1、2010年高考试题数学试题（文史类）-福建卷 第 I 卷（选择题 共 60 分） 1. 若集合 A=x|1x3， B=x|x 2，则 AB 等于 A x | 2 x3 B x | x1 C x | 2x 3 D x | x 2 2. 计算 1 2sin222.5的结果等于 A.1/2 B. /2 C /3 D /2 3. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积等于 A. B.2 C.2 D.6 4. i 是虚数单位， （ （ 1+i） /(1-i)）4等于 A.i B.-i C.1 D.-1 5. 若 x， y R，且 ，则 z=x+2y 的最小值等于 A.2 B.3 C.5
2、D.9 6. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 i 值等于 A.2 B.3 C.4 D.5 7. 函数 f（ x） = 的零点个数为 A.2 B.2 C.1 D.0 8.若向量 a=（ x， 3） （ x R） ，则 “x=4”是 “| a |=5”的 A.充分而不必要 B.必要而不充分 C 充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 A.91.5 和 91.5 B.91.5 和 92 C 91 和 91.5 D.92 和 92 10.将函数 f（ x） =sin（ x+）的图像向左平移 /2
3、个单位，若所得图像与原图像重合，则 的值不可能等于 A.4 B.6 C.8 D.12 11.若点 O 和点 F 分别为椭圆 x2/4 +y2/3 =1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上点的任意一点，则 的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8 12.设非空集合 S=x | mxl满足：当 x S 时，有 x2 S . 给出如下三个命题： 若 m=1，则 S=1；若 m= 1/2 ，则 1/4 l 1； l=1/2，则 /2m0 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 . 把答案
4、填在答题卡的相应位置 . 13.若双曲线 x2 / 4 y2 / b2=1 (b 0) 的渐近线方程为 y=1/2 x ，则 b 等于 . 14.将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组 . 绘制频率分步直方图 .若第一组至第六组数据的频率之比为 2： 3： 4： 6： 4： 1，且前三组数据的频率之和等于 27，则 n 等于 . 15. 对于平面上的点集 ，如果连接 中任意两点的线段必定包涵 ，则称 为平面上的凸集，给出平面上 4 个点集的图形如下（阴影区域及其边界） ： 其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号） . 16.观察下列等式： cos2=2 cos2 1； cos 4=8
5、cos4 8 cos2+1； cos 6=32 cos6 48 cos4 18 cos2 1； cos 8= 128 cos8 256cos6 160 cos4 32 cos2 1； cos 10=mcos10 1280 cos8 1120cos6 ncos4 p cos2 1； 可以推测， m n+p= . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.（本小题满分 12 分） 数列 an中， a1=1/3，前 n 项和 S n 满足 S n+1 S n=（ 1 / 3）n + 1(n )N *. （ I）求数列 an的通项公式 an 以及前
6、 n 项和 S n （ II）若 S 1， t（ S 1+ S 2） ， 3（ S 2+ S 3）成等差数列，求实数 t 的值 . 18.（本小题满分 12 分） 设平面向量 a m =（ m， 1） ， b n =（ 2， n） ，其中 m， n 1,2,3,4. （ I）请列出有序数组（ m， n）的所有可能结果； （ II）记 “使得 a m （ a m b n）成立的（ m， n） ”为事件 A，求事件 A 发生的概率 . 19.（本小题满分 12 分） 已知抛物线 C 的方程 C： y 2=2 p x（ p 0）过点 A（ 1， -2） . （ I）求抛物线 C 的方程，并求其准线方
7、程； （ II）是否存在平行于 OA（ O 为坐标原点）的直线 l，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由。 20.（本小题满分 12 分） 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， E， H 分别是棱 A1B1， D1C1上的点（点 E 与 B1不重合） ，且 EH A1D1. 过 EH 的平面与棱 BB1， CC1相交，交点分别为 F， G。 （ I） 证明： AD平面 EFGH； （ II） 设 AB=2AA1=2 a .在长方体 ABCD A1B1C1D1内随机选取一点。记该点取自几何体 A1AB
8、FE-D1DCGH 内的概率为 p， 当点 E， F 分别在棱 A1B1上运动且满足 EF=a时，求 p 的最小值 . 21. （本小题满分 12 分） 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的 O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里 /小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 v 海里 /小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇 . （ I） 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ （ II） 为保证小艇在 30 分钟内（含 30 分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航
9、行速度的最小值； （ III） 是否存在 v，使得小艇以 v 海里 /小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 v 的取值范围；若不存在，请说明理由 . 22 （本小题满分 14 分） 已知函数21()3f xxaxb= + +的图像在点 P(0,f(0)处的切线方程为 32yx= . （）求实数 a， b 的值； （）设224(2) 2 2, 1yx px= =null () ()1mgx fxx=+是 2, )+ 上的增函数 . （）求实数 m 的最大值； （）当 m 取最大值时，是否存在点 Q，使得过点 Q 的直线能与曲线 ()ygx= 围成两个封闭图形，则
10、这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由 . 参考答案 选择题：本大题考查基础知识和基本运算 .每小题 5 分，满分 60 分 . 1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C 7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D 填空题：本大题考查基础知识和基本运算 . 每小题 4 分，满分 16 分 . 13.1 14.60 15. 16.962 三、 解答题：本大题共 6 小题；共 74 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.本小题主要考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想 .满分
11、 12 分 . 解： ( )由 S n+1 S n =（13） n + 1 得111()3nna+=(n N *)； 又113a =，故1()3nna =(n N *) 从而111 ( ) 11331 ( ) 12313nnns=(n N *). ( )由 ( )可得113S =，249S =，31327S =从而由 S 1， t（ S 1+ S 2） ， 3（ S 2+ S 3）成等差数列可得： 1413 143( ) 2( )3927 39t+ + = +，解得 t=2. 18.本小题主要考查概率、平面向量等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查化归与转化思想、必然与或然思想 .满分
12、12 分 . 解： ( )有序数组（ m,n）的吧所有可能结果为： （ 1,1） ， （ 1,2） ， （ 1,3） ， （ 1,4） ， （ 2,1） ， （ 2,2） ， （ 2,3） ， （ 2,4） ， （ 3,1） ， （ 3,2） ， （ 3,3） ，（ 3,4） ， （ 4,1） ， （ 4,2） ， （ 4,3） ， （ 4,4） ，共 16 个 . ( )由()mmnaab得221mm no+=，即2(1)nm= . 由于,mn 1,2,3,4 ，故事件 A 包含的基本条件为（ 2,1）和（ 3,4） ，共 2 个 .又基本事件的总数为 16，故所求的概率21()16 8PA
13、= =. 19.本小题主要考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想 .满分 12 分 . 解： （）将（ 1,-2）代入22ypx=，所以2p =. 故所求的抛物线 C 的方程为24yx=，其准线方程为1x=. （）假设存在符合题意的直线 l ，其方程为 y= 2x + t ， 由 ，得 y2 2 y 2 t=0. 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以得 =4+8 t，解得 t 1/2 . 另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d= ，可得 = ，解得 t=1. 因为 1- , ） ， 1 ， ） ，所以
14、符合题意的直线 l 存在，其方程为 2x+y-1 =0. 20.本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概念等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、形数结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分 12 分 解法一： （ I） 证明：在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AD A1D1 又 EH A1D1 ， AD EH. AD平面 EFGH EH 平面 EFGH AD/平面 EFGH. （ II） 设 BC=b，则长方体 ABCD A1B1C1D1的体积 V=ABADAA1=2a2b， 几何体 EB1F-HC1G 的体
15、积 V1=（ 1/2EB1 B1F） B1C1=b/2EB1B1 F EB12+ B1 F2=a2 EB12+ B1 F2 （ EB12+ B1 F2） /2 = a2 / 2,当且仅当 EB1=B1 F= /2 a 时等号成立 从而 V1 a2b /4 . 故 p=1-V1/V 7/8 解法二： （ I） 同解法一 （ II） 设 BC=b，则长方体 ABCD A1B1C1D1的体积 V=ABADAA1=2a2b ， 几何体 EB1F-HC1G 的体积 V1=（ 1/2 EB1B1 F） B1C1=b/2 EB1B1 F 设 B1EF=（ 0 90） ，则 EB1= a cos， B1 F
16、=a sin 故 EB1B1 F = a2sin cos = ，当且仅当 sin 2 =1 即 =45时等号成立 . 从而 p=1- V1/V =7/8，当且仅当 sin 2 =1 即 =45时等号成立 . 所以， p 的最小值等于 7/8 21.本小题主要考察解三角形、二次函数等基础知识，考察推断论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想 .满分 12分 . 解法一： （ I）设相遇时小艇的航行距离为 S 海里，则 S= = = 故 t=1/3 时， S min= ， v= =30 即，小艇以 30 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行
17、距离最小 （）设小艇与轮船在 B 处相遇 由题意可知，（vt）2=202+（30 t）2-22030tcos（90-30）， 化简得：v2= +900 =400 +675 由于 0 t 1/2，即 1/t 2, 所以当1t=2 时， v取得最小值 10 13 ， 即小艇航行速度的最小值为 10 13 海里 /小时。 （）由（）知22400 600900vtt=+，设1ut= (0)u ， 于是22400 600 900 0uu v +=。 （ *） 小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程（ *）应有两个不等正根，即： 222600 1600(900 ) 0,900 0.vv 解得
18、15 3 30v 时，设 2mytt=+ ， 1, )t+ 因为21 0myt=+ ，所以函数 2mytt=+ 在 1, )+ 上单调递增， 因此min3y m=。 min0, 3 0ymQ ，即 3m 。 又 0m ，故 03m。 综上， m 的最大值为 3。 （）由（）得3213() 3 231gx x x xx=+，其图像关于点1(1, )3Q 成中心对称。 证明如下： Q3213() 3 231gx x x xx=+32(2 ) (2 ) (2 ) 3(2 ) 21gx x x xx = + + 32183331xx xx= + + +因此，2() (2 )3gx g x+=。 上式表
19、明，若点 (, )Axy为函数 ()gx在图像上的任意一点，则点2(2 , )3B xy 也一定在函数 ()gx的图像上。而线段 AB 中点恒为点1(1, )3Q ，由此即知函数 ()gx的图像关于点 Q成中心对称。 这也就表明，存在点1(1, )3Q ，使得过点 Q的直线若能与函数 ()gx的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。 解法二： （）同解法一。 （） （）由321() 3 231mgx x x xx=+得22( ) 2 3(1)mgx x xx=+。 ()gxQ 是 2, )+ 上的增函数， ( )gx 0 在 2, )+ 上恒成立， 即2223 0(1)mxxx+
20、 在 2, )+ 上恒成立。 设2(1)x t=。 2, ), 1, )xt+Q ， 即不等式 20mtt+ 在 1, )+ 上恒成立。 所以22mt t + 在 1, )+ 上恒成立。 令22y tt=+， 1, )t+，可得min3y = ，故 3m ，即 m 的最大值为 3. （）由（）得3213() 3 231gx x x xx=+， 将函数 ()gx的图像向左平移 1 个长度单位，再向下平移13个长度单位，所得图像相应的函数解析式为313() 23xxxx =+， (,0)(0,)x +U 。 由于 () ()x x = ，所以 ()x 为奇函数，故 ()x 的图像关于坐标原点成中心对称。 由此即得，函数 ()gx的图像关于点1(1, )3Q 成中心对称。 这也表明，存在点1(1, )3Q ，是得过点 Q的直线若能与函数 ()gx的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。
