1、2006 年普通高等学校招生全国统一考试试卷 文科数学试题及答案（安徽卷） 参考公式： 如果时间 A、B 互斥，那么 ()()()PA B PA PB+ =+ 如果时间 A、B 相互独立，那么 ( ) () ()PAB PAPB=ii 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P，那么n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概 率 () ( )1 nk kk nn Pk CP P = 球的表面积公式 2 4SR= ，其中 R 表示球的半径 球的体积公式 3 4 3 VR= ，其中 R表示球的半径 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共60 分，在每小题给出
2、的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 （1）设全集 1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合 1, 3, 5S = ， 3, 6T = ，则 () U CST 等 于（ ） A B 2, 4, 7,8 C 1, 3, 5, 6 D 2, 4, 6,8 解： 1,3,5,6ST= ，则 ( ) U CST 2, 4, 7,8，故选 B （2）不等式 11 2x 的解集是（ ） A (,2) B (2, )+ C (0,2) D (,2) (2, )+ 解：由 11 2x 得： 11 2 0 22 x xx = ，即 (2 ) 0 xx B 1ln( 0)yxx= C 1ln( 0)=
3、D 1ln( 0)yxx=+ 解：由 1x y e + = 得： 1ln,xy+= 即x=-1+lny ，所以 1ln( 0)yxx=+ 为所求，故选 D。 （4）“ 3x ”是 2 4x “的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：条件集是结论集的子集，所以选 B。 （ 5）若抛物线 2 2y px= 的焦点与椭圆 22 1 62 xy + = 的右焦点重合，则 p 的值为（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 解：椭圆 22 1 62 xy +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线 2 2y px= 的焦点为(2,0)，则 4p = ，故选 D。
4、 （ 6）表面积为 23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A 2 3 B 1 3 C 2 3 D 22 3 解： 此正八面体是每个面的边长均为 a的正三角形， 所以由 2 3 823 4 a =知， 1a = ， 则此球的直径为 2 ，故选 A。 （7）直线 1x y+=与圆 22 20(0)xy ay a+ = 没有公共点，则 a的取值范围是 A (0, 2 1) B (2 1,2 1)+ C (21,21) + D (0, 2 1)+ 解：由圆 22 20(0)xy ay a+ = 的圆心 (0, )a 到直线 1x y+ = 大于 a，且 0a ，选 A。 （8）对
5、于函数 () sin 1 (0 ) sin x fx x x + =，下列结论正确的是（ ） A有最大值而无最小值 B有最小值而无最大值 C有最大值且有最小值 D既无最大值又无最小值 解：令 sin , (0,1txt=，则函数 () sin 1 (0 ) sin x fx x x + = 的图象按向量 ,0 6 a = null 平移，平移后的图象如图所 示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ） A sin( ) 6 yx =+ B sin( ) 6 yx = C sin(2 ) 3 yx =+ D sin(2 ) 3 yx = 解：将函数 sin ( 0)yx = 的图象按 向量 ,0
6、 6 a = null 平移， 平移后的图象所对应 的解析式为 sin ( ) 6 yx =+，由图象知， 73 () 12 6 2 +=，所以 2 = ，因此选 C。 （10）如果实数 x y、 满足条件 10 10 10 xy y xy + + + + ，那么 2x y 的最大值为（ ） A 2 B 1 C 2 D 3 解：当直线 2x yt = 过点(0，-1)时， t最大，故选 B。 （11）如果 111 ABC 的三个内角的余弦值分别等于 222 ABC 的三个内角的正弦值，则 （ ） A 111 ABC 和 222 ABC 都是锐角三角形 B 111 ABC 和 222 ABC 都
7、是钝角三角形 C 111 ABC 是钝角三角形， 222 ABC 是锐角三角形 D 111 ABC 是锐角三角形， 222 ABC 是钝角三角形 解： 111 ABC 的三个内角的余弦值均大于 0，则 111 ABC 是锐角三角形，若 222 ABC 是 锐角三角形， 由 21 1 21 1 21 1 sin cos sin( ) 2 sin cos sin( ) 2 sin cos sin( ) 2 AA A B BB CC C = = = ， 得 21 21 21 2 2 2 AA B B CC = = = ， 那么， 222 2 ABC +=， 所以 222 ABC 是钝角三角形。故选
8、D。 （12）在正方体上任选 3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰 三角形的概 率为（ ） A 1 7 B 2 7 C 3 7 D 4 7 解：在正方体上任选 3个顶点连成三角形可得 3 8 C 个三角形，要得直角非等腰 三角形， 则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有 24 个，得 3 8 24 C ， 所以选 C。 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（安徽卷） 第卷（非选择题 共90 分） 注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡 上书写作答，在试题卷上书写作答无效 。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共16
9、 分，把答案填写在答题卡的相应位 置。 （13）设常数 0a ， 4 2 1 ax x + 展开式中 3 x 的系数为 3 2 ，则 a_。 解： 1 482 2 14 r rr r r TCaxx + = ，由 1 82 3 2 ,2, r r xx x r = =得 4 4 31 = 22 rr Ca 由知a。 （14）在 ABCDnull 中， ,3AB a AD b AN NC= nullnullnullnull null nullnullnullnull null nullnullnullnull nullnullnullnull ，M 为BC的中点，则 MN = nullnulln
10、ullnullnull _。 （用 ab nullnull 、 表示） 解： 343A=3()ANNCAN Cab=+ nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull null null 由得 ， 1 2 AM a b=+ nullnullnullnullnullnull null ，所以 3111 ()( ) 4244 MNabab ab=+=+ nullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnull 。 （15）函数 ()f x 对于任意实数 x满足条件 () ()
11、1 2fx f x += ，若 ( )15,f = 则 ()()5ff =_。 解：由 () () 1 2fx f x += 得 () () 1 4() 2 f xfx fx += = + ，所以 (5) (1) 5ff=，则 ()() 11 5(5)(1) (1 2) 5 ff f f f = = + 。 （16）平行四边形的一个顶点 A 在平面 内，其余顶点在 的同侧，已知其中有两个 顶点到 的距离分别为 1和 2 ，那么剩下的一个顶点到平面 的距离可能是： 1； 2； 3； 4； 以上结论正确的为_ _。（写出所有正确结论的编号 ） 解：如图，B、D 到平面 的距离为 1、2，则 D、B
12、 的 中点到平面 的距离为 3 2 ，所以 C 到平面 的距离为 3； B、 C 到平面 的距离为 1、 2， D 到平面 的距离为 x， 则 12 21xx+= +=或 ，即 1x= ，所以 D 到平面 的距 离为 1； C、 D 到平面 的距离为 1、 2， 同理可得B 到平面 的 距离为 1；所以选。 三、解答题：本大题共 6 小题，共74 分，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤 （17）（本大题满分 12分）已知 4 0,sin 25 = （）求 2 2 sin sin 2 cos cos 2 + + 的值； （）求 5 tan( ) 4 的值。 解：()由 4 0,sin 25
13、 =，得 3 cos 5 = ，所以 2 2 sin sin 2 cos cos 2 + + 2 2 sin 2sin cos 20 3cos 1 + = 。 （） sin 4 tan cos 3 = = ， 5tan11 tan( ) 41tan 7 = + 。 （18）（本大题满分 12分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要 对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现 有芳香度分别为 0，1，2，3，4，5 的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先 要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。 （）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度
14、之和等于 4的概率； （）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于 3 的概率； 解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4”的事件为 A，“所选用的两 种不同的添加剂的芳香度之和不小于 3”的事件为 B （）芳香度之和等于 4 的取法有2种： (0,4)、 (1, 3) ，故 2 () 15 PA= 。 （）芳香度之和等于 1 的取法有1种： (0,1)；芳香度之和等于 2 的取法有 1 种： (0,2)，故 22 66 1113 () 1( ) 15 PB CC = + = 。 （19）（本大题满分 12分）如图，P是 边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点， 1PA=
15、 ，P 在平面ABC 内的射影为 BF 的中点 O。 （）证明 PA BF ； （）求面 APB与面 DPB 所成二面角 的大小。 解：（）在正六边形 ABCDEF 中， ABFnull 为等腰三角形， A B C D E F O P 第 19 题图 H A B C D 第 16 题图 P 在平面ABC 内的射影为 O，PO平面 ABF，AO为 PA 在平面 ABF 内的射影；O 为BF 中点，AOBF，PABF。 （）PO平面 ABF，平面 PBF平面 ABC；而 O 为BF 中点，ABCDEF是正六边形 ， A、O、D 共线，且直线 ADBF，则 AD平面 PBF；又正六边形 ABCDEF
16、 的边长为 1， 1 2 AO = ， 3 2 DO = ， 3 2 BO = 。 过O 在平面POB 内作OHPB于H，连AH、DH，则AHPB，DHPB，所以 AHD 为所 求二面角平面角。 在 AHOnull 中，OH= 6 4 ， 1 2 tan 6 4 AO AHO OH = 6 3 。 在 DHOnull 中， 3 2 tan 6 6 4 DO DHO OH =； 而 6 6 46 3 tan tan( ) 3 6 16 3 AHD AHO DHO + =+ = = （）以 O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0， 1 2 ,0)，B( 3 2 ， 0,0)，D
17、(0,2，0)， 1 (0, , 1) 2 PA= nullnullnullnull ， 3 (,0,1) 2 PB = nullnullnullnull ， (0,2, 1)PD = nullnullnullnull 设平面 PAB的法向量为 111 (, ,1)nxy= nullnull ，则 1 nPA nullnullnullnullnullnull ， 1 nPB nullnullnullnullnullnull ，得 1 1 1 10 2 3 10 2 y x = = ， 1 23 (,2,1) 3 n = nullnull ； 设平面 PDB的法向量为 222 (, ,1)nxy
18、= nullnullnull ，则 2 nPD nullnullnull nullnullnullnull ， 2 nPB nullnullnullnullnullnullnull ，得 2 2 210 3 10 2 y x = = ， 2 231 (,1) 32 n = nullnullnull ； 12 12 12 cos , | nn nn nn = = nullnull nullnullnull nullnull nullnullnull nullnull nullnullnull （20）（本大题满分 12分）设函数 ( ) 32 ()f xxbxcxxR= + ，已知 () ()
19、()gx fx f x=是奇函数。 （）求 b、 c的值。 （）求 ()gx的单调区间与极值。 证明（） () 32 f xxbxcx=+ +， ( ) 2 32f xxbxc = +。从而 32 2 () () () (3 2 )gx fx f x x bx cx x bx c=+ 32 (3) (2)x bxcbxc+ +是一 个奇函数，所以 (0) 0g = 得 0c= ，由奇函数定义得 3b= ； （）由（）知 3 () 6gx x x=，从而 2 () 3 6gx x = ，由此可知， (,2) 和 (2, )+ 是函数 ()gx是单调递增区间； (2,2) 是函数 ()gx是单调递
20、减区间； ()gx在 2x= 时，取得极大值，极大值为 42， ()gx在 2x= 时，取得极小值， 极小值为 42 。 （21）（本大题满分 12分）在等差数列 n a 中， 1 1a = ，前 n项和 n S 满足条件 2 42 ,1,2, 1 n n S n n Sn + = + null ， （）求数列 n a 的通项公式； （）记 (0) n a nn bapp=，求数列 n b 的前 n项和 n T 。 解： （）设等差数列 n a 的公差为 d ,由 2 42 1 n n S n Sn + = + 得： 12 1 3 aa a + = ，所以 2 2a = ， 即 21 1daa
21、=， 又 1 21 1 1 2 2( )42 2 1 2 n nn n anda n Sandn aa nS aa n + + + = = + + 2( 1) 1 n n an a + + ， 所以 n an= 。 （）由 n a nn bap= ，得 n n bnp= 。所以 23 1 23 (1) nn n Tpp p np np =+ + + +null ， 当 1p= 时， 1 2 n n T + = ； 当 1p 时， 234 1 23 (1) nn n pTp p p npnp + =+ + + +null ， 23 1 1 1 (1 ) (1 ) 1 n nnn n n pp P
22、T p p p p p np np p + =+= null 即 1 1 ,1 2 (1 ) ,1 1 n n n n p T pp np p p + + = = 。 （22）（本大题满分 14分）如图，F为双曲线 C： () 22 22 10,0 xy ab ab =的右焦点。 P 为双曲线C右支上一点，且位于 x轴上方，M 为左准线上一点， O为坐标原点。已知四边 形 OFPM 为平行四边形， PF OF= 。 （）写出双曲线 C 的离心率 e与 的关系式； （）当 1 = 时，经过焦点 F且平行于 OP的直线交 双曲线于 A、B 点，若 12AB = ，求此时的双曲线方程。 解：四边形
23、OFPM 是 null， | |OF PM c= = ，作 双曲线的右准线交 PM 于 H，则 2 |2 a PM PH c =+，又 O F x y P M 第 22 题图 H N 22 22222 | | | 2 2 PF OF c c e e aaPH c a e cc cc = = = = ， 2 20ee =。 （）当 1 = 时， 2e= ， 2ca= ， 22 3ba= ，双曲线为 22 22 1 43 xy aa = ，设 P 00 (, )x y ， 则 2 0 3 | 2 aa xMPONc c =， 22 0 15 | 2 a yMN OM ON= = ，所以直线 OP 的斜率为 15 3 ，则直线 AB的方程为 15 (2) 3 y xa=，代入到双曲线方程得： 22 420290 xaxa+=， 又 12AB = ，由 22 12 12 1()4AB k x x x x=+ + 得： 2 2 529 12 1 25 4 12 34 a aa=+ = ，解得 1a = ，则 2 3b = ，所以 2 2 1 3 y x = 为所求。
