1、 第 1 页 共 10 页 2009 年广东省中山市初中毕业生学业考试 数 学 说明 : 1.全卷共 4 页，考试用时 100 分钟，满分为 120 分 . 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、试室号、座位 号用 2B 铅笔把对应该号码的标号涂黑 3.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上 4非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以
2、上要求作答的答案 无效 5考生务必保持答题卡的整洁考试结束时，将试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的， 请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑 1 4 的算术平方根是（ ） A 2 B 2 C 2 D 2 2计算 32 ()a 结果是（ ） A 6 a B 9 a C 5 a D 8 a 3如图所示几何体的主（正）视图是（ ） A B C D 4 广东省 2009 年重点建设项目计划（草案） 显示，港珠澳大桥工程估算总投资 726 亿元，用科学记数 法表示正确的是（ ） A 10 7.26 10 元 B 9 72.6 10
3、 元 C 11 0.726 10 元 D 11 7.26 10 元 5方程组 22 30 10 xy xy += += 的解是（ ） A 1 1 1 3 x y = = 2 2 1 3 x y = = B 12 33 11 xx yy = = = C 12 33 11 xx yy = 12 11 33 xx yy = = = 二、填空题：（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置 上 6分解因式 22 33x yxy 第 2 页 共 10 页 7已知 O 的直径 8cmABC= ， 为 O 上的一点， 30BAC = ，则BC = cm 8一种商品原价
4、120 元，按八折（即原价的 80%）出售，则现售价 应 为 元 9在一个不透明的布袋中装有 2 个白球和 n 个黄球，它们除颜色不 同外，其 余均相同若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是 4 5 ，则 n =_ 10用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（ 3）个图形中有黑色瓷砖 块，第 n 个图形中需要黑色瓷砖 _块（用含 n 的代数式表示） （ 1） （ 2） （ 3） 三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分） 11 （本题满分 6 分）计算： 1 9sin30 +3 2 + 0 +( ) 12 （本题满分 6 分）解方程 2 21 11x x =
5、 13（本题满分 6 分） 如图所示， ABC 是等边三角形， D 点是 AC 的中 点，延长 BC 到 E ，使 CE CD= ， （ 1）用尺规作图的方法，过 D 点作 DM BE ，垂足是 M （不写 作法， 保留作图痕迹） ； （ 2）求证： BMEM= 14 （本题满分 6 分）已知：关于 x 的方程 2 210 xkx+ = （ 1）求证：方程有两个不相等的实数根； （ 2）若方程的一个根是 1 ，求另一个根及 k 值 15 （本题满分 6 分）如图所示， A、 B 两城市相距 100km，现 计划在这 两座城市间修建一条高速公路（即线段 AB ） ，经测量，森林保护 中心 P 在
6、 A城市的北偏东 30 和 B 城市的北偏西 45 的方向上，已知森林 保护区的 范围在以 P 点为圆心， 50km 为半径的圆形区域内，请问计划修 建的这条 高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据： 31.732，21.414 ） 第 7 题图 A C B O 第 10 题图 A C B D E 第 13 题图 30 A B F E P 45 第 15 题图 第 3 页 共 10 页 四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分） 16 （本题满分 7 分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑 被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均
7、一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制， 3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？ 17 （本题满分 7 分）某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，从足球、 乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整 的统计图（如图 1，图 2 要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球 代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数） ，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （ 1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？ （ 2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？ （ 3）补全
8、频数分布折线统计图 18 （本题满分 7 分）在 ABCDnull 中， 10AB = ， ADm=， 60D = ，以 AB 为直径作 O ， （ 1）求圆心 O到 CD的距离（用含 m 的代数式来表示） ； （ 2）当 m 取何值时， CD与 O 相切 19 （本题满分 7 分）如图所示，在矩形 ABCD中， 12AB AC= ， =20 ，两条对角线相交于点 O以 OB 、 OC 为邻边作第 1 个平行四边形 1 OBB C ，对角线相交于点 1 A ，再以 11 AB 、 1 AC为邻边作第 2 个平行四边 形 111 ABCC，对角线相交于点 1 O ；再以 11 OB、 11 OC
9、为邻边作第 3 个平行四边形 112 1 OBBC依次类推 （ 1）求矩形 ABCD的面积； 图 2 人数 乒乓球 20% 足球 排球 篮球 40% 50 40 30 20 10 O 项目 足球 乒乓球 篮球 排球 图 1 第 17 题图 AD B C O 第 18 题图 第 4 页 共 10 页 （ 2）求第 1 个平行四边形 1 OBB C 、第 2 个平行四边形 111 ABCC和第 6 个平行四边形的面积 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20、 （本题满分 9 分） （ 1） 如图 1， 圆心接 ABC 中， ABBCCA=， OD 、 OE 为 O 的半径，
10、OD BC 于点 F ， OE AC 于点 G， 求证：阴影部分四边形 OFCG 的面积是 ABC 的面 积的 1 3 （ 2）如图 2，若 DOE 保持 120 角度不变， 求证：当 DOE 绕着 O 点旋转时，由两条半径和 ABC 的 两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是 ABC 的 面积的 1 3 21 （本题满分 9 分）小明用下面的方法求出方程 230 x = 的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个 方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中 方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解 230 x = 令 x t= ， 则 230t = 3 2 t = 3 0 2 t
11、 = 3 2 x = ， 所以 9 4 x = 230 xx+= 240 xx+= 22 （本题满分 9 分）正方形 ABCD边长为 4， M 、 N 分别是 BC 、 CD 上 的两个动点，当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直， （ 1）证明： Rt RtABM MCN ； （ 2）设 BMx= ，梯形 ABCN 的面积为 y ，求 y 与 x 之间的函数 关系 N DA CB M 第 22 题图 A 1 O 1 A 2 B 2 B 1 C 1 B C 2 A O D 第 19 题图 C 第 20 题图 A E O G F B C D A E O B C D 图 1 图
12、2 第 5 页 共 10 页 式；当 M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN 面积最大，并求出最大面积； （ 3）当 M 点运动到什么位置时 Rt RtABM AMN ，求 x 的值 广东省中山市 2009 年初中毕业生学业考试 数学试题参考答案及评分建议 一、选择题（本大题 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1 B 2 A 3 B 4 A 5 D 二、填空题（本大题 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 6 ()( 3)xyxy+ 7 4 8 96 9 8 10 10， 31n+ 三、解答题（一） （本大题 5 小题，每题 6 分，共 30 分） 11解：原式 = 11 31
13、22 + 4 分 =4 6 分 12解：方程两边同时乘以 (1)(1)xx+， 2 分 2(1)x= + ， 4 分 3x = ， 5 分 经检验： 3x = 是方程的解 6 分 13解： （ 1）作图见答案 13 题图， 2 分 （ 2） Q ABC 是等边三角形， D 是 AC 的中点， BD 平分 ABC （三线合一） ， 2ABC DBE= 4 分 CE CD=Q ， CED CDE= 又 ACB CED CDE=+Q ， 2ACB E= 5 分 又 ABC ACB=Q ， 22DBC E =， DBC E=， BDDE = 又 DM BEQ ， 答案 13 题图 A C B D E
14、M 第 6 页 共 10 页 BMEM = 6 分 14解： （ 1） 2 210 xkx+=， 22 42(1) 8kk= = + ， 2 分 无论 k 取何值， 2 k 0 ，所以 2 80k +，即 0 ， 方程 2 210 xkx+=有两个不相等的实数根 3 分 （ 2）设 2 210 xkx+=的另一个根为 x ， 则 1 2 k x= ， 1 (1) 2 x=null ， 4 分 解得： 1 2 x = ， 1k = ， 2 210 xkx+=的另一个根为 1 2 ， k 的值为 1 6 分 15解：过点 P 作 PC AB ， C 是垂足， 则 30APC= ， 45BPC= ，
15、 2 分 tan 30AC PC= null ， tan 45BC PC= null ， ACBC AB+=Q ， 4 分 tan 30 tan 45 100PC PC +=nullnull， 3 1 100 3 PC += ， 5 分 50(3 3) 50 (3 1.732) 63.4 50PC = ， 答：森林保护区的中心与直线 AB 的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护 区 6 分 四、解答题（二） （本大题 4 小题，每小题 7 分，共 28 分） 16解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染 x 台电脑， 1 分 依题意得： 1(1)81xxx+ = ， 3 分
16、 2 (1 ) 81x+=， 19x+=或 19x+=， 12 810 xx=， （舍去） ， 5 分 33 (1 ) (1 8) 729 700 x+=+= 6 分 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑， 3 轮感染后，被感染的电脑会超过 700 台 7分 17解： （ 1） 20 20% 100=（人） 1 分 （ 2） 30 100% 30% 100 =， 2 分 答案 15 题图 A B F E P C 第 7 页 共 10 页 1 20% 40% 30% 10%=， 360 10% 36= 3 分 （ 3）喜欢篮球的人数： 40% 100 40=（人） ， 4 分 喜欢排球
17、的人数： 10% 100 10=（人） 5 分 7 分 18解： （ 1）分别过 A O， 两点作 AECDOFCD， ，垂足分别为点 E ，点 F ， AEOFOF ， 就是圆心 O到 CD的距离 Q四边形 ABCD是平行四边形， ABCD AEOF =， 2 分 在 Rt ADE 中， 60 sin sin 60 AEAE DD ADAD = = = ， ， 33 3 22 2 AE AE m OF AE m m = =， ， 4 分 圆心到 CD的距离 OF 为 3 2 m 5 分 （ 2） 3 2 OF m=Q ， AB 为 O 的直径，且 10AB = ， 当 5OF = 时， CD
18、与 O 相切于 F 点， 即 3103 5 23 mm=， ， 6 分 答案 17 题图 人数 50 40 30 20 10 O 项目 足球 乒乓球 篮球 排球 答案 18 题图（ 1） A D B C O E F 答案 18 题图（ 2） AD BC O E F 第 8 页 共 10 页 当 10 3 3 m = 时， CD与 O 相切 7 分 19解： （ 1）在 Rt ABC 中， 22 22 20 12 16BC AC AB=， 12 16 192 ABCD SABC=null 矩形 2 分 （ 2） Q矩形 ABCD，对角线相交于点 O， 4 ABCD OBC SS = 3 分 Q四
19、边形 1 OBB C 是平行四边形， 11 OB CB OC BB ， ， 11 OBC B CB OCB B BC= =， 又 BCCB=Q ， 1 OBC B CB ， 1 1 296 2 OBB C OBC ABCD SS S = ， 5 分 同理， 111 1 111 48 222 ABCC OBBC ABCD SS S=， 6 分 第 6 个平行四边形的面积为 6 1 3 2 ABCD S = 7 分 五、解答题（三） （本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 20证明： （ 1）如图 1，连结 OA OC， ， 因为点 O是等边三角形 ABC 的外心， 所以 Rt Rt
20、RtOFC OGC OGA 2 分 2 OFCG OFC OAC SSS= ， 因为 1 3 OAC ABC SS= ， 所以 1 3 OFCG ABC SS= 4 分 （ 2）解法一： 连结 OA OB， 和 OC ，则 AOC COB BOA ， 12 = ， 5 分 不妨设 OD 交 BC 于点 F ， OE 交 AC 于点 G ， 3 4 120 5 4 120AOC DOE =+= =+= ， 35= 7 分 在 OAG 和 OCF 中， 答案 20 题图（ 1） A E O G F B C D 答案 20 题图（ 2） A E O G F B C D 1 2 3 4 5 第 9 页
21、 共 10 页 12 35 OA OC = = = ， ， ， OAG OCF ， 8 分 1 3 OFCG AOC ABC SS S = 9 分 解法二： 不妨设 OD 交 BC 于点 F ， OE 交 AC 于点 G ， 作 OH BC OK AC， ，垂足分别为 HK、 ， 5 分 在四边形 HOKC 中， 90 60OHC OKC C= ， 360 90 90 60 120HOK= = - ， 6 分 即 12120+= 又 2 3 120GOF =+=Q ， 13= 7 分 ACBC=Q ， OH OK = ， OGK OFH ， 8 分 1 3 OFCG OHCK ABC SS S
22、 = 9 分 21解： 方程 换元法得新方 程 解新方程 检验 求原方程的解 230 xx+= 令 x t= ，则 2 230tt+= 1 分 12 13tt=， 2 分 1 10t = ， 2 30t = ， 2 20t =（舍去） 8 分 21x=，所以 21 3xx= =， 9 分 22解： （ 1）在正方形 ABCD中， 490AB BC CD B C=， AM MNQ ， 90AMN= ， 90CMN AMB+= 在 Rt ABM 中， 90MAB AMB+= ， CMN MAB=， Rt RtABM MCN 2 分 （ 2） Rt RtABM MCNQ ， 4 4 AB BM x
23、MCCN xCN = ， ， 答案第 20 题图（ 3） A E O G F B C D 1 3 2 H K N DA CB M 答案 22 题图 第 10 页 共 10 页 2 4 4 x x CN + = ， 4 分 2 22 14 1 1 44 2 8 ( 2) 10 24 2 2 ABCN xx yS x x x + = +=+=+ null 梯形 ， 当 2x = 时， y 取最大值，最大值为 10 6 分 （ 3） 90BAMN= =Q ， 要使 ABM AMN ，必须有 AMAB MNBM = ， 7 分 由（ 1）知 AMAB MNMC = ， BMMC = ， 当点 M 运动到 BC 的中点时， ABM AMN ，此时 2x = 9 分 （其它正确的解法，参照评分建议按步给分）
