1、2018 年 辽 宁 省 大 连 市 瓦 房 店 市 高 考 一 模 试 卷 数 学 文一 、 选 择 题 ： (本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 )1.设 集 合 U=0， 1， 2， 3， 4， 5， A=x N|x2 4， B=x Z|1 x 4， 则 C U(A B)=( )A.0， 1， 2， 3B.5C.1， 2， 4D.4， 5解 析 ： 集 合 U=0， 1， 2， 3， 4， 5，A=x N|x2 4=x N|-2 x 2=0， 1，B=x
2、 Z|1 x 4=2， 3， A B=0， 1， 2， 3， C U(A B)=4， 5.答 案 ： D2.已 知 向 量 ) )2(2 (a m b m ， ， ， ， 若 a b， 则 实 数 m等 于 ( )A.-2 B.2 C.-2或 2 D.0解 析 ： 向 量 a=(2， m)， b=(m， 2)， 若 a b， 可 得 m2=4， 解 得 m= 2.答 案 ： C3.已 知 i 是 虚 数 单 位 ， 若 复 数 (1-i)z=1+3i， 则 复 数 z 的 模 为 ( )A. 2 B. 5C.2 2D. 10解 析 ： 由 (1-i)z=1+3i， 得 1 31 3 1 3 1
3、0 51 1 1 2ii iz zi i i ， 答 案 ： B4.a 0是 方 程 ax 2+1=0有 一 个 负 数 根 的 ( )A.必 要 不 充 分 条 件B.充 要 条 件C.充 分 不 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 解 析 ： 若 a=0时 ， 满 足 a 0 时 ， 方 程 ax2+1=0无 解 ， 充 分 性 不 成 立 ， 由 ax2+1=0得 ax2=-1，则 a 0时 ， 方 程 无 解 ， 当 a 0 时 ， 2 1x a ， 则 1x a ， 此 时 方 程 为 一 个 正 根 一 个负 根 ， 即 必 要 性 成 立 ， 即 a 0 是
4、 方 程 ax2+1=0有 一 个 负 数 根 的 必 要 不 充 分 条 件 .答 案 ： A5.天 气 预 报 说 ， 今 后 三 天 每 天 下 雨 的 概 率 相 同 ， 现 用 随 机 模 拟 的 方 法 预 测 三 天 中 有 两 天 下 雨的 概 率 ， 用 骰 子 点 数 来 产 生 随 机 数 .依 据 每 天 下 雨 的 概 率 ， 可 规 定 投 一 次 骰 子 出 现 1 点 和 2点 代 表 下 雨 ； 投 三 次 骰 子 代 表 三 天 ； 产 生 的 三 个 随 机 数 作 为 一 组 .得 到 的 10组 随 机 数 如 下 ：613， 265， 114， 23
5、6， 561， 435， 443， 251， 154， 353.则 在 此 次 随 机 模 拟 试 验 中 ， 每 天 下雨 的 概 率 和 三 天 中 有 两 天 下 雨 的 概 率 的 近 似 值 分 别 为 ( ) A. 1 32 8，B. 1 12 8，C. 1 13 5，D. 1 23 9，解 析 ： 投 一 次 骰 子 ， 出 现 点 数 共 有 6 种 情 况 ， 每 天 下 雨 的 概 率 为 2 16 3 .在 产 生 的 10组 随 机 数 中 ， 含 有 1 或 2 的 个 数 恰 有 2 个 的 随 机 数 共 有 2 个 ， 即 114， 251， 三 天 中 有 两
6、 天 下 雨 的 概 率 为 2 110 5 答 案 ： C6.已 知 双 曲 线 C： 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)的 离 心 率 为 52 ， 则 C 的 渐 近 线 方 程 为 ( )A.y= 14 xB.y= 13 xC.y= 12 xD.y=x 解 析 ： 根 据 题 意 ， 双 曲 线 C： 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)的 离 心 率 为 52 ，则 有 2 2 2 22 2 2 2 51 4c a b be a a a ， 即 22 14ba ， 即 有 12ba 12， 又 由 双 曲 线 的 焦 点 在 x 轴 上 ， 则 其 渐
7、近 线 方 程 为 ： y= 12 x.答 案 ： C7.已 知 等 比 数 列 an满 足 a1= 14 ， a3a5=4(a4-1)， 则 a2=( )A.2B.1C. 12D. 18解 析 ： 设 等 比 数 列 a n的 公 比 为 q， a1= 14 ， a3a5=4(a4-1)， 2 6 31 14 14 4q q ，化 为 q3=8， 解 得 q=2， 则 2 1 124 2a 答 案 ： C8.在 函 数 y=cos|2x|， y=|cosx|， y=cos(2x+ 6 )， y=tan(2x- 4 )中 ， 最 小 正 周 期 为 的 所 有 函 数 为 ( )A. B. C
8、. D. 解 析 ： 函 数 y=cos|2x|=cos2x， 它 的 最 小 正 周 期 为 22 = ， y=|cosx|的 最 小 正 周 期 为 1 22 1 = ， y=cos(2x+ 6 )的 最 小 正 周 期 为 22 = ， y=tan(2x- 4 )的 最 小 正 周 期 为 2 .答 案 ： A9.如 图 程 序 框 图 的 算 法 思 路 来 源 于 我 国 古 代 数 学 名 著 九 章 算 术 中 的 “ 更 相 减 损 术 ” .执行 该 程 序 框 图 ， 若 输 入 a， b， i 的 值 分 别 为 6， 8， 0， 则 输 出 a 和 i 的 值 分 别
9、为 ( ) A.0， 3B.0， 4C.2， 3D.2， 4解 析 ： 模 拟 执 行 程 序 框 图 ， 可 得 ： a=6， b=8， i=0，i=1， 不 满 足 a b， 不 满 足 a=b， b=8-6=2， i=2满 足 a b， a=6-2=4， i=3满 足 a b， a=4-2=2， i=4不 满 足 a b， 满 足 a=b， 输 出 a 的 值 为 2， i 的 值 为 4.答 案 ： D10.如 图 为 某 几 何 体 的 三 视 图 ， 则 其 体 积 为 ( ) A. 2 43 B. 2 43 C. 43 D. 43 解 析 ： 由 三 视 图 可 知 ： 该 几
10、何 体 由 左 右 两 部 分 组 成 ， 左 面 是 一 个 圆 柱 的 一 半 ，右 面 是 多 面 体 (可 以 看 做 是 由 一 个 三 棱 柱 去 掉 一 个 三 棱 锥 后 剩 下 的 几 何 体 ).该 几 何 体 的 体 积 = 2 1 1 1 1 41 2 2 1 2 2 1 22 2 3 2 3 答 案 ： D11.若 ABC 的 三 边 分 别 为 a， b， c， 且 圆 x2+y2=1 与 直 线 ax+by+c=0 没 有 公 共 点 ， 则 ABC一 定 是 ( )A.钝 角 三 角 形B.锐 角 三 角 形C.直 角 三 角 形D.不 能 确 定解 析 ： A
11、BC的 三 边 分 别 为 a， b， c， 且 圆 x 2+y2=1与 直 线 ax+by+c=0没 有 公 共 点 ， 圆 心 (0， 0)到 直 线 ax+by+c=0 的 距 离 d 大 于 半 径 r=1，即 2 2cd a b r=1， a2+b2 c2， cosC= 2 2 22a b cab 0， C是 钝 角 ， ABC一 定 是钝 角 三 角 形 .答 案 ： A12.已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x)满 足 f(x)=f(-x)， 且 当 x (- ， 0)时 ， f(x)+xf (x) 0成 立 ， 若 a=(2 0.1) f(20.1)， b=(ln2)
12、 f(ln2)， c=(log2 18 ) f(log2 18 )， 则 a， b， c的 大 小关 系 是 ( )A.a b cB.c b a C.c a bD.a c b解 析 ： 设 g(x)=xf(x)， g (x)=xf(x) =f(x)+xf (x)， 当 x (- ， 0)时 ， g (x)=f(x)+xf (x) 0， 函 数 y=g(x)单 调 递 减 ， f(x)满 足 f(x)=f(-x)， 函 数 y=f(x)为 偶 函 数 ， 函 数 y=g(x)为 奇 函 数 ， 当 x (0， + )时 ， 函 数 y=g(x)单 调 递 减 . 2 0.1 1， 0 ln2 1
13、， log2 18 =-3， g(-3)=-g(3)， g(-3) g(20.1) g(ln2)， c a b.答 案 ： C二 、 填 空 题 ： (本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20分 )13.化 简 sin 20 cos 20cos50 = .解 析 ： 原 式 1 1 1sin 40 sin 90 50 cos50 12 2 2cos50 cos50 cos50 2 . 答 案 ： 1214.若 实 数 x， y满 足 约 束 条 件 2 2 02 4 02x yx yy ， 则 yx 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 画 出 不 等 式 组 2 2
14、02 4 02x yx yy ， 表 示 的 平 面 区 域 ， 如 图 所 示 ； 联 立 2 2 02 4 0 x yx y ， 解 得 A( 32 ， 1)， 联 立 22 4yx y ， ， 解 得 B(1， 2)， 由 kOA= 23 ， kOB=2得 yx 的 取 值 范 围 是 23 ， 2.答 案 ： 23 ， 2.15.设 数 列 an的 各 项 都 是 正 数 ， 且 对 任 意 n N*， 都 有 Sn=an2+2an， 其 中 Sn为 数 列 an的 前 n项 和 ， 则 数 列 a n的 通 项 公 式 为 an= .解 析 ： 当 n=1时 ， 由 4S1=a12+
15、2a1， a1 0， 得 a1=2，当 n 2 时 ， 由 4an=4Sn-4Sn-1=(an2+2an)-(an-12+2an-1)，得 (an+an-1)(an-an-1-2)=0，因 为 an+an-1 0， 所 以 an-an-1=2，故 an=2+(n-1) 2=2n.答 案 ： 2n.16.已 知 以 F 为 焦 点 的 抛 物 线 y 2=4x上 的 两 点 A， B 满 足 2AF FB ， 则 弦 AB 中 点 到 抛 物 线准 线 的 距 离 为 .解 析 ： 设 BF=m， 由 抛 物 线 的 定 义 知 AA1=2m， BB1=m， ABC中 ， AC=m， AB=3m
16、， kAB=2 2 ，直 线 AB 方 程 为 y=2 2 (x-1)， 与 抛 物 线 方 程 联 立 消 y 得 2x2-5x+2=0， 所 以 AB 中 点 到 准 线距 离 为 1 2 912 4x x . 答 案 ： 94三 、 解 答 题 ： (共 70分 )17. ABC的 内 角 A， B， C所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 2sin 8cos 2A CB (1)求 tanB；(2)若 a+c=6， ABC的 面 积 为 2， 求 b.解 析 ： 解 析 ： (1)利 用 三 角 形 的 内 角 和 定 理 与 同 角 的 三 角 函 数 关 系 求 得
17、tan 2B 的 值 ， 再 利 用二 倍 角 公 式 求 出 tanB的 值 ；(2)由 二 倍 角 公 式 求 出 sinB、 cosB的 值 ，再 根 据 三 角 形 面 积 公 式 和 余 弦 定 理 求 出 b 的 值 .答 案 ： ABC中 ， A+C= -B， cos cos sin2 2 2 2 2 2 2A C B A C B B ， ；又 2 2 1sin 8cos 2sin cos 8sin tan2 2 2 2 2 4A C B B B BB ， ， ， 22 12tan 2 82 4tan .1511 tan 12 4BB B (2) 22 12tan 21 82 4
18、tan sin 2sin cos2 4 2 2 171tan 1 12 4BB B BB B ， ； cosB= 2 151 sin 17B ，又 ABC的 面 积 为 1 1 8sin 22 2 17ac B ac ， 解 得 172ac ； 又 a+c=6， a2+c2=(a+c)2-2ac=62-17=19； b2=a2+c2-2accosB=19-17 1517 =4， b=2.18.某 校 高 二 奥 赛 班 N名 学 生 的 物 理 测 评 成 绩 (满 分 120分 )的 频 率 分 布 直 方 图 如 图 ， 已 知 分数 在 100-110的 学 生 有 21人 . (1)求
19、 总 人 数 N 和 分 数 在 110-115 分 的 人 数 n； (2)现 准 备 从 分 数 在 110-115的 n 名 学 生 (女 生 占 13 )中 任 选 2 人 ， 求 其 中 恰 好 含 有 一 名 女 生的 概 率 ；(3)为 了 分 析 某 个 学 生 的 学 习 状 态 ， 对 其 下 一 阶 段 的 学 生 提 供 指 导 性 建 议 ， 对 他 前 7 次 考 试的 数 学 成 绩 x(满 分 150分 )， 物 理 成 绩 y 进 行 分 析 ， 如 表 是 该 生 7次 考 试 的 成 绩 .已 知 该 学 生 的 物 理 成 绩 y与 数 学 成 绩 x
20、是 线 性 相 关 的 ， 若 该 生 的 数 学 成 绩 达 到 130分 ， 请 你估 计 他 的 物 理 成 绩 大 约 是 多 少 ？附 ： 对 于 一 组 数 据 (x 1， y1)， (x2， y2)， ， (xn， yn)， 其 回 归 方 程 y=bx+a的 斜 率 和 截 距 的 最小 二 乘 估 计 分 别 为 1 21ni n iixi x yi yb a y bxx x ， 其 中 12 6+17 9+17 8+8 4+8 4+12 6=497， 122+172+172+82+122=994.解 析 ： (1)根 据 频 率 分 布 直 方 图 的 意 义 ， 分 数
21、在 100-110 的 学 生 有 21 人 .110-115 的 频 率 为0.35， 可 得 总 人 数 210.35 =60.直 方 图 面 积 之 和 =1， 可 得 110-115的 频 率 为 0.1， 即 人 数 为 0.1 60=6人 .(2)根 据 (1)可 得 110-115 的 人 数 为 0.1 60=6 人 .(女 生 占 13 )， 可 得 女 生 为 2， 男 生 4 人 . 任 选 2人 ， 采 用 组 合 基 本 事 件 ， 即 可 求 解 概 率 .(3)根 据 表 中 数 据 求 出 x y， ， 代 入 公 式 求 值 ， 从 而 得 到 回 归 直 线
22、 方 程 ； 代 入 x=130 即 可 估 计他 的 物 理 成 绩 .答 案 ： (1)根 据 频 率 分 布 直 方 图 的 意 义 ， 分 数 在 100-110 的 学 生 有 21人 ， 110-115的 频 率 为 ：(0.04+0.03) 5=0.35， 可 得 总 人 数 210.35=60.直 方 图 面 积 之 和 =1， 可 得 110-115的 频 率 为0.1， 即 人 数 为 0.1 60=6人 .(2)根 据 (1)可 得 110-115 的 人 数 为 0.1 60=6 人 .(女 生 占 13 )， 可 得 女 生 为 2： 用 A 1， A2表示 ， 男
23、生 4 人 用 ： B1， B2， B3， B4任 选 2 人 的 基 本 事 件 ： (A1， A2)(A1， B1)： (A1， B2)， (A1， B3)，(A1， B4)， (A2， B1)： (A2， B2)， (A2， B3)， (A2， B4)， (B1， B2)， (B1， B3)， (B1， B4)， (B2， B3)(B2，B4)， (B3， B4)共 15 种 ， 其 中 恰 好 含 有 一 名 女 生 的 有 8种 ， 其 概 率 为 815 ；(3)由 表 中 数 据 ： 12 17 17 8 8 12 6 9 8 4 4 1 6100 1007 7x y ， ， 1
24、 21 497 0.5 100 0.5 100 50.994ni n iixi x yi yb a y bxx x ， 物 理 成 绩 y 与 数 学 成 绩 x 是 线 性 其 回 归 方 程 为 ： y=0.5x+50.当 x=130 时 ， 可 得 y=115， 即 可 估 计 他 的 物 理 成 绩 为 115分 .19.响 应 “ 文 化 强 国 建 设 ” 号 召 ， 某 市 把 社 区 图 书 阅 览 室 建 设 增 列 为 重 要 的 民 生 工 程 .为 了 解市 民 阅 读 需 求 ， 随 机 抽 取 市 民 200人 做 调 查 ， 统 计 数 据 表 明 ， 样 本 中
25、 所 有 人 每 天 用 于 阅 读 的时 间 (简 称 阅 读 用 时 )都 不 超 过 3 小 时 ， 其 频 数 分 布 表 如 下 ： (用 时 单 位 ： 小 时 )(1)用 样 本 估 计 总 体 ， 求 该 市 市 民 每 天 阅 读 用 时 的 平 均 值 ；(2)为 引 导 市 民 积 极 参 与 阅 读 ， 有 关 部 门 牵 头 举 办 市 读 书 经 验 交 流 会 ， 从 这 200人 中 筛 选 出 男 女 代 表 各 3 名 ， 其 中 有 2 名 男 代 表 和 1 名 女 代 表 喜 欢 古 典 文 学 .现 从 这 6 名 代 表 中 任 选 2名 男 代
26、表 和 2 名 女 代 表 参 加 交 流 会 ， 求 参 加 交 流 会 的 4 名 代 表 中 ， 喜 欢 古 典 文 学 的 男 代 表 多于 喜 欢 古 典 文 学 的 女 代 表 的 概 率 .解 析 ： (1)根 据 阅 读 用 时 频 数 分 布 列 表 能 求 出 该 市 市 民 每 天 阅 读 用 时 的 平 均 值 .(2)设 参 加 交 流 会 的 男 代 表 为 A1， A2， a， 其 中 A1， A2喜 欢 古 典 文 学 ， 则 男 代 表 参 加 交 流 会 的方 式 有 ： A1A2， A1a， A2a， 共 3 种 ， 设 选 出 的 女 代 表 为 ： B
27、， b1， b2， 其 中 B 喜 欢 古 典 文 学 ， 利用 列 举 法 能 求 出 喜 欢 古 典 文 学 的 男 代 表 多 于 喜 欢 古 典 文 学 的 女 代 表 的 概 率 .答 案 ： (1)根 据 阅 读 用 时 频 数 分 布 列 表 知 ：该 市 市 民 每 天 阅 读 用 时 的 平 均 值 为 ：0 0.5 10 20 1 1.5 50 1.5 2 60 2 2.5 40 2.5 3 200.5 12 1.652 200 200 2 200 2 200 2 200 2 200 ，故 该 市 市 民 每 天 阅 读 用 时 的 平 均 值 为 1.65 小 时 .(2
28、)设 参 加 交 流 会 的 男 代 表 为 A 1， A2， a， 其 中 A1， A2喜 欢 古 典 文 学 ，则 男 代 表 参 加 交 流 会 的 方 式 有 ： A1A2， A1a， A2a， 共 3种 ，设 选 出 的 女 代 表 为 ： B， b1， b2， 其 中 B喜 欢 古 典 文 学 ，则 女 代 表 参 加 市 交 流 会 的 方 式 有 ： Bb1， Bb2， b1b2， 共 3 种 ，所 以 参 加 市 交 流 会 代 表 的 组 成 方 式 有 ： Bb1， A1A2， Bb1， A1a， Bb1， A2a， Bb2， A1A2，Bb2， A1a， Bb2， A2
29、a， b1b2， A1A2， b1b2， A1a， b1b2， A2a共 9 种 ，其 中 喜 欢 古 典 文 学 的 男 代 表 多 于 喜 欢 古 典 文 学 的 女 代 表 的 是 ： Bb1， A1A2， Bb2， A1A2， b1b2，A 1A2， b1b2， A1a， b1b2， A2a共 5 种 ，所 以 ， 喜 欢 古 典 文 学 的 男 代 表 多 于 喜 欢 古 典 文 学 的 女 代 表 的 概 率 是 P=59 .20.已 知 椭 圆 C： 2 22 2 1x ya b (a b c)的 左 右 顶 点 分 别 为 A， B， a=2b， 点 E在 C上 ， E 在 x
30、轴 上 的 射 影 为 C的 右 焦 点 F， 且 |EF|= 12 .(1)求 C 的 方 程 ； (2)若 M， N是 C上 异 于 A， B 的 不 同 两 点 ， 满 足 BM BN， 直 线 AM， BN交 于 点 P， 求 证 ： P 在定 直 线 上 .解 析 ： (1)根 据 题 意 求 出 a、 b的 值 ， 写 出 椭 圆 C的 方 程 ；(2)设 直 线 BM 的 方 程 为 y=k(x-2)， 代 入 椭 圆 C的 方 程 ， 求 出 点 M、 N 的 坐 标 ， 求 出 直 线 AM、BN的 斜 率 ， 写 出 AM、 BN的 方 程 ， 求 出 两 直 线 的 交
31、点 P 的 横 坐 标 即 可 .答 案 ： (1)因 为 |EF|= 12 ， 所 以 2 12ba ； .又 因 为 a=2b， 所 以 a=2， b=1；故 椭 圆 C 的 方 程 ： 2 2 14x y ；(2)设 直 线 BM 的 方 程 为 y=k(x-2)， 代 入 椭 圆 C的 方 程 ， 得 (1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0，设 M(x1， y1)(x12 4)， 则 2x1= 2 216 41 4k k ，解 得 x1=8k2-21+4k2， y1=-4k1+4k2， 所 以 M( 2 2 28 2 41 4 1 4k kk k ， )；用 1k 替 换 k
32、， 可 得 N( 22 28 2 44 4k kk k ， )；解 得 直 线 AM的 斜 率 为 22 24 11 48 2 421 4 kkk kk ， 直 线 BN 的 斜 率 1k ， 所 以 直 线 AM的 方 程 为 ： y= 14k (x+2) ，直 线 BN的 方 程 为 ： y= 1k (x-2) ，由 两 直 线 的 交 点 P 的 横 坐 标 x=103 ，所 以 点 P 在 定 直 线 x=103 上 .21.已 知 f(x)=x 2-alnx， a R.(1)讨 论 函 数 f(x)的 单 调 性 ；(2)当 a 0时 ， 若 f(x)的 最 小 值 为 1， 求 a
33、的 值 ；(3)设 g(x)=f(x)-2x， 若 g(x)有 两 个 极 值 点 x1， x2(x1 x2)， 证 明 ： g(x1)+g(x2) 52 .解 析 ： (1)求 出 f(x)的 导 数 ， 对 a 讨 论 ， 导 数 大 于 0， 可 得 增 区 间 ； 导 数 小 于 0， 可 得 减 区间 ； (2)由 (1)可 得 f(x)的 最 小 值 为 ln 12 2 2a a a ， 令 h(x)=x-xlnx， 求 出 导 数 ， 单 调 区 间 和 最值 ， 即 可 得 到 a=2；(3)求 出 g(x)=f(x)-2x=x2-2x-alnx， x 0.求 得 导 数 g
34、(x)=2x-2- 22 2a x x ax x ， 由 题意 可 得 x1， x2(x1 x2)为 2x2-2x-a=0 的 两 根 ， 运 用 判 别 式 大 于 0 和 韦 达 定 理 ， 求 出g(x 1)+g(x2)=x12-2x1-alnx1+x22-2x2-alnx2， 化 简 整 理 可 得 m(a)=a-aln( 2a )-1， 12 a 0，求 得 导 数 和 单 调 性 ， 即 可 得 证 .答 案 ： (1)f(x)=x2-alnx 的 导 数 为 f (x)= 222 a x ax x x ， x 0，当 a 0 时 ， f (x) 0， f(x)在 (0， + )递
35、 增 ；当 a 0 时 ， 当 x 2a 时 ， f (x) 0， f(x)递 增 ；当 0 x 2a 时 ， f (x) 0， f(x)递 减 ； (2)当 a 0时 ， 由 (1)可 得 x= 2a 处 f(x)取 得 极 小 值 ，也 为 最 小 值 ， 且 为 ln2 2 2a a a ， 由 题 意 可 得 ln 12 2 2a a a ，令 h(x)=x-xlnx， h (x)=1-(1+lnx)=-lnx，当 x 1 时 ， h (x) 0， g(x)递 减 ；当 0 x 1时 ， h (x) 0， g(x)递 增 .即 有 x=1处 h(x)取 得 极 大 值 ， 且 为 最
36、大 值 1，则 ln 12 2 2a a a 的 解 为 a=2；(3)证 明 ： g(x)=f(x)-2x=x2-2x-alnx， x 0.g (x)=2x-2- 22 2a x x ax x ， 由 题 意 可 得 x1， x2(x1 x2)为 2x2-2x-a=0的 两 根 ，即 有 =4+8a 0， 解 得 12 a 0，x1+x2=1， x1x2= 2a ，g(x1)+g(x2)=x12-2x1-alnx1+x22-2x2-alnx2=(x1+x2)2-2x1x2-2(x1+x2)-aln(x1x2)=1+a-2-aln( 2a )=a-aln( 2a )-1， 令 m(a)=a-a
37、ln( 2a )-1， 12 a 0，可 得 m (a)=1-(ln( 2a )+1)=-ln( 2a ) 0，即 有 m(a)在 ( 12 ， 0)递 增 ， 可 得 m(a) m( 12 )，由 1 1 12 2 2 1 3 3 5ln 1 ln 2 14 2 2 2m 则 有 g(x 1)+g(x2) 52 .22.已 知 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 是 sin( - 3 )=0， 以 极 点 为 平 面 直 角 坐 标 系 的 原 点 ， 极 轴 为x轴 的 正 半 轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 是 2cos2 2sinxy ，
38、 ( 为 参 数 ).( )求 直 线 l 被 曲 线 C 截 得 的 弦 长 ；( )从 极 点 作 曲 线 C的 弦 ， 求 各 弦 中 点 轨 迹 的 极 坐 标 方 程 .解 析 ： (I)直 线 l 的 极 坐 标 方 程 是 sin( - 3 )=0， 展 开 可 得 ： ( 12 3sin cos2 )=0，化 为 直 角 坐 标 方 程 . 曲 线 C的 参 数 方 程 是 2cos2 2sinxy ( 为 参 数 )， 利 用 平 方 关 系 消 去 参 数 可 得 普 通 方 程 ，求 出 圆 心 C到 直 线 l的 距 离 d， 可 得 直 线 l被 曲 线 C截 得 的
39、 弦 长 = 2 22 r d .(II)设 Q 圆 C上 的 任 意 一 点 ， P(x， y)为 线 段 OQ的 中 点 ， 则 Q(2x， 2y)， 代 入 圆 C 的 方 程 可得 各 弦 中 点 轨 迹 的 直 角 坐 标 方 程 ， 再 化 为 极 坐 标 方 程 即 可 .答 案 ： (I)直 线 l 的 极 坐 标 方 程 是 sin( - 3 )=0， 展 开 可 得 ： ( 12 3sin cos2 )=0，化 为 ： y-3x=0.曲 线 C 的 参 数 方 程 是 2cos2 2sinxy ( 为 参 数 )， 消 去 参 数 可 得 ：x 2+(y-2)2=4， 圆
40、心 C(0， 2)， 半 径 r=2. 圆 心 C 到 直 线 l 的 距 离 222 0 11 3d ， 直 线 l 被 曲 线 C 截 得 的 弦 长 = 2 2 2 22 2 2 1 2 3.r d (II)设 Q 圆 C 上 的 任 意 一 点 ， P(x， y)为 线 段 OQ的 中 点 ， 则 Q(2x， 2y)，代 入 圆 C 的 方 程 可 得 ： (2x) 2+(2y-2)2=4， 化 为 ： x2+y2-2y=0，可 得 2-2 sin =0， 即 =2sin ， 即 为 各 弦 中 点 轨 迹 的 极 坐 标 方 程 . 23.已 知 函 数 f(x)=|x-1|+|x+
41、a|( )当 a=3时 ， 解 关 于 x的 不 等 式 |x-1|+|x+a| 6( )若 函 数 g(x)=f(x)-|3+a|存 在 零 点 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )当 a=-1 时 ， 不 等 式 |x-1|+|x+3| 6等 价 变 形 ， 可 得 结 论 ；( )利 用 |x-1|+|x+a| |a+1|， 即 可 求 实 数 a 的 取 值 范 围 .答 案 ： ( )当 a=3时 ， 不 等 式 |x-1|+|x+3| 6 可 化 为 31 3 6x x x ， 或 3 11 3 6xx x ， 或11 3 6xx x ， ，解 得 x -4或 x 2， 不 等 式 f(x) 5 的 解 集 为 x|x -4 或 x 2. ( )若 函 数 g(x)=f(x)-|3+a|存 在 零 点 ，则 |x-1|+|x+a| |a+1|， |3+a| |a+1|， 解 得 a -2.
