1、 2006 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题卷（理工农医类） 数学试题（理工农医类）共 5 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使 0.5 毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题止规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 P（ A+
2、B） P(A)+P(B) . 如果事件 A、 B 相互独立，那么 P(A B) P(A) P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立事件重复试验中恰好发生 k次的概率 Pn(k)=CknPk(1-P)n-k 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . (1)已知集合 U=1,2,3,4,5,6,7, A=2,4,5,7,B=3,4,5,则( uA)( uB)= (A)1,6 (B)4,5 (C)1,2,3,4,5,7 (D)1,2,3,6,7 (2)在等差数列 an中，若 a a+ab=1
3、2,SN是数列a n的前n 项和，则 SN的值为 （A）48 (B)54 (C)60 (D)66 (3)过坐标原点且与 x2 y2 4x2 y+25=0相切的直线的方程为 （A） y=-3x或 y=31x (B) y=-3x或 y=-31x （C） y=-3x或 y=-31x (B) y=3x或 y=31x (4)对于任意的直线 l 与平同 a,在平面 a 内必有直线 m,使 m 与 l (A)平行 （ B）相交 (C)垂直 (D)互为异面直线 （ 5）若 ( x3 )x1n的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为 (A)-540 (B) (c)162 (D)540 (6)为了了解某
4、地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁岁的男生体重 (kg) ,得到频率分布直方图如下： 根据上图可得这 100 名学生中体重在56.5,64.5的学生人数是 (A)20 (B)30 (C)40 （D）50 (7)与向量 a= b,21,2727,21的夹解相等，且模为 1的向量是 (A) 53,54(B) 53,54或53,54（C）31,322（D）31,322或31,322（）将 5名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有 （A）种 （B）种 （C）种 （D） 种 （）如图所示，单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示
5、弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的倍，则函数 y=f(x)的图象是 题 （）图 （）若 a,b,c0 且 a(a+b+c)+bc=4-2 3 ,则2 a+b+c 的最小值为 （A） 3 -1 (B) 3 +1 (C) 2 3 +2 (D) 2 3 -2 一、填空题：本大题共 6 小题，共 24 分，把答案填写在答题卡相应位置上 （11）复数复数2i321+ i的值是 _. (12)nlim=+12)12(312nnn_. (13)已知 , ,43， sin( + )= ,53sin ,13124= 则 os+4 =_. (14)在数列 an中，若 a1=1,an+1=2an+3 (n 1
6、),则该数列的通项 an=_. (15)设 a 0,n 1,函数 f(x)=alg(x2-2n+1)有最大值 .则不等式 logn(x2-5x+7) 0的解集为 _. (16)已知变量 x,y 满足约束条件 1 x+y 4,-2 x-y 2.若目标函数 z=ax+y(其中 a 0)仅在点(3,1)处取得最大值，则 a 的取值范围为 _. 二、解答题：本大题共小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （ 17） （本小题满分 13 分） 设函数 f(x)= 3 cos2cos+sin rcos x+a(其中 0,aR),且 f(x)的图象在 y 轴右侧的第一个高点的横坐标为6x. （
7、）求的值； （）如果 f(x)在区间65,3上的最小值为 3 ，求 a 的值 . （） （本小题满分 13 分） 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18、 19、 20 层可以停靠 .若该电梯在底层载有 5 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为31，用表示这 5 位乘客在第 20层下电梯的人数 .求： （）随机变量的分布列； （）随机变量的期望 . （） （本小题满分分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD,DAB 为直角， AB CD,AD=CD=24B,E、F 分别为 PC、 CD 的中点 . （）试证： CD平面 BEF; （）设 PA k AB,
8、且二面角 E-BD-C 的平面角大于30 ,求 k 的取值范围 . （ 20） (本小题满分 13 分 ) 已知函数 f(x)=(x2+bx+c)cx,其中 b,cR 为常数 . 图 (19)图 （）若 b2 4(a-1),讨论函数 f(x)的单调性； （）若 b2 4(c-1),且nlimxcxf )(=4,试证： 6 b 2. (21)(本小题满分 12 分 ) 已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x. （）若 f(2)-3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); （）设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0,求函数 f(x
9、)的解析表达式 . (22)(本小题满分 12 分 ) 已知一列椭圆 Cn:x2+22nby=1.0 bn 1,n=1,2.若椭圆 C 上有一点 Pn使 Pn到右准线 ln的距离 d.是 PnFn与 PnCn的等差中项，其中 Fn、 Cn分别是 Cn的左、右焦点. （）试证： bn23(n 1); （）取 bn232+nn，并用 SA表示 PnFnGn的面积，试证： S1 S1且 Sn Sn+3 (n 3). 图 ( )图 （ 20） (本小题满分 13 分 ) 已知函数 f(x)=(x2+bx+c)cx,其中 b,cR 为常数 . （）若 b2 4(a-1),讨论函数 f(x)的单调性； （
10、）若 b2 4(c-1),且nlimxcxf )(=4,试证： 6 b 2. (21)(本小题满分 12 分 ) 已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x. （）若 f(2)-3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); （）设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0,求函数 f(x)的解析表达式 . (22)(本小题满分 12 分 ) 已知一列椭圆 Cn:x2+22nby=1.0 bn 1,n=1,2.若椭圆 C 上有一点 Pn使 Pn到右准线 ln的距离 d.是 PnFn与 PnCn的等差中项，其中 Fn、 Cn分别是 Cn的左、
11、右焦点. （）试证： bn23(n 1); （）取 bn232+nn，并用 SA表示 PnFnGn的面积，试证： S1 S1且 Sn Sn+3 (n 3). 图 ( )图 部分参考答案 (18)(本小题 13 分 ) 解法一： （）的所有可能值为， . 由等可能性事件的概率公式得 P( =0)=2532=24332, P( =1)= =541532C.24380P( =2)= =532532C=24380, P( =3)= =542532C.24340P( =4)= =54332C=24310, P( =5)= =531.2431从而的分布列为 0 1 2 3 4 5 P 2433224380
12、2438024340243102431（）由（）得的期望为 E =024332+24380+224380+324340+424310+52431=243405=35. 解法二： （）考察一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验，这是 5 次独立重复试验 . 故 B31,5 ,即有 P( =k)=C25b31k532,k=0,1,2,3,4,5. 由此计算的分布列如解法一 . 解法三： （）同解法一或解二 . （）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等 . 即 3E =5,从而 E =35. （ 19） （本小题 13 分） 解法一： （）证：由已知 DF AB 且
13、 DAD 为直角，故 ABFD 是矩形，从而 CDBF. 又 PA 底面 ABCD,CDAD，故由三垂线定理知 CDPD.在 PDC 中， E、 F 分别 PC、 CD 的中点，故 EF PD,从而 CDEF,由此得 CD面 BEF. 第（ 19）图 （）连结 AC 交 BF 于 G.易知 G 为 AC 的中点 .连接 EG,则在 PA C 中易知 EC PA .又因 PA 底面 ABCD,故 BC底面 ABCD.在底面 ABCD 中， 过 C 作 GHBD,垂足为 H,连接 EH.由三垂线定理知 EHBD.从而 EHG 为二面角 E-BD-C 的平面角 . 设 AB=a,则在 PA C 中，
14、有 BG=21PA =21ka. 以下计算 GH，考察底面的平面图（如答 (19)图） .连结 GD. 因 SCBD=21BD GH=21GB OF. 故 GH=BDDFGB. 在 ABD 中，因为 AB a,AD=2A, 得 BD= 5 a 第（ 19）图 而 GB=21FB=21AD-a.DF-AB,从而得 GH=BDDFGB= aaa5 .55a 因此 tanEHG=GHEG= .255521kaka= 由 k 0 知 EHG 是锐角，故要使 EHG 30 ，必须 k25 tan 30 = ,33解之得， k 的取值范围为 k .15152解法二： （）如图，以 A 为原点， AB 所在
15、直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴， AP 所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设 AB=a,则易知点 A,B,C,D,F 的坐标分别为 A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0), F(a,2a,0). 从而 DC =(2a,0,0), BF =(0,2a,0), DC BF =0,故 DC BF . 设 PA =b,则 P(0,0,b),而 E 为 PC 中点 .故 第（ 19） E2,baa .从而 BE =2,0ba . DC BE =0,故 DC BE . 由此得 CD面 BEF. （） 设 E 在 xOy 平面上的投影为 G， 过 G 作 G
16、HBD 垂足为 H,由三垂线定理知 EHBD. 从而 EHG 为二面角 E-BD-C 的平面角 . 由 PA k AB 得 P(0,0,ka),E2,kaaa ,G(a,a,0). 设 H(x,y,0)，则 GH =(x-a,y-a,0), BD =(-a,2a,0), 由 GH BD =0 得 =a(x-a)+2a(y-a)=0,即 x-2y=-a 又因 BH =(x,a,y,0),且 BH 与 BD的方向相同，故aax ay2，即 2x+y=2a 由解得 x=53a,y=54a,从而 GH 0,51,52aa ， GH 55a. tanEHG=GHEC =aKa552= k25. 由 k
17、0 知， EHC 是锐角，由 EHC ,30 得 tanEHG tan ,30 即 k25 .33故 k 的取值范围为 k15152. (20)（本小题 13 分） 解： （）求导得 f2(x)= x2+(b+2)x+b+cex. 因 b2 4(c-1),故方程 f2(x)=0 即 x2+(b+2)x+b+c=0 有两根； x1=2)1(422+cbcb x2=22+b.2)1(42+cb令 f （ x） 0，解得 x x1或 x x1；又令 f （ x） 0，解得 x1 x x2. 故当 x （ -, x1）时， f(x)是增函数，当 x （ x2，+）时， f(x)也是增函数，但当 x （
18、 x1， x2）时， f(x)是减函数 . （）易知 f(0)=c,f(u)=b+c,因此 ebfxfxfxexf+=)0()0()(lim)(lim00. 所以，由已知条件得 b+e=4 b2 4(e-1), 因此 b2+4b-12 0. 解得 -6 b 2. (21)（本小题 12 分） 解： （）因为对任意 x R， 有 f(f(x)- x2+ x)=f(x)- x2+x，所以 f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2. 又由 f(2)=3，得 f(3-22+2)-3-22+2，即 f(1)=1. 若 f(0)=a，则 f(a-02+0)=a-02+0，即 f(a)=a. （）因
19、为对任意 x R， 有 f(f(x)- x2+x)=f(x)- x2+x. 又因为有且只有一个实数 x0,使得 f(x0)- x0. 所以对任意 x R， 有 f(x)- x2+x= x0. 在上式中令 x= x0,有 f(x0)-x20+ x0=x0, 又因为 f(x0)- x0，所以 x0-x20=0，故 x0=0 或 x0=1. 若 x0=0，则 f(x)- x2+x=0，即 f(x)= x2x. 但方程 x2x=x 有两上不同实根，与题设条件矛质，故 x2 0. 若 x2=1,则有 f(x)- x2+x=1，即 f(x)= x2x+1.易验证该函数满足题设条件 . 综上，所求函数为 f
20、(x)= x2x+1（ xR） . （ 22） （本小题 12 分） 证： （ 1）由题设及椭圆的几何性质有 .1,2|2 =+=nnnnnndGPFPd 故 设 则右准线方程为,12nnbt = .1xnexl = 因此，由题意nd 应满足 .1111+xnxede即 ，解之得：12110111nnxeee 即 121ne , 从而对任意 .23,1 nbn （）设点 及椭圆方程易知则出）的坐标为（ 1, nnnndfxP ,11=nnex )11(1)(1()1(22222=nnnnnccxby 得两极6131，从而易知 f(c)在（21，6131）内是增函 数，而在（6131，1）内是减函数 . 现在由题设取 ,211211,2322cnnnbcnnbnnn+=+= 则 是增数列 .又易知 432=c .546131nc= 故由前已证，知 ).3(121+nSSSSnn，且
