1、- 1 - 2006 高考理科数学试题陕西卷 （必修选修 II） 注意事项 ： 本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。 2考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。 3所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（共 60 分） 一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.已知集合 P=x N|1 x 10,集合 Q=x R|x2+x 6 0, 则 P Q 等于( ) A. 2 B.1,2 C.2,3
2、D.1,2,3 2.复数(1+i)21 i等于 ( ) A.1 i B.1+i C. 1+ i D. 1 i 3. nlim12n( n2+1 n2 1)等于 ( ) A. 1 B. 12C.14D.0 4.设函数 f(x)=loga(x+b)(a0,a 1)的图象过点 (2,1),其反函数的图像过点 (2,8),则 a+b 等于 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 5.设直线过点 (0,a),其斜率为 1, 且与圆 x2+y2=2 相切 ,则 a 的值为 ( ) A. 2 B. 2 B. 2 2 D. 4 6.等式 sin( + )=sin2成立 是 、成等差数列 的 ( ) A.必要而
3、不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 7.已知双曲线x2a2 y22=1(a 2)的两条渐近线的夹角为3,则双曲线的离心率为 ( ) A.2 B. 3 C.2 63D.2 33- 2 - 8.已知不等式 (x+y)(1x+ ay) 9 对任意正实数 x,y 恒成立 ,则正实数 a 的最小值为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 9.已知非零向量 AB与 AC满足 (AB|AB|+AC|AC|) BC=0 且AB|AB|AC|AC|=12, 则ABC 为 ( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 10.已知
4、函数 f(x)=ax2+2ax+4(0f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 11.已知平面外不共线的三点 A,B,C 到的距离都相等 ,则正确的结论是( ) A.平面 ABC 必平行于 B.平面 ABC 必与相交 C.平面 ABC 必不垂直于 D.存在 ABC 的一条中位线平行于或在内 12.为确保信息安全 ,信息需加密传输 ,发送方由明文密文 (加密 ),接收方由密文明文 (解密 ),已知加密规则为 :明文 a,b,c,d对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如 ,明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16.当接收方收到密文 14,9,23,28 时 ,
5、则解密得到的明文为 ( ) A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7 第二部分（共 90 分） 二填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 。 13.cos43 cos77 +sin43 cos167的值为 14.(3x1x)12展开式 x 3的系数为 (用数字作答 ) 15.水平桌面上放有 4 个半径均为 2R 的球 ,且相邻的球都相切 (球心的连线构成正方形 ).在这 4 个球的上面放 1 个半径为 R 的小球 ,它和下面 4 个球恰好都相切 ,则小球的球心到水平桌面的距离是 16.某校从 8 名教
6、师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教 (每地 1 人 ),其中甲和乙不同去 ,甲和丙只能同去或同不去 ,则不同的选派方案共有 种 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共74分） 。 17.(本小题满分 12 分 ) - 3 - 已知函数 f(x)= 3sin(2x6)+2sin2(x12) (x R) ( )求函数 f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合 . 18. (本小题满分 12 分 ) 甲、乙、丙 3 人投篮 ,投进的概率分别是13, 25, 12. ( )现 3 人各投篮 1 次 ,求 3 人都没有投进的
7、概率 ; ( )用表示乙投篮 3 次的进球数 ,求随机变量的概率分布及数学期望 E . 19. (本小题满分 12 分 ) 如图 , , =l , A , B ,点 A 在直线 l 上的射影为 A1, 点 B在 l 的射影为 B1,已知 AB=2,AA1=1, BB1= 2, 求 : ( ) 直线 AB 分别与平面 ,所成角的大小 ; ( )二面角 A1 AB B1的大小 . 20. (本小题满分 12 分 ) 已知正项数列 an，其前 n 项和 Sn满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15成等比数列，求数列 an的通项 an. AB A1B1 l第 19 题图 - 4 -
8、21. (本小题满分 12 分 ) 如图 ,三定点 A(2,1),B(0, 1),C( 2,1); 三动点 D,E,M 满足 AD=tAB, BE= t BC, DM=t DE, t 0,1. ( ) 求动直线 DE 斜率的变化范围 ; ( )求动点 M的轨迹方程 . 22.（本小题满分 4 分） 已知函数 f(x)=x3 x2+x2+ 14, 且存在 x0 (0,12) ,使 f(x0)=x0. （ I）证明： f(x)是 R 上的单调增函数；设 x1=0, xn+1=f(xn); y1=12, yn+1=f(yn), 其中 n=1,2, （ II）证明： xn0 , an an1=5 (n
9、 2). 当 a1=3 时 ,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列 a1 3; 当 a1=2 时 , a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15, a1=2, an=5n 3. 21.解法一 : 如图 , ( )设 D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由 AD=tAB, BE= t BC, 知(xD 2,yD 1)=t( 2, 2). xD= 2t+2yD= 2t+1同理 xE= 2tyE=2t 1. kDE= yE yDxE xD= 2t 1 ( 2t+1) 2t ( 2t+2)= 1 2t. t 0,1 , kDE 1,1. ( ) DM=t
10、 DE (x+2t 2,y+2t 1)=t( 2t+2t 2,2t 1+2t 1)=t( 2,4t- 8 - 2)=( 2t,4t2 2t). x=2(1 2t)y=(1 2t)2 , y=x24, 即 x2=4y. t 0,1, x=2(1 2t) 2,2. 即所求轨迹方程为 : x2=4y, x 2,2 解法二 : ( )同上 . ( ) 如图 , OD=OA+AD= OA+ tAB= OA+ t(OB OA) = (1 t) OA+tOB, OE= OB+BE= OB+tBC= OB+t(OC OB) =(1 t) OB+tOC, OM= OD+DM= OD+ tDE= OD+t(OE
11、OD)=(1 t) OD+ tOE= (1 t2) OA+ 2(1 t)tOB+t2OC. 设 M 点的坐标为 (x,y),由 OA=(2,1), OB=(0, 1), OC=( 2,1)得 x=(1 t2) 2+2(1 t)t 0+t2 ( 2)=2(1 2t)y=(1 t)2 1+2(1 t)t ( 1)+t2 1=(1 2t)2 消去 t 得 x2=4y, t 0,1, x 2,2. 故所求轨迹方程为 : x2=4y, x 2,2 22.解 : （ I） f (x)=3x2 2x+12= 3(x13)2+160 , f(x)是 R 上的单调增函数 . （ II） 00 =x1, y2=f
12、(y1)=f(12)=3812=y1,综上 , x1x2x0y2y1. 用数学归纳法证明如下 : (1)当 n=1 时 ,上面已证明成立 . (2)假设当 n=k(k 1)时有 xkxk+1x0yk+1yk. 当 n=k+1 时 ,由 f(x)是单调增函数 ,有 f(xk)f(xk+1)f(x0)f(yk+1)f(yk),xk+1xk+2x0yk+2yk+1由 (1)(2)知对一切 n=1,2, ,都有 xnxn+1x0yn+1yn. y xO M DAB C 1 1 21 2E 第 21 题解法图 - 9 - （ III）yn+1 xn+1yn xn= f(yn) f(xn)yn xn= yn2+xnyn+xn2 (yn+xn)+ 12 (yn+xn)2(yn+xn)+ 12=(yn+xn)122+14. 由 ( )知 0yn+xn1.12 yn+xn12 12, yn+1 xn+1yn xn (12)2+14= 12
