1、2006 年高考试题理科数学（福建卷） 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1）设 , ,abc R 则复数 ()()abicdi+为实数的充要条件是 （ A） 0ad bc= （ B） 0ac bd= （ C） 0ac bd+ = （ D） 0ad bc+= （ 2）在等差数列 na 中，已知1232, 13,aaa=+=则456aaa+ + 等于 （ A） 40 （ B） 42 （ C） 43 （ D） 45 （ 3）已知3(,),sin ,25=则 tan( )4 + 等于 （ A）17（ B） 7 （
2、C）17 （ D） 7 （ 4）已知全集 ,UR= 且 2|12, | 680,Axx Bxx x=+的反函数是 （A）2(0)21xxyx=（B）2(0)21xxyx= （D）21(0)2xxyx= 在区间 ,34 上的最小值是 2 ，则 的最小值等于 （A）23（B）32（C）2 （D）3 （10）已知双曲线22221( 0, 0)xyabab=的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （A） (1, 2 （B） (1, 2) （C） 2, )+ （D） (2, )+ （11）已知 1, 3, . 0,OA OB OA
3、OB= =nullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnull点C在 AOC 30o= 。 设 (, )OC mOA nOB m n R=+ nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull，则mn等于 （ A）13（ B） 3 （ C）33（ D） 3 （ 12）对于直角坐标平面内的任意两点11 2 2(, ),(, )Ax y Bx y ，定义它们之间的一种“距离” ： 21 21.x xyy=+ 给出下列三个命题： 若点 C 在线段 AB 上，则 ;ACCB
4、AB+= 在 ABC 中，若 90 ,oC= 则22 2;AC CB AB+= 在 ABC 中， .ACCBAB+ 其中真命题的个数为 （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。 （ 13）251()xx 展开式中4x 的系数是（用数字作答） 。 （ 14）已知直线 10xy=与抛物线2y ax= 相切，则 _ .a = （ 15）一个均匀小正方体的 6 个面中，三个面上标以数 0，两个面上标以数 1，一个面上标 以数 2。将这个小正方体抛掷 2 次，则向上的数之积的数学期望是。 （ 16）如
5、图，连结 ABC 的各边中点得到一个新的111,ABC 又连 结111ABC 的各边中点得到222ABC ，如此无限继续下 去，得到一系列三角形： ABC ，111ABC ，222ABC ， .， 这一系列三角形趋向于一个点 M。已知 (0,0), (3,0),AB xyACB1 A1C1B2A2C2BO (2,2),C 则点 M 的坐标是。 三解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17） （本小题满分 12 分） 已知函数22( ) sin 3 sin cos 2cos , .f xx xx xR=+ + （ I）求函数 ()f x 的最小正
6、周期和单调增区间； （ II）函数 ()f x 的图象可以由函数 sin 2 ( )yxxR= 的图象经过怎样的变换得到？ （ 18） （本小题满分 12 分） 如图，四面体 ABCD 中， O、 E 分别是 BD、 BC 的中点， 2, 2.CA CB CD BD AB AD= = （ I）求证： AO 平面 BCD； （ II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小； （ III）求点 E 到平面 ACD 的距离。 （ 19） （本小题满分 12 分） 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量 y （升）关于行驶速度 x （千米 /小时）的函数解析式可以表示为： 3138(0
7、 120).128000 80yxxx=+= =nullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnull 异面直线 AB 与 CD 所成角 的大小为2arccos .4（ III）解：设平面 ACD 的法向量为 (, ,),nxyz=null则 .(,).(1,01)0,.(,).(0,3,1)0,nAD xyznAC xyz=null nullnullnullnullnull nullnullnullnull0,30.xzyz+=令 1,y = 得 (
8、3,1,3)n=null是平面 ACD 的一个法向量。 又13(,0),22EC =nullnullnullnull点 E 到平面 ACD 的距离 .321.77EC nhn=nullnullnullnull nullnull （ 19）本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。满分 12 分。 解： （ I）当 40x = 时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540= 小时， xCABODyzE 要耗没313( 40 40 8) 2.5 17.5128000 80+= （升） 。 答：当汽车以 40 千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油
9、17.5 升。 （ II）当速度为 x 千米 /小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为 ()hx升， 依题意得321 3 100 1 800 15( ) ( 8). (0 120),128000 80 1280 4hx x x x xxx=+=+ 是增函数。 当 80x= 时， ()hx取到极小值 (80) 11.25.h = 因为 ()hx在 (0,120上只有一个极值，所以它是最小值。 答：当汽车以 80 千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升。 （ 20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运
10、算能力和综合解题能力。满分 12 分。 解： （ I）222, 1, 1, ( 1, 0), : 2.ab cF lx= = 圆过点 O、 F， 圆心 M 在直线12x= 上。 设1(,),2M t 则圆半径 13()(2) .22r = = 由 ,OM r= 得2213() ,t += 解得 2.t = 所求圆的方程为2219()(2).24xy+ = （ II）设直线 AB 的方程为 (1)( 0),ykx k=+ xylGABF O 代入221,2xy+=整理得22 2 2(1 2 ) 4 2 2 0.kx kx k+= 直线 AB 过椭圆的左焦点 F， 方程有两个不等实根。 记11 2
11、 2(, ),(, ),Ax y Bx y AB中点00(, ),Nx y 则212 24,21kxxk+=+AB 的垂直平分线 NG 的方程为001().yy xxk= 令 0,y = 得 22 20022 2 2211.21212124210, 0,2GGkk kxxkykk k kkx=+ = + = =+ + + 时， ()f x 在 ,1tt+ 上单调递减， 2() () 8.ht f t t t=+ 综上，2267, 3,() 16, 3 4,8, 4tttht ttt t+ （ II）函数 ()yfx= 的图象与 ()ygx= 的图象有且只有三个不同的交点，即函数 () () (
12、)x gx fx =的图象与 x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 22() 8 6ln ,62 8 62( 1)( 3)( ) 2 8 ( 0),xx x xmxx xxxx xx=+ + =+= = 当 (0,1)x 时， ( ) 0, ( )x x 是增函数； 当 (0,3)x 时， ( ) 0, ( )x x 是增函数； 当 1,x= 或 3x= 时， ( ) 0.x = ( ) (1) 7, ( ) (3) 6ln 3 15.xmxm = =+ 最大值 最小值当 x充分接近 0 时， () 0,x 要使 ()x 的图象与 x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 () 7 0,() 6ln3 15 0,xmxm=+ *1223 11. ( ).23 2nnaaannnNaa a+ + +
