 2t+2yD= 2t+1同理 xE= 2tyE=2t 1. kDE= yE yDxE xD= 2t 1 ( 2t+1) 2t ( 2t+2)= 1 2t. t 0,
16、1 , kDE 1,1. ( ) DM=t DE (x+2t 2,y+2t 1)=t( 2t+2t 2,2t 1+2t 1)=t( 2,4t 2)=( 2t,4t22t). x=2(1 2t)y=(1 2t)2, y=x24, 即 x2=4y. t 0,1, x=2(1 2t) 2,2. 即所求轨迹方程为 : x2=4y, x 2,2 解法二 : ( )同上 . ( ) 如图 , OD=OA+AD= OA+ tAB= OA+ t(OB OA) = (1 t) OA+tOB, OE= OB+BE= OB+tBC= OB+t(OC OB) =(1 t) OB+tOC, OM= OD+DM= OD+
17、 tDE= OD+t(OE OD)=(1 t) OD+ tOE= (1 t2) OA+ 2(1 t)tOB+t2OC. 设 M 点的坐标为 (x,y),由 OA=(2,1), OB=(0, 1), OC=( 2,1)得 x=(1 t2) 2+2(1 t)t 0+t2 ( 2)=2(1 2t)y=(1 t)2 1+2(1 t)t ( 1)+t2 1=(1 2t)2 消去 t 得 x2=4y, t 0,1, x 2,2. 故所求轨迹方程为 : x2=4y, x 2,2 22.解 : （ I）当 k=0 时 , f(x)= 3x2+1 f(x)的单调增区间为 ( ,0,单调减区间 0,+ ). 当 k0 时 , f (x)=3kx2 6x=3kx(x2k) f(x)的单调增区间为 ( ,0 , 2k, + ), 单调减区间为 0, 2k. （ II）当 k=0 时 , 函数 f(x)不存在最小值 . yxOM D A B C 1 1 21 2 E第 21 题解法图 - 7 - 当 k0 时 , 依题意 f(2k)= 8k2 12k2 +10 , 即 k24 , 由条件 k0, 所以 k 的取值范围为 (2,+ )
