1、 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 （四川卷）理科数学及参考答案 第卷 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球是表面积公式 )()()( BPAPBAP +=+ 2 4 RS = 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 )()()( BPAPBAP = 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 3 3 4 RV = n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 knkk nn PPCkP = )1()( 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分； 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2、 11 12 答 案 C D D B D B A C A C A B （ 1）已知集合 2 560Axx x=+=，集合 213Bxx= ，则集合 AB= （ A） 23xx （ B） 23xx （ C） 23xx （ D） 13xx （ 2）复数 3 (1 )i 的虚部为 （ A） 3 （ B）3 （ C） 2 （ D） 2 （ 3）已知 2 3 , 1 () 2 , 1 x x fx x + = = ，下面结论正确的是 （ A） ()f x 在 1x= 处连续 （ B） (1) 5f = （ C） 1 lim ( ) 2 x fx = （ D） 1 lim ( ) 2 x fx = （ 4
3、）已知二面角 l 的大小为 0 60 ， ,mn为异面直线，且 ,mn ，则 ,mn所 成的角为 （ A） 0 30 （ B） 0 60 （ C） 0 90 （ D） 0 120 （ 5）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ A） sin 6 yx =+ （ B） sin 2 6 yx = （ C） cos 4 3 yx = （ D） cos 2 6 yx = (6) 已知两定点 ()() 2,0 , 1,0AB ，如果动点 P 满足 2PA PB= ，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 （ A） （ B） 4 （ C） 8 （ D） 9 （ 7）如图，已知正六边形 123456 P
4、PPPPP，下列向量的数量积中最大的是 （ A） 12 13 PP PP nullnullnullnullnullnullnullnullnullnull （ B） 12 14 PP PP nullnullnullnullnullnullnullnullnullnull （ C） 12 15 PP PP nullnullnullnullnullnullnullnullnullnull （ D） 12 16 PP PP nullnullnullnullnullnullnullnullnullnull （ 8）某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 1 a 、 1 b 千克，生产乙产
5、品每千克需 用原料 A 和原料 B 分别为 2 a 、 2 b 千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为 1 d 、 2 d 元。月 初一次性购进本月用原料 A、 B 各 1 c 、 2 c 千克。要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克 才能使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 x千克、 y 千克，月利润总额为 z 元，那么，用于求使总利润 12 zdxdy= + 最大的数学模型中，约束 条件为 （ A） 121 12 2 0 0 ax ay c bx by c x y + + （ B） 11 1 22 2 0 0 ax by c ax by c x y + + （
6、C） 121 12 2 0 0 ax ay c bx by c x y + + （ D） 12 1 12 2 0 0 ax ay c bx by c x y += += (9) 直线 3yx=与抛物线 2 4y x= 交于 ,A B两点，过 ,A B两点向抛物线的准线作垂线， 垂足分别为 ,PQ，则梯形 APQB 的面积为 （ A） 48 （ B） 56 （ C） 64 （ D） 72 （ 10）已知球 O的半径是 1， A、 B 、 C 三点都在球面上， A、 B 两点和 A、 C 两点的球 面距离都是 4 ， B 、 C 两点的球面距离是 3 ，则二面角 B OA C 的大小是 （ A）
7、4 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 2 3 （ 11）设 ,abc分别是 ABC 的三个内角 ,ABC所对的边，则 ( ) 2 abbc= + 是 2AB= 的 （ A） 充要条件 （ B）充分而不必要条件 （ C）必要而充分条件 （ D）既不充分又不必要条件 （ 12）从 0 到 9这 10个数字中任取 3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被 3整除的概率为 （ A） 19 54 （ B） 35 54 （ C） 38 54 （ D） 41 60 第卷 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分；把答案填在题中的横线上。 （ 13） 在三棱锥 OABC 中，
8、三条棱 OA、 OB 、 OC 两两互相垂直， 且 OA OB OC ， M 是 AB 边的中点，则 OM 与平面 ABC 所成的角的大小是 arctan 2 （用反三角函数表 示）； （ 14）设离散型随机变量 可能取的值为 1， 2， 3， 4。 ()Pkakb = =+（ k =1， 2， 3， 4）。又 的数学期望 3E = ，则 ab+ = 1 10 ; （ 15）如图，把椭圆 22 1 25 16 xy +=的长轴 AB 分成 8 等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭 圆的上半部分于 1234567 ,PPPPPPP七个点， F 是椭圆的一个焦点，则 1234567 PF PF P
9、F PF PF PF PF+=35 ; （ 16）非空集合 G 关于运算 满足：（ 1）对任意 a、 bG ，都有 abG+ ；（ 2）存 在 cG ，使得对一切 aG ，都有 accaa =，则称 G 关于运算 为“融洽集”。 现给出下列集合和运算： G =非负整数 ， 为整数的加法。 G =偶数 ， 为整数的乘法。 G =平面向量 ， 为平面向量的加法。 G =二次三项式 ， 为多项式的加法。 G =虚数 ， 为复数的乘法。 其中 G 关于运算 为“融洽集”的是 、 （写出所有“融洽集”的序号） 三解答题：本大题共 6 小题，共 74 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17
10、）（本大题满分 12 分） 已知 ,ABC是三角形 ABC 三内角，向量 ( ) ()1, 3 , cos , sinmnAA= = nullnullnull ，且 1mn= nullnull null （）求角 A； （）若 22 1sin2 3 cos sin B B B + = ，求 tan B 本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公 式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分 12 分。 解：（） 1mn= nullnull null () ()1, 3 cos , sin 1AA = 即 3sin cos 1AA= 31 2sin cos 1 2
11、2 AA = 1 sin 62 A = 5 0, 666 AA 66 A = 3 A = （）由题知 22 12sin cos 3 cos sin BB BB + = ，整理得 sin sin cos 2cos 0BBB B = cos 0B 2 tan tan 2 0BB = tan 2B= 或 tan 1B = 而 tan 1B = 使 22 cos sin 0BB = ，舍去 tan 2B = （ 18）（本大题满分 12 分） 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”， 两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率 分
12、别为 0.9,0.8,0.7 ；在实验考核中合格的概率分别为 0.8,0.7,0.9 ，所有考核是否合格相互 之间没有影响 （）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数） 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用 概率知识解决实际问题的能力。满分 12 分。 解：记“甲理论考核合格”为事件 1 A ，“乙理论考核合格”为事件 2 A ，“丙理论考核合格” 为事件 3 A ， 记 i A 为 i A 的对立事件， 1, 2, 3i = ；记“甲实验考核合格”为事件 1 B ，“乙实 验考核合格”为事
13、件 2 B ，“丙实验考核合格”为事件 3 B ， （）记“理论考核中至少有两人合格”为事件 C ，记 C 为 C 的对立事件 解法 1： () 12 3 1 23 123 123 PC PAAA AAA AAA AAA=+ ()( ) ( ) () 12 3 1 23 123 123 P AAA P AAA P AAA P AAA=+ 0.9 0.8 0.3 0.9 0.2 0.7 0.1 0.8 0.7 0.9 0.8 0.7= + 0.902= 解法 2： () () 1PC PC= 123123123123 1 PAAA AAA AAA AAA= + + + ()( ) ( ) ( )
14、 123 123 123 123 1 PAAA PAAA PAAA PAAA = + + + 1 0.1 0.2 0.3 0.9 0.2 0.3 0.1 0.8 0.3 0.1 0.2 0.7= + + + 1 0.098= 0.902= 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为 0.902 （）记“三人该课程考核都合格” 为事件 D () ( )( )( ) 11 2 2 33 PD P AB A B A B= ()( ) ( ) 11 2 2 33 PAB PAB PAB= ()()( ) ( ) ( ) ( ) 112 2 33 PA PB PA PB PA PB= 0.9 0.8 0.8
15、 0.8 0.7 0.9= 0.254016= 0.254 所以，这三人该课程考核都合格的概率为 0.254 （ 19）（本大题满分 12 分） 如图，在长方体 111 1 ABCD ABC D 中， ,EP分别是 11 ,BCAD 的中点， ,M N 分别是 1 ,AE CD 的中点， 1 ,2AD AA a AB a= = （）求证： /MN 面 11 ADD A ； （）求二面角 PAED的大小； （）求三棱锥 PDEN 的体积。 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及 空间想象能力和推理能力。满分 12 分 解法一： （）证明：取 CD的中点 K ，连
16、结 ,MKNK ,M NK分别为 1 ,AK CD CD的中点 1 / , /MKADNKDD /MK 面 11 ADD A ， /NK 面 11 ADD A 面 /MNK 面 11 ADD A /MN 面 11 ADD A （）设 F 为 AD的中点 P 为 11 AD的中点 1 /PF DD PF 面 ABCD 作 FH AE ，交 AE 于 H ，连结 PH ，则由三垂线定理得 AEPH 从而 PHF 为二面角 PAED 的平面角。 在 Rt AEF 中， 17 ,2, 22 a AFEFaAE a= ，从而 2 2 2 17 17 2 a a AFEF a FH AE a = 。 在
17、Rt PFH 中， 1 17 tan 2 DDPF PFH FH FH = 故：二面角 PAED的大小为 17 arctan 2 （） 1 22 2 1 111 5 4 244 4 NEP ECD P SS BCDaaaa =+= 矩形 。 作 1 DQ CD ，交 1 CD 于 Q ，由 11 11 AD CDDC面 ，得 11 AD DQ ， 11 DQ BCD A面 。 在 1 RtCDD 中， 1 1 22 55 CD DD aa DQ a CD a =， 3 2 115 3346 5 PDEN DNEP NEP a VV SDQ aa =。 方法二：以 D为原点， 1 ,DA DC
18、DD 所在直线分别为 x轴， y 轴， z 轴，建立直角坐标 系，则 ()( )( ) ( ) ( ) 11 ,0,0 , ,2 ,0 , 0,2 ,0 , ,0, , 0,0,Aa Ba a C a A a a D a , ,EPMN分别是 11 1 ,BCADAECD的中点 3 ,2 ,0 , ,0, , , ,0 , 0, , , 224 2 aa a a EaP aMaNa （） 3 ,0, 42 a MN a = nullnullnullnullnull 取 ()0,1, 0n= null ，显然 n null 面 11 ADD A 0MN n = nullnullnullnulln
19、ullnull ， MNn nullnullnullnullnullnull 又 MN 面 11 ADD A /MN 面 11 ADD A 过 P 作 PH AE ，交 AE 于 H ，取 AD的中点 F ，则 ,0,0 2 a F 设 (),0Hxy ，则 , ,0 22 aa HP x y a HF x y = = nullnullnullnull nullnullnullnull 又 ,2 ,0 2 a AE a = nullnullnullnull 由 0AP AE = nullnullnullnull nullnullnullnull ，及 H 在直线 AE 上，可得: 2 20 4
20、2 44 aa xay xy a += += 解得 33 2 , 34 17 x ay a= 82 82 , ,0 17 17 17 17 aa aa HP a HP = = nullnullnullnull nullnullnullnull 0HF AE= nullnullnullnull nullnullnullnull 即 HF AE nullnullnullnull nullnullnullnull HP nullnullnullnull 与 HF nullnullnullnull 所夹的角等于二面角 PAED 的大小 2 cos , 21 HP HF HP HF HP HF = nu
21、llnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull 故：二面角 PAED的大小为 221 arccos 21 （）设 1111 ( , , )nxyz= nullnull 为平面 DEN 的法向量，则 1 nDE nullnull nullnullnullnull ， 1 nDN nullnull nullnullnullnull 。 又 ( , 2 , ) 2 a DE a a= nullnullnullnull ， (0 , , ) 2 a D
22、N a= nullnullnullnull ， ( , 0 , ) 2 a DP a= nullnullnullnull 。 11 11 20 2 0 2 a xay a ay z += += ，即 11 11 4 2 x y zy = = ，可取 1 (4 , 1 , 2)n = nullnull P 点到平面 DEN 的距离为 1 1 |22|4 | 16 1 4 21 DP n a a a d n + = = + nullnullnullnull nullnull nullnull 。 8 cos , | |85 DE DN DE DN DE DN = = nullnullnullnul
23、l nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull ， 21 sin , 85 DE DN= nullnullnullnull nullnullnullnull 。 2 12 |sin , 28 DEN SDEDNDEDNa = nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull ， 3 2 11214 338 6 21 PDEN DEN aa VSd a =。 （ 20）（本大题满分 12
24、 分） 已知数列 n a ，其中 1 1a = ， 2 3a = ， 11 2 nn n aa a + = + （ 2n ），记数列 n a 的 前 n项和为 n S ，数列 ln n S 的前 n项和为 n U 。 （）求 n U ； （）设 2 2 () 2( !) n U n n e Fx x nn = （ x0）， 1 () () n nk k Tx Fx = = （其中 () k Fx 为 () k Fx的导 数），计算 1 () lim () n n n Tx Tx + 。 本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运 算的能力，同考查分类讨论的思想方
25、法。满分 12 分。 解：（）由题意， n a 是首项为 1、公差为 2 的等差数列， 前 n项和 2 112( 1) 2 n n Snn + =， 2 ln ln 2ln n Sn=， 2(ln1 ln 2 ln ) 2ln( !) n Un= + + = 。 （） 2 2 () 2( !) n U n n e Fx x nn = 22 2 2 ( !) 2( !) 2 n n nx x nn n =， () k Fx 21n x = ， 1 () () n nk k Tx Fx = = 2 2 21 1 2 2 (1 ) (0 ) 1 ( 1) (1 ) ( 1 n n k k n xx
26、x x xn x xx x x = 1) ， 1 () lim () n n n Tx Tx + 2 22 2 2 2 2 1 lim 1 (0 ) 1 lim 1 ( ) 1 1 ()1 1 lim ( ) 1 () n n n n n n n x x x n x n x x x x x + =1 。 （ 21）（本大题满分 12 分） 已知两定点 ()( ) 12 2,0 , 2,0FF ，满足条件 21 2PF PF = nullnullnullnullnull nullnullnullnull 的点 P 的轨迹是曲 线 E ，直线 1y kx=与曲线 E 交于 ,AB两点。如果 63A
27、B = ，且曲线 E 上存在点 C ， 使 OA OB mOC+= nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull ，求 m 的值和 ABC 的面积 S 。 本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识 及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分 12 分。 解：由双曲线的定义可知，曲线 E 是以 ( ) ( ) 12 2,0 , 2,0FF 为焦点的双曲线的左支，且 2, 1ca=，易知 1b= 故曲线 E 的方程为 ( ) 22 10 xy x = += 解得 21k 又 2 12 1ABkxx=
28、+ () 2 2 12 12 14kxx x=+ + 2 2 22 14 11 k k kk =+ ( )( ) () 22 2 2 12 2 1 kk k + = 依题意得 ()() () 22 2 2 12 263 1 kk k + = 整理后得 42 28 55 25 0kk+= 2 5 7 k = 或 2 5 4 k = 但 21k0， ()f x 的导数是 ()f x 。对任意两个不等的 正数 1 x 、 2 x ，证明： （）当 0a 时， 12 12 () () () 22 f xfx xx f + ； （）当 4a 时， 1212 |() ()| | |f xfx xx 。 本
29、小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合 分析、推理论证的能力。满分 14 分。 证明：（）由 2 2 () ln f xx ax x =+ ，得 2212 12 1 2 12 () () 111 ()()(lnln) 22 2 fx fx a x x xx + =+ + 2212 12 12 12 1 () ln 2 xx x xax xx + =+ + 212 12 12 12 4 ()() ln 22 2 x xxx xx fa xx + + =+ + 。 而 2 22 22 12 12 12 12 ()1 ()()2 x x xx xx xx +1 + +
30、 = 4 ， 又 222 12 1 2 12 12 ()( )2x xxxxx+=+ 4， 12 12 1 2 xx x xxx +4 + 。 12 12 2 x x xx + ， 12 12 ln ln 2 x x xx + + + + ， 即 12 12 () () () 22 f xfx xx f + 。 （）证法一：由 2 2 () ln f xx ax x =+ ，得 2 2 () 2 a fx x x x = +， 12 1 222 11 2 2 |() ()| |(2 )(2 )| aa fx fx x x x xxx = + 12 12 22 12 12 2( ) |2 | x
31、x a xx x xxx + =+ 。 1212 |() ()| | |f xfx xx 12 22 12 12 2( ) |2 | xx a xx xx + + 1 下面证明对任意两个正数 1 x 、 2 x ，有 12 22 12 12 2( ) 2 xx a xx xx + + 1恒成立， 即证 12 12 12 2( )x x axx xx + + 设 12 txx= ， 2 4 ( ) ( )ut t t t =+ 0，则 2 4 () 2 ut t t = 。 令 () 0ut=，得 3 2t = 。列表如下： t 3 ( 0 , 2 ) 3 2 3 ( 2 , )+ ()ut 0
32、 + () ut null 极小值 3 34 null 3 3 () 3 4 = 108ut a4。 12 12 12 2( )xx x xa xx + + 对任意两个不等的正数 1 x 、 2 x ，恒有 1212 |() ()| | |f xfx xx 。 证法二：由 2 2 () ln f xx ax x =+ ，得 2 2 () 2 a fx x x x = +， 12 1 222 11 2 2 |() ()| |(2 )(2 )| aa fx fx x x x xxx = + 12 12 22 12 12 2( ) |2 | xx a xx x xxx + =+ 。 1 x 、 2
33、x 是两个不等的正数 12 22 1 2 12 12 1212 12 2( ) 4 2 xx aa x xxx x x xx xx 33 + 44 + 2+ 2+ () () 。 设 12 1 t x x = ， 32 ( ) 2 4 ( )ut t t t=+ 0，则 () 4(3 2) ut t t =，列表： t 2 ( 0 , ) 3 2 3 2 ( , ) 3 + ()ut 0 + () ut null 极小值 38 27 null 38 27 u 1，即 12 22 12 12 2( ) 2 xx a xx xx + + 1。 12 |() ()| fx fx= 12 12 12 22 12 12 2( ) |2 | | xx a x x xx xx + + 。
