1、 2006 年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（理工农医类） 考生注意： 1答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚 2本试卷共有 22 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 一填空题 （本大题满分 48 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 1已知集合 A 1，3，2 m 1 ，集合 B 3，2m 若 B A，则实数 m 2已知圆2x 4 x 42y 0 的圆心是点 P，则点 P 到直线 x y 10 的距离是 3若函数 )(xf xa （ a 0，且 a 1）的反函
2、数的图像过点（2，1），则 a 4计算：1lim33+nCnn 5若复数 z 同时满足 z z 2 i，z iz （ i为虚数单位），则 z 6如果 cos 51，且 是第四象限的角，那么 )2cos( + 7已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（2 3 ，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是 8在极坐标系中，O 是极点，设点 A（4，3），B（5，65），则OAB 的面积是 9两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷 1 本，共 8 本将它们任意地排成一排，左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示） 10如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与
3、平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 11若曲线2y | x |1 与直线 y kx b 没有公共点，则 k 、 b 分别应满足的条件是 12三个同学对问题“关于 x 的不等式2x 25|3x 52x | ax在1，12上恒成立，求实数 a的取值范围”提出各自的解题思路 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” 乙说：“把不等式变形为左边含变量 x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值” 丙说：“把不等式两边看成关于 x 的函数，作出函数图像” 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 a的取值范围
4、是 二选择题 （本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分 16 分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分 13如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是 答 （ ） （A）AB DC ；（B）ADAB AC ； （C）AB ADBD；（D）ADCB0 14若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 答 （ ） （A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（
5、D）非充分非必要条件 15若关于 x 的不等式 xk )1(2+ 4k 4 的解集是 M，则对任意实常数 k ，总有 答（ ） （A）2M，0M； （B）2 M，0 M； （C）2M，0 M； （D）2 M，0M 16如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点 O，对于平面上任意一点 M，若 p 、 q分别是 M到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（ p ， q）是点 M 的“距离坐标”已知常数 p 0， q0，给出下列命题： 若 p q0，则“距离坐标”为（0，0）的点 有且仅有 1 个； 若 pq 0，且 p q0，则“距离坐标”为 （ p ， q）的点有且仅有 2 个； 若 p
6、q 0，则“距离坐标”为（ p ， q）的点有且仅有 4 个 上述命题中，正确命题的个数是 答 （ ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3 三解答题 （本大题满分 86 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤 17（本题满分 12 分） 求函数 y 2 )4cos()4cos(+ xx x2sin3 的值域和最小正周期 解 A B C D1l2lOM（ p ， 18（本题满分 12 分） 如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30D，相距 10 海里 C 处的乙船，试
7、问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到 1D）？ 解 19（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，DAB60D，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，PO平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成的角为 60D （1）求四棱锥 PABCD 的体积； （2）若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小（结果用反 三角函数值表示） 解（1） （2） 20（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8
8、 分） 在平面直角坐标系 x O y 中，直线 l与抛物线2y 2 x 相交于 A、B 两点 （1）求证：“如果直线 l过点 T（3，0），那么OAOB3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由 解（1） （2） 21（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 6 分） 已知有穷数列 na 共有 2 k 项（整数 k 2），首项1a 2设该数列的前 n项和为nS ，且1+na nSa )1( 2（ n1，2，2 k 1），其中常数 a1 北20 10A B C P AB C D OE
9、（1）求证：数列 na 是等比数列； （2）若 a2122k，数列 nb 满足nb )(log1212 naaan （ n1，2，2 k ），求数列 nb 的通项公式； （3）若（2）中的数列 nb 满足不等式|1b 23|2b 23|12 kb 23|kb223|4，求 k 的值 解（1） （2） （3） 22（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 9 分） 已知函数 y x xa有如下性质：如果常数 a0，那么该函数在 ( 0， a 上是减函数，在 a ， ) 上是增函数 （1）如果函数 y x xb2（ x 0）的值域为 6， ) ，求 b 的值； （2）研究函数 y 2x 2xc（常数 c0）在定义域内的单调性，并说明理由； （3）对函数 y x xa和 y 2x 2xa（常数 a0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数 )(xFnxx )1(2+ nxx)1(2+ （ n是正整数）在区间21，2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论） 解（1） （2） （3）
