1、北京市2005年高级中等学校招生统一考试（海淀卷）数学试卷 一. 选择题：（本题共24分，每小题4分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的。 1. 一个数的相反数是3，则这个数是（ ） A. 1 3 B. 1 3 C. 3 D. 3 2. 同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能 事件的是（ ） A. 点数之和为12 B. 点数之和小于3 C. 点数之和大于4且小于8 D. 点数之和为13 3. 已知 ()|120 2 +=mn ，则m+n的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 3 D. 不确定 4. 如图，C是O上一点，O是圆心，若
2、= C AOB35，则 的度数为（ ） A. 35 B. 70 C. 105 D. 150 5. 如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45 o ，若点D到电线杆 底部点B的距离为a，则电线杆AB的长可表示为（ ） A. a B. 2a C. 3 2 a D. 5 2 a 6. 用一块等边三角形的硬纸片（如图1）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不 计，如图2），在ABC的每个顶点处各需剪掉一个四边形，其中四边形AMDN中，MDN的度数为 （ ） A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 二. 填空题：（本题共24分，每小题4分）
3、7. 103000用科学记数法可表示为_。 8. 函数 y x = 1 3 中，自变量x的取值范围是_。 9. 某校初三（2）班想举办班徽设计比赛，全班50名同学，计划每位同学交设计方案一份，拟评选出 10份为一等奖，那么该班某位同学获一等奖的概率为_。 10. 用“”“”定义新运算：对于任意实数a,b，都有a b=a和a b=b。例如，3 2=3，3 2=2， 则（2006 2005）（2004 2003）=_。 11. 已知圆柱的底面半径为2cm，母线长为3cm，则该圆柱的侧面展开图的面积为_cm 2 。 12. 把编号为1，2，3，4，的若干盆花按下图所示摆放，花盆中的花按红、黄、蓝、紫
4、的颜色依次循 环排列，则第8行从左边数第6盆花的颜色为_色。 三. 解答题：（本题共30分，每小题5分） 13. 计算： + 2 2 12 30 45 31 0 (tan cos ) 14. 先化简，再求值： m m m m m + = 3 6 9 2 3 2 2 ，其中。 15. 解方程组 xy xy = += 41 216 16. 解不等式 21 10 1 6 x x + 17. 如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE AC于E，CF BD于F。 求证BE=CF。 18. 如图，梯形ABCD中，AB/DC， = B90，E为BC上一点，且AE ED。若BC=12，DC=7， BE：
5、EC=1：2，求AB的长。 四. 解答题：（本题共20分，第19、21题各5分，第20题4分，第22题6分） 19. 已知反比例函数 y k x = 的图象经过点（4， 1 2 ），若一次函数 yx= +1 的图象平移后经过该反比例 函数图象上的点B（2，m），求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标。 20. 甲、乙两名运动员在6次百米跑训练中的成绩如下。（单位：秒） 甲 10.8 10.9 11.0 10.7 11.2 10.8 乙 10.9 10.9 10.8 10.8 10.5 10.9 请你比较这两组数据中的众数、平均数、中位数，谈谈你的看法。 21. 如图，ABO中，OA=OB，以O
6、为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F。 （1）求证AB是O的切线； （2）求ABO腰上的高等于底边的一半，且 AB = 43 ，求ECF 的长。 22. 印制一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的纸， 对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页，；然后再排页码。如果想设计一本16 页的毕业纪念册，请你按图1、图2、图3（图中的1，16表示页码）的方法折叠，在图4中填上按这种折 叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码。 16 1 图4 五. 解答题：（本题共22分，第23题6分，第24题8分，第25题8分） 23. 如图所示
7、，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P。 若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行。 （1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由。 （2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最 大值。 24. 已知抛物线 yx mxm=+ 2 2 。 （1）求证此抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）若m是整数，抛物线 yx mxm=+ 2 2 与x轴交于整数点，求m的值； （3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B。若M为坐标 轴上一点，且MA=MB，求点M的
8、坐标。 25. 已知ABC，分别以AB、BC、CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形 ACF。 （1）如图1，当ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论； （2）如图2，当 ABC ACB S S ABC ABD 中只有时，请你证明与 = 60 的和等于 SS BCE ACF 与 的 和。 【试题答案】 一. 选择题：（本题共24分，每小题4分） 1. C 2. D 3. A 4. B 5. B 6. C 二. 填空题：（本题共24分，每小题4分） 7. 103 10 5 . 8. x 3 9. 1 5 10. 2005 11. 12 12. 黄 三.
9、 解答题：（本题共30分，每小题5分） 13. 解： + 2 2 12 30 45 31 0 (tan cos ) = + 8 1 2 23 1 4分 = +423 5分 14. 解： m m m m+ 3 6 9 2 3 2 = + + m mmm m 3 6 33 3 2()() 2分 = + m m 3 3 4分 当时，原式m = = + =2 23 23 5 5分 15. 解方程组 xy xy = += 411 2162 () () 解：由 () ()1413，得xy= 1分 把代入，得() () ( )3224116yy+= 即y = 2 把代入，得yx=23 7() 所以原方程组的
10、解为 x y = = 7 2 5分 16. 解： 62 1 10 1()xx + 1分 12 10 1 6xx+ 27x 3分 x 7 2 5分 所以原不等式的解集为 x 7 2 17. 证明：因为四边形ABCD为矩形 所以，则AC BD BO CO= 1分 因为于，于 所以 又因为 BE AC E CF BD F BEO CFO BOE COF = = 90 则BOE COF 4分 所以BE=CF5分 18. 解：因为AB/DC，且= B90 所以及+=AEB BAE C90 90 1分 所以 故分 所以 所以分 又：，且及 += = = = AEB CED BAE CED EAB DEC
11、AB EC BE CD BE EC BC DC 90 2 3 1 2 12 7 故分 则分 AB AB 8 4 7 4 32 7 5 = = 四. 解答题：（本题共20分，第19、21题各5分，第20题4分，第22题6分） 19. 解：由于反比例函数 y k x =的图象过点（，）4 1 2 所以 解得分 所以反比例函数的解析式为 又因为（，）在的图象上 所以分 1 24 21 2 2 2 2 2 12 = = = = = k k y x Bmy x m 所以（，） 设由的图象平移后得到的函数解析式为 由题意知的图象过（，） 所以 解得分 B yx yxb yxb B b b 21 1 21
12、12 13 =+ =+ =+ =+ = 故平移后的一次函数解析式为 令，则 解得分 所以平移后的一次函数图象与轴的交点坐标为（，）分 yx yx x x = = = 1 00 1 14 10 5 20. 解：甲的众数、平均数、中位数依次为10.8 10.9 10.85 乙的众数、平均数、中位数依次为10.9 10.8 10.85 说明：众数、平均数、中位数比较正确一组给1分，看法合理给1分。 21. 解：（1）证明：连结OC1分 因为， 所以 OA OB AC BC OC AB = 故AB是O的切线。2分 （2）过B点作BD AO，交AO延长线于D点 由题意有AB=2BD，由题目条件 有 在直
13、角三角形中，根据正弦定义 AB ABD A BD AB = = 43 1 2 sin 所以分 在直角三角形中，则 由勾股定理，求得分 因为，且，所以 由弧长公式可求得的长为分 = = = = = = A ACO AC AB A AO OC OC OA OB A AOB ECF 30 3 1 2 23 30 2 24 30 120 4 3 5 22. 解： 8 9 16 1 5 12 13 4 说明：每填对一个页码给1分。 五. 填空题：（本题共22分，第23题6分，第24题8分，第25题8分） 23. 解：（1）不变。1分 理由：在直角三角形中，因为斜边AB的长不变，由性质有斜边中线OP长不变
14、。 3分 （2）当AOB的斜边AB上的高h等于中线OP时，AOB的面积最大4分 如图，若h与OP不相等，则总有hmm m x 22 48 240 1 2 () （2）因为关于x的方程 xmxm x mm 2 2 20 24 2 += = + 的根为 () 由m为整数，当 ()m+24 2 为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点 设（其中为整数）()mnn+=24 22 3分 所以 因为与的奇偶性相同 所以或 ( ) ( ) () () nm nm nm nm nm nm nm nm + = + += += += += 224 22 22 22 22 解得 经检验，当时，关于的方程有整
15、数根 所以分 m mxxmxm m = =+= = 2 220 25 2 （3）当m=2时，此二次函数解析式为 yx x x= 22 211() 则顶点A的坐标为（1，-1） 抛物线与x轴的交点为O（0，0），B（2，0） 设抛物线的对称轴与x轴交于 M 1，则 M 1 10（，） 在直角三角形 AM O AO 1 2中，由勾股定理，得= 由抛物线的对称性可得， AB AO=2 又 即 所以为等腰直角三角形分 () ()222 6 22 2 += +=OA AB OB ABO 则 所以（，）为所求的点分 MA MB M 11 1 10 7 = 若满足条件的点在轴上时，设坐标为（，） 过作轴于，
16、连结、，则 My M y AANy N AM BM MA MB 22 22 2 2 0 = 由勾股定理，有； 即 MA MN AN MB MO OB yy 2 2 2 22 2 2 2 22 22 2 2 11 =+ =+ +=+() 解得 所以（，）为所求的点分 综上所述满足条件的点的坐标为（，）或（，） y M M = 1 01 8 10 01 2 25. 解：（1）略 每正确地写出一个结论得1分，共4分。 （2）解法一：过A作AM/FC交BC于M，连结DM、EM 因为， 所以 所以 所以四边形为平行四边形 = = ACB CAF ACB CAF AF MC AMCF 60 60 / 又因
17、为 所以平行四边形为菱形分 FA FC AMCF = 5 所以，且 在与中， 所以 所以 AC CM AM MAC BAC EMC CA CM ACB MCE CB CE BAC EMC BA EM = = = = = 60 在与中， 所以 所以 则， 所以四边形为平行四边形分 ADM ABC AM AC DAM BAC DA BA ADM ABC DM BC DM EB DB EM DBEM = = = = 7 所以 即分 SSSSSS SS SS BDM DAM MAC BEM EMC ACF ABC ABD BCE ACF + + = + + +=+ 8 解法二：过A作AM BC于M，设BC=a，AC=b 而，则可求得 = =+ACB AB a b ab60 222 3分 可求得 类似的可求得 又分 所以分 Sbbb SaS abab Sab SS SS ACF BCE ABD ABC ABC ABD BCE ACF = =+ = +=+ 1 2 3 2 3 4 3 4 3 4 3 4 7 8 2 222 ()
