1、 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） （北京卷） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，第 卷1至 2 页，第 卷3至 9 页，共150 分。考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第 卷（选择题 共40分） 注意事项： 1 答第 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。 2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、 本大题共 8小题，每小题 5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1） 在复平
2、面内，复数1 ii+对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （2）若 aG与 bcGG都是非零向量，则“ ab ac =G GGG”是“ ()abc G GG”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）在 1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 （A）36个 （B）24个 （C）18个 （D）6个 （4）平面 的斜线 AB交 于点 B，过定点 A的动直线 l与 AB垂直，且交 于点 C，则动点 C的轨迹是 （A）一条直线 （B）一个圆 （C）一个椭圆
3、 （D）双曲线的一支 （5）已知(3 1) 4 , 1()log , 1aaxaxfxxx+ 是 (,)+上的减函数，那么 a的取值范围是 （A） (0,1) （B）1(0, )3（C）11,)73（D）1,1)7（6）在下列四个函数中，满足性质： “对于区间 (1, 2) 上的任意121 2,( )x xx x ，1221|() ()| |f xfx xx （B）132x xx （C）231x xx （D）321x xx 绝密启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） （北京卷） 第卷（共 110 分） 注意事项： 1 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2 答卷前
4、将密封线内的项目填写清楚。 二、 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共30分。把答案填在题中横线上。 （9）22132lim1xxxx+的值等于_ _. （10）在72()xx 的展开式中，2x 的系数中_ _（用数字作答）. （11）若三点 (2,2), ( ,0), (0, )( 0)ABaCbab 共线，则11ab+ 的值等于_ _. （12）在 ABC 中，若 sin:sin:sin 5:7:8ABC= ，则 B 的大小是_ _. （13）已知点 (, )Pxy的坐标满足条件41xyyxx+ ，点 O为坐标原点，那么 |PO 的最小值等于_,最大值等于_. （14） 已知 ,
5、A BC三点在球心为 O， 半径为 R的球面上， AC BC ， 且 ABR= ， 那么 ,A B两点的球面距离为_ _，球心到平面 ABC 的距离为_. 三、 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （15） （本小题共 12 分） 已知函数12sin(2 )4()cosxfxx= ， （）求 ()f x 的定义域； （）设 是第四象限的角，且4tan3 = ，求 ()f 的值. （16） （本小题共 13 分） 已知函数32()f xaxbxcx=+在点0x 处取得极大值 5，其导函数 ( )yfx= 的图象经过点 (1, 0) ， (2,0)，
6、如图所示.求： （）0x 的值； （） ,abc的值. （17） （本小题共 14 分） 如图，在底面为平行四边表的四棱锥 P ABCD 中， ABAC ， PA平面ABCD，且 PA AB= ，点 E是 PD的中点. （）求证： ACPB ； （）求证： /PB 平面 AEC ； （）求二面角 E AC B的大小. （18） （本小题共 13 分） 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 ,abc， 且三门课程考试是否及格
7、相互之间没有影响. （）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由） （19） （本小题共 14 分） 已知点 ( 2,0), (2,0)MN ，动点 P满足条件 |22PM PN=.记动点 P的轨迹为 W . （）求 W 的方程； （）若 ,A B是 W 上的不同两点， O是坐标原点，求 OA OBJJJG JJJG的最小值. （20） （本小题共 14 分） 在数列 na 中，若12,aa是正整数，且12|,3,45,nn naa a n= = ，则称na 为“绝对差数列”. （）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”
8、 （只要求写出前十项） ； （）若“绝对差数列” na 中，20 213, 0aa= = ，数列 nb 满足12nnn nbaa a+=+ + ，1, 2, 3,n= ，分别判断当 n时，na 与nb 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； （）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 2006 年高考理科数学参考答案（北京卷） 一、选择题（本大题共8 小题，每小题 5分，共40 分） （1）D （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）D （8）C 二、填空题（本大题共6 小题，每小题 5分，共30 分） （9）21 （10）14 （1）21（12）3（13） 2
9、10 （14） R31R23三、解答题（本大题共6 小题，共80 分） （15） （共 12 分） 解： （）由cosx0 得 )(2Zkkx + 故 f(x)的定义域为+ Zkkx ,2 （）因为34tan =a ，且 a 是第四象限的角。 所以54sin =a ，53cos =a 故aaafcos)42sin(21)(= 514)sin(cos2coscossin2cos2cos2cos2sin1cos)2cos222sin22(212=+=aaaaaaaaaaaa（16） （共 13 分） 解法一： （）由图象可知，在（，1）上 0)( xf ，在（1，2）上 0)( xf 故 )(xf
10、 在（，1） ， （2，）上递增，在（1，2）上递减。 因此 )(xf 在 x=1处取得极大值，所以 10=x 。 （） cbxaxxf += 23)(2由 ,5)1(,0)2(,0)1( = fff 得=+=+=+50412023cbacbacba解得 a=2， b= -9， c=12 解法二： （）同解法一。 （）设 mmxmxxxmxf 23)2)(1()(2+= 又 cbxaxxf += 23)(2所以 ,2,23,3mcmbma = mxmxxmxf 2233)(23+= 由 5)1( =f 即 52233=+ mmm得m=6 所以a=2，b= -9，c=12 （17） （共 14
11、分） 解法一： （）PA平面 ABCD AB是 PB 在平面 ABCD 上的射影 又ABAC，AC 平面 ABCD， ACPB （）连接 BD，与 AC 相交于 O，连接 EO。 ABCD 是平等四边形， O 是BD 的中点， 又 E 是PD 的中点， EOPB 又PB 平面 AEC，EO 平面AEC， PB平面AEC。 （）取 BC中点 G，连接 OG，则点G 的坐标为 )0,200,2,2(bOGba，（）， 又 )0,0,(),2,2,0(0 aACbbE = 00,00 = ACGACE OEAC，OGAC EOG 是二面角 E-AC-B的平面角。 2200000,0coscos =
12、BAkxx 从而所以 综上，当 OBOAxAB ,轴时 取得最小值 2。 解法二： （）同解法一。 （）设 A，B 的坐标分别为 ( ) ( )2211, yxyx ，则 ()()( )2,1222=+= iyxyxyxiiiiii令iiiiiiyxtyxs =+= , 则 ()2,10,0,2 = itstsiiii且 ，所以 ()()()()22121414121212121221122112121=+=+=+=ttssttsststststsyyxxOBOA当且仅当=21212121,yyxxttss 即 时， “=”成立 所以 OBOA 的最小值是 2。 （20） （共 14 分） （
13、） 解： 1,0,1,1,0,1,1,2,1,310987654321= aaaaaaaaaa （答案不惟一） （）解：因为绝对差数列 0,3,2120= aaan中 ，所以自第 20 项开始，该数列是,0,3,3,0,3,3,0,32726252423222120= aaaaaaaa 。 即自第 20 项开始，每三个相邻的项周期地取值 3，0，3，所以当 n 时， an的极限不存在。 当 6lim,6,2021=+=+ nnnnnnbaaabn 所以时 （）证明：根据定义，数列na 必在有限项后出现零项，证明如下： 假设na 中没有零项，由于21 =nnnaaa ，所以对于任意的 n，都有 1na ，从而当 ( )31,12121=naaaaaannnnnn时 ； 当 ( )31,12121=naaaaaacnnnnnnn则 ().,4,3,2101=0（n=1,2,3,）矛盾，从而na 必有零项。 若第一次出现的零项为第 n 项，记 ( )01=AAan，则自第 n项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，A，A 即 =+AakAaaknknkn23133,3,2,1,0,0 所以绝对差数列na 中有无穷多个零的项。
