1、 第 1 页 共 11 页 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修) 本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分第卷 1 至 2 页第卷 3 至 10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号不能答在试题卷上 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ( )
2、 () ()PA B PA PB+= + 24SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 343VR= n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () (1 ) ( 012 )kk nkknPk Cp p k n=L， ， ， 一、选择题 1设集合 |3 2Mm m= ，则双曲线22221(1)xyaa=+的离心率 e 的取值范围是（ ） A (22)， B (2 5)， C (2 5)， D (2 5)， 10
3、已知正四棱锥 SABCD 的侧棱长与底面边长都相等， E 是 SB 的中点， 则 AESD， 所成的角的余弦值为（ ） A13B23C33D2311等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 20xy+ =与 740xy =，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A 3 B 2 C13 D12 12已知球的半径为 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为 2，则两圆的圆心距等于（ ） A 1 B 2 C 3 D 2 第 3 页 共 11 页 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (必修 +选修 ) 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，
4、共 20 分把答案填在题中横线上 13设向量 (1 2) (2 3)=， ，ab，若向量 +ab与向量 (4 7)= ，c 共线，则 = 14设曲线axy e= 在点 (0 1)， 处的切线与直线 210xy+ +=垂直，则 a = 15已知 F 是抛物线24Cy x=： 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A B， 两点设FAFB ，则 FA 与 FB 的比值等于 16平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件 ； 充要条件 （写出你认为正确的两个充要条件） 三、解答题：本大题共 6 小
5、题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 在 ABC 中，5cos13B = ，4cos5C = （）求 sin A 的值； （）设 ABC 的面积332ABCS =，求 BC 的长 18 （本小题满分 12 分） 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10 000 元的赔偿金假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为4101 0.999 （）求一投保人在一年度内出险的概率 p ； （）设
6、保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元） 第 4 页 共 11 页 19 （本小题满分 12 分） 如图，正四棱柱111 1ABCD A B C D 中，124AA AB= = ，点 E 在1CC 上且 ECEC 31= （）证明：1AC平面 BED ； （）求二面角1ADEB 的大小 20 （本小题满分 12 分） 设数列 na 的前 n 项和为nS 已知1aa= ，13nnnaS+= + ，*nN （）设 3nnnbS=，求数列 nb 的通项公式； （）若1nnaa+ ，*nN ，求 a 的取值范围
7、21 （本小题满分 12 分） 设椭圆中心在坐标原点， (2 0) (01)AB， ， 是它的两个顶点，直线 )0( = kkxy 与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E、 F 两点 （）若 6EDDF=uuur uuur，求 k 的值； （）求四边形 AEBF 面积的最大值 22 （本小题满分 12 分） 设函数sin()2cosxfxx=+ （）求 ()f x 的单调区间； （）如果对任何 0x ，都有 ()f xax ，求 a 的取值范围 AB CDEA1 B1 C1 D1 第 5 页 共 11 页 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修 +选修）参考答案和评分参
8、考 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题 1 B 2 A 3 C 4 C 5 D 6 D 7 B 8 B 9 B 10 C 11 A 12 C 二、填空题 13 2 14 2 5 322+ 16
9、两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形 注：上面给出了四个充要条件如果考生写出其他正确答案，同样给分 三、解答题 17解： （）由5cos13B = ，得12sin13B = ， 由4cos5C = ，得3sin5C = 所以33sin sin( ) sin cos cos sin65ABC BCBC=+= + = 5 分 （）由332ABCS =得 133sin22AB AC A =， 由（）知33sin65A= ， 故 65AB AC=， 8 分 又 sin 20sin 13AB BACABC=， 故 2206513AB = ，132AB = 所以
10、sin 11sin 2AB ABCC= 10 分 第 6 页 共 11 页 18解： 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是 p ，记投保的 10 000 人中出险的人数为 ， 则4(10 )B p ， （）记 A 表示事件：保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金，则 A 发生当且仅当 0 = ， 2 分 () 1 ()PA PA= 1(0)P = = 4101(1 )p= ， 又410( ) 1 0.999PA= ， 故 0.001p = 5 分 （）该险种总收入为 10 000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和 支出 10 000 50 000 + ， 盈利 10 000 (
11、10 000 50 000)a = +， 盈利的期望为 10 000 10 000 50 000EaE = ， 9 分 由43 (10 10 )B， 知，310 000 10E=， 44 410 10 5 10EaE= 4443 410 10 10 10 5 10a= 0E44 410 10 10 5 10 0a 10 5 0a 15a （元） 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元 12 分 19解法一： 依题设知 2AB = ， 1CE = 第 7 页 共 11 页 （）连结 AC 交 BD于点 F ，则 BDAC 由三垂线定理知，1BDAC 3 分 在平面1ACA内，连结 EF 交1A
12、C于点 G ， 由于122AA ACFC CE=， 故1Rt RtAAC FCE ，1AAC CFE=， CFE 与1FCA 互余 于是1AC EF 1AC与平面 BED 内两条相交直线 BDEF， 都垂直， 所以1AC 平面 BED 6 分 （）作 GH DE ，垂足为 H ，连结1AH 由三垂线定理知1AH DE ， 故1AHG 是二面角1ADEB的平面角 8 分 223EF CF CE=+=， 23CE CFCGEF=，2233EG CE CG= 13EGEF= ，12315EF FDGHDE= = 又221126AC AA AC=+=，11563AG AC CG= 11tan 5 5A
13、GAHGHG= 所以二面角1ADEB的大小为 arctan 5 5 12 分 解法二： 以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系 Dxyz 依题设，1(220) (020) (021) (204)BCEA， ， ， ， ， ， ， ， (0 2 1) (2 2 0)DE DB=uuur uuur， ， ， ， ， AB C D E A1B1 C1 D1 y xzAB C DE A1B1 C1 D1F H G 第 8 页 共 11 页 11(22 4) (204)AC DA= =uuur uuuur， ， ， ， 3 分 （）因为10AC DB=uuur uu
14、urnull ，10AC DE=uuur uuurnull ， 故1AC BD ，1AC DE 又 DB DE D=I ， 所以1AC平面 DBE 6 分 （）设向量 ()x yz= ，n 是平面1DA E 的法向量，则 DEuuurn ，1DAuuuurn 故 20yz+=， 240xz+ = 令 1y = ，则 2z = ， 4x = ， (41 2)=， ，n 9 分 1ACuuur，n 等于二面角1ADEB的平面角， 11114cos42ACACAC=uuuruuurnulluuur，nnn 所以二面角1ADEB的大小为14arccos42 12 分 20解： （）依题意，113nnn
15、n nSSaS+= =+，即123nnnSS+= + ， 由此得1132(3)nnnnSS+= 4 分 因此，所求通项公式为 13(3)2nnnnbS a= ，*nN 6 分 （）由知13( 3)2nnnSa=+ ，*nN ， 于是，当 2n 时， 1nnnaSS= 11 23(3)2 3 (3)2nnn naa =+ 1223 ( 3)2nna= + ， 12143 ( 3)2nnnnaa a+= + 第 9 页 共 11 页 223212 32nna=+， 当 2n 时， 21312 3 02nnnaa a+ + 9a 又21 13aa a=+ 综上，所求的 a 的取值范围是 )9+， 1
16、2 分 21 （）解：依题设得椭圆的方程为2214xy+ = ， 直线 AB EF， 的方程分别为 22xy+=， (0)ykxk= 2 分 如图，设00 11 22()()()D x kx E x kx F x kx， ， ，其中12x x ，210yy=， 故四边形 AEBF 的面积为 BEF AEFSS S=+222x y=+ 9 分 222(2)x y=+ 222244x yxy=+ 222( 4 )x y+ 22= ， 当222x y= 时，上式取等号所以 S 的最大值为 22 12 分 22解： （）22(2 cos )cos sin ( sin ) 2cos 1()(2 cos ) (2 cos )xx x x xfxx x+ + =+ 2 分 第 11 页 共 11 页 当2 22 2 33kxk ，即 () 0fx ； 当2 42 2 33kxk+ 因此 ()hx在 )0arccos3a， 上单调增加 故当 (0 arccos3 )x a ， 时， () (0) 0hx h=， 即 sin 3x ax 于是，当 (0 arccos3 )x a ， 时，sin sin()2cos 3xxf xaxx= + 当 0a 时，有 1 022 2fa= 因此， a 的取值范围是13+， 12 分
