1、 2006 年高考文科数学试卷（湖南卷） 本试题卷他选择题和非选择题 （包括填空题和解答题） 两部分. 选择题部分1至2页. 非 选择题部分 3 至5 页. 时量 120 分钟. 满分 150 分. 参考公式: 如果事件 A、 B 互斥，那么 ()()()PA B PA PB+ =+ 如果事件 A、 B 相互独立，那么 )()()( BPAPABP = 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的 概率是 () (1 ) kk nk nn Pk CP P = 球的体积公式 3 4 3 VR= ,球的表面积公式 2 4SR= ，其中 R 表示球的半径
2、一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1函数 xy 2 log= 的定义域是 A(0,1 B. (0,+) C. (1,+) D. 1,+) 2已知向量 ),2,1(),2( = bta null null 若 1 tt = 时， a null b null ； 2 tt = 时， ba null null ，则 A 1,4 21 = tt B. 1,4 21 = tt C. 1,4 21 = tt D. 1,4 21 = tt 3. 若 5 )1( ax 的展开式中 3 x 的系数是 80，则实数 a 的值是
3、A-2 B. 22 C. 3 4 D. 2 4过半径为12 的球 O 表面上一点 A作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角是 60则该截 面的面积是 A B. 2 C. 3 D. 32 5“ a=1”是“函数 axxf =)( 在区间1，）上为增函数”的 A充分不必要条件 B. 必要 不充分条件 C. 充要条件 D. 既不 充分也不必要条件 6在数字 1,2，3 与符号，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列 个数是 A6 B. 12 C. 18 D. 24 7圆 01044 22 =+ yxyx 上的点到直线 014 =+ yx 的最大距离与最小距离的差是 A36 B.
4、18 C. 26 D. 25 8设点 P 是函数 xxf sin)( = 的图象 C 的一个对称中心，若点 P到图象 C 的对称轴上的距离 的最小值 4 ，则 )(xf 的最小正周期是 A2 B. C. 2 D. 4 9过双曲线 M： 1 2 2 2 = h y x 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线 分别相交于点 B、 C，且 BCAB = ，则双曲线 M 的离心率是 A 2 5 B. 3 10 C. 5 D. 10 10. 如图 1： OM AB，点 P 由射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且 OByOAxOP
5、+= ，则实数对（ x,y）可以是 A ) 4 3 , 4 1 ( B. ) 3 2 , 3 2 ( C. ) 4 3 , 4 1 ( D. ) 5 7 , 5 1 ( 二填空题：本大题共 5 小题，每小题分，共 20 分，把答案填在答题上部 对应题 号的横上. 11. 若数列 n a 满足： 1.2,1 11 = + naaa nn ，2，3.则 =+ n aaa null 21 . 12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有 40 人，乙班 50 人. 现分析两个班的 一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是 90 分，乙班的平均成绩是 81 分，则该校数学建模兴 趣班的平均成绩是
6、分. 13. 已知 + 022 01 1 yx yx x 则 22 yx + 的最小值是 . 14. 过三棱柱 ABC A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1平行的直线共有 条. 15. 若 ) 4 sin(3) 4 sin()( += xxaxf 是偶函数，则 a= . A B O M 图 1 三解答题：本大题共小题，共80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分分） 已知 ),0(,1cos )cos( )2 2 sin( sin3 = + 求 的值. 17.（本小题满分分） 某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查(简称安检)
7、. 若安检不合格， 则必须 整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且 每家煤矿整改前安检合格的概率是 0.5，整改后安检合格的 概率是 0.8，计算(结果精确到 0.01)： ()恰好有两家煤矿必须整改的概率； ()某煤矿不被关闭的概率； ()至少关闭一家煤矿的概率. 18.（本小题满分4 分） 如图 2，已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高都是 2， AB=4. ()证明 PQ平面 ABCD； ()求异面直线 AQ 与 PB 所成的角； ()求点 P 到平面 QAD的距离. 19.（本小题满分 14 分） 已知函数 a xaxxf
8、 3 13)( 23 += . （）讨论函数 )(xf 的单调性； （）若曲线 )(xfy = 上两点 A、 B处的切线都与 y 轴垂直，且线段 AB 与 x 轴有公共点， Q B C P A D 图 2 求实数 a 的取值范围. 20.（本小题满分 14 分） 在m（ m2）个不同数的排列 P1P2 Pn中，若 1 i j m时 Pi Pj（即前面某数大于后 面某数） ， 则称 Pi与 Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记 排列 321)1()1( null+ nnn 的逆序数为 an， 如排列 21 的逆序数 1 1 =a ， 排列 321的逆序数 6 3
9、=a . （）求 a4、 a5，并写出 an的表达式； （）令 n n n n n a a a a b 1 1 + + += ，证明 322 21 += ppxmy ，且 C1、 C2的公共弦 AB 过 椭圆 C1的右焦点. （）当 xAB 轴时，求 p、 m的值，并判断抛物线 C2的焦点是否在直线 AB 上； （）若 3 4 =p 且抛物线 C2的焦点在直线 AB 上，求 m 的值及直线 AB 的方程. 2006 年高考文科数学参考答案（湖南卷） 110：DCDAABCBCDC 11. 12 n , 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 . 16. 解 由已知条件得 1c
10、os cos 2cos sin3 = . 即 0sin2sin3 2 = . 解得 0sin 2 3 sin = 或 . 由0 知 2 3 sin = ，从而 3 2 3 = 或 . 17. 解 （）每家煤矿必须整改的概率是 10.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所 以恰好有两家煤矿必须整改的概率是 31.0 16 5 5.0)5.01( 322 51 = CP . （）解法一 某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格， 所以该煤矿被关闭的概率是 1.0)8.01()5.01( 2 =P ，从而煤矿不被关闭的概率是 0.90. 解法二 某煤矿不被关闭包括两种情况：（i
11、）该煤矿第一次安检合格；（ii）该煤矿 第一次安检不合格，但整改后合格. 所以该煤矿不被关闭的概率是 90.08.0)5.01(5.0 2 =+=P . ()由题设（）可知，每家煤矿不被关闭的概率是 0.9，且每家煤矿是否被关闭是相 互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率是 41.09.01 5 3 =P . 18. 解法一 （）连结 AC、 BD，设 OBDAC = . 由 P ABCD 与 Q ABCD 都是正四棱锥，所以 PO平面 ABCD， QO平面 ABCD. 从而 P、 O、 Q 三点在一条直线上，所以 PQ平面 ABCD. （）由题设知， ABCD是正方形，所以 AC BD. 由（
12、）， QO平面 ABCD. 故可分别以直线 CA、 DB、 QP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间 直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是 P（0，0，2）， A（ 22 ，0，0）， Q（0，0，2）， B（0， 22 ，0）. 所以 )2,0,22( =AQ )2,22,0( =PB 于是 3 1 3232 4 ,cos = = =0时， 若 )0,(x ，则 0)( xf ，所以 )(xf 在区间 ) 2 ,( a 上是增函数； Q B C P A D O M 若 ) 2 ,0( a x ，则 0)( xf ，所以 )(xf 在区间 ), 2 ( + a 上是增函数；
13、（i i）当 a0 时， 若 ) 2 ,( a x ，则 0)( xf ，所以 )(xf 在区间 ) 2 ,( a 上是减函数； 若 ) 2 ,0( a x ，则 0)( xf ，所以 )(xf 在区间 )0, 2 ( a 上是增函数； 若 ),0( +x ，则 0)( + + + =+= + + n n n n n n n n n a a a a b n n n n n ， 所以 nbbb n 2 21 + null . 又因为 null,2,1, 2 22 2 2 2 = + += + + + = n nnn n n n b n ， 所以 ) 2 11 () 4 1 2 1 () 3 1
14、1 1 (22 21 + +=+ nn nbbb n nullnull = 32 2 2 1 2 32 + + + + n nn n . 综上， nullnull ,2,1,322 21 =+ nnbbbn n . 21. 解 （）当 AB x 轴时，点 A、 B 关于 x 轴对称，所以 m0，直线 AB 的方程为 x=1，从而点 A 的坐标为（1， 2 3 ）或（1， 2 3 ）. 因为点 A 在抛物线上，所以 p2 4 9 = ，即 8 9 =p . 此时 C2的焦点坐标为（ 16 9 ，0），该焦点不在直线 AB 上. （）解法一 当 C2的焦点在 AB 时，由（）知直线 AB 的斜率存
15、在，设直线 AB 的方程为 )1( = xky . 由 =+ = 1 34 )1( 22 yx xky 消去 y 得 01248)43( 2222 =+ kxkxk . 设 A、 B 的坐标分别为（ x1,y1）, （ x2,y2）, 则 x1,x2是方程的两根， x1 x2 2 2 43 8 k k + . 因为 AB 既是过 C1的右焦点的弦，又是过 C2的焦点的弦， 所以 )( 2 1 4) 2 1 2() 2 1 2( 2121 xxxxAB +=+= ，且 3 4 ) 2 () 2 ( 212121 +=+=+= xxpxx p x p xAB . 从而 )( 2 1 4 3 4 2
16、121 xxxx +=+ . 所以 9 16 21 =+xx ，即 9 16 43 8 2 2 = + k k . 解得 6,6 2 = kk 即 . 因为 C2的焦点 ), 3 2 ( mF 在直线 )1( = xky 上，所以 km 3 1 = . 即 3 6 3 6 = mm 或 . 当 3 6 =m 时，直线 AB 的方程为 )1(6 = xy ； 当 3 6 =m 时，直线 AB 的方程为 )1(6 = xy . 解法二 当 C2的焦点在 AB 时，由（）知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程 为 )1( = xky . 由 = = )1( 3 8 )( 2 xky xmy
17、消去 y 得 xmkkx 3 8 )( 2 = . 因为 C2的焦点 ), 3 2 ( mF 在直线 )1( = xky 上， 所以 )1 3 2 ( = km ，即 km 3 1 = .代入有 x k kx 3 8 ) 3 2 ( 2 = . 即 0 9 4 )2( 3 4 2 222 =+ k xkxk . 设 A、 B 的坐标分别为（ x1,y1）, （ x2,y2）, 则 x1,x2是方程的两根， x1 x2 2 2 3 )2(4 k k + . A y B O x 由 =+ = 1 34 )1( 22 yx xky 消去 y 得 01248)43( 2222 =+ kxkxk . 由
18、于 x1,x2也是方程的两根，所以 x1 x2 2 2 43 8 k k + . 从而 2 2 3 )2(4 k k + 2 2 43 8 k k + . 解得 6,6 2 = kk 即 . 因为 C2的焦点 ), 3 2 ( mF 在直线 )1( = xky 上，所以 km 3 1 = . 即 3 6 3 6 = mm 或 . 当 3 6 =m 时，直线 AB 的方程为 )1(6 = xy ； 当 3 6 =m 时，直线 AB 的方程为 )1(6 = xy . 解法三 设 A、 B 的坐标分别为（ x1,y1）, （ x2,y2）, 因为 AB 既过 C1的右焦点 )0,1(F ，又是过 C
19、2的焦点 ), 3 2 ( mF ， 所以 ) 2 1 2() 2 1 2() 2 () 2 ( 212121 xxpxx p x p xAB +=+=+= . 即 9 16 )4( 3 2 21 =+ pxx . 由（）知 21 xx ，于是直线 AB 的斜率 m m xx yy k 3 1 3 2 0 12 12 = = = ， 且直线 AB 的方程是 )1(3 = xmy , 所以 3 2 )2(3 2121 m xxmyy =+=+ . 又因为 =+ =+ 1243 1243 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx ，所以 0)(4)(3 12 12 2121 = + xx yy yyxx . 将、代入得 3 2 2 =m ，即 3 6 3 6 = mm 或 . 当 3 6 =m 时，直线 AB 的方程为 )1(6 = xy ； 当 3 6 =m 时，直线 AB 的方程为 )1(6 = xy .
