1、2015届北京市昌平区九年级上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 A为锐角，且 sinA ，那么 A等于（ ） A 15 B 30 C 45 D 60 答案： B 试题分析： A为锐角， sinA= ， A=30故选 B 考点：特殊角的三角函数值 如图，菱形 ABCD中， AB=2， B=60， M为 AB的中点动点 P在菱形的边上从点 B出发，沿 BCD 的方向运动，到达点 D时停止连接 MP，设点 P运动的路程为 x， MP 2 y，则表示 y与 x的函数关系的图象大致为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：（ 1）当 0x 时，如图，过 M作 ME BC与 E，
2、BM=1， B=60， BE= ， ME= ， PE= ， ， ； （ 2）当 x2时， 如图，过 M作 ME BC与 E， BM=1， B=60， BE= ， ME= ， PE= ， ， ； (3) 当 2 x4时， 如图，连结 MC， BM=1， BC=AB=2， B=60， BMC=90， MC= ， AB DC， MCD= BMC=90， ， ； 综合（ 1）（ 2）（ 3），只有 B选项符合题意，故选 B 考点：动点问题的函数图象 如图， AB为 O的弦，半径 OD AB于点 C若 AB=8， CD=2，则 O的半径长为（ ） A B 3 C 4 D 5 答案： D 试题分析：连接
3、OB，由已知， OC AB，且 AB=8，根据垂径定理可知， BC=4，在 Rt OBC中， OB=OC=OC+DC=OC+2， BC=4，由勾股定理：，解得， OC=3，故选 D 考点： 1垂径定理； 2解直角三角形 如图，点 P是第二象限内的一点，且在反比例函数 的图象上， PA x轴于点 A ， PAO的面积为 3，则 k的值为（ ） A 3 B - 3 C 6 D -6 答案： D 试题分析：由题意知： PAO的面积 = ，所以 ，即 又反比例函数是第二象限的图象， ，所以 ，故选 D 考点：反比例函数系数 k的几何意义 如图，在 ABC中， D为 AC边上一点，若 DBC A， BC
4、 ， AC 3，则 CD的长为（ ） A 1 BC 2 D答案： C 试题分析： 在 ABC中， D为 AC边上一点， DBC= A， C= C， BCD ACB， BC与 AC是对应边， CD与 BC是对应边， BC= ，AC=3， BCD与 ACB的相似比是 ， CD= BC=2故选 C 考点：相似三角形的判定与性质 如图，在 ABC中， DE BC，分别交 AB， AC于点 D， E若 AD 1，DB 2，则 ADE的面积与 ABC的面积的比等于（ ） A B C D 答案： D 试题分析： DE BC， ADE ABC， ， AD=1，BD=2， AB=AD+BD=3， ， ADE与
5、ABC面积的比为： 1：9故选 D 考点：相似三角形的判定与性质 如图，等边三角形 ABC内接于 O，那么 BOC的度数是（ ） A 150 B 120 C 90 D 60 答案： B 试题分析：已知 ABC为等边三角形，故 A=60，又 ABC内接于 O， A为圆周角， BOC为圆心角，故 BOC=2 A=120故选 B 考点：圆周角定理 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A等边三角形 B等腰直角三角形 C正方形 D正五边形 答案： C 试题分析： C既是轴对称图形又是中心对称的图形； A B D都只是轴对称图形故选 C 考点： 1轴对称图形； 2中心对称图形 填空题 抛
6、物线 的顶点坐标是 答案：（ 2， 1） 试题分析：因为 是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（ 2， 1）故答案：为：（ 2， 1） 考点：二次函数的性质 已知关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 m的取值范围是 答案： 试题分析： 关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根， = = ，解得 ，故答案：为： 考点：根的判别式 如图，点 P是 的直径 BA的延长线上一点， PC切 于点 C，若， PB=6，则 PC等于 答案： 试题分析：连结 CO， PC切 于点 C， PCO=90， ， PO=2OC， PB=6， PO+OB=PO+CO=3CO=6，
7、CO=2， PA=6 4=2， = ， PC= 故答案：为： 考点：切割线定理 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（ 3， 0）， B（ 0， 4），记Rt OAB 为三角形 ，按图中所示的方法旋转三角形，依次得到三角形 ， ， ， ，则三角形 的直角顶点的坐标为 ；三角形 的直角顶点的坐标为 ；第 2015个三角形的直角顶点的坐标为 答案： ，（ 36， 0）， 试题分析： AOB=90， OA=3， OB=4， AB= = =5， 旋转得到图 的直角顶点的坐标为（ 12， 0）；根据图形，每 3个图形为一个循环组， 3+5+4=12， 所以，图 的直角顶点在 x轴上方，横坐标为 12 3
8、 ，纵坐标为：， 所以，图 的顶点坐标为 ，又 图 的直角顶点与图 的直角顶点重合， 图 的直角顶点的坐标为（ 36， 0） 2015=3671 2， 第 2015个三角形的直角顶点在 x轴上方，横坐标为 12671 3 ，纵坐标为：，所以，第 2015个三角形的顶点坐标为 故答案：为： ，（ 36， 0）， 考点： 1坐标与图形变化 -旋转； 2规律型 计算题 计算 ： 答案： 试题分析：原式 考点：实数的运算 解答题 解方程： 答案： ， 试题分析：用十字相乘法分解因式后即可得到答案： 试题： ， ，或 ， ， 考点：解一元二次方程 -因式分解法 如图，已知 ABC和 ADE都是等腰直角三
9、角形， BAC= DAE=90，AB=AC， AD=AE连接 BD交 AE于 M，连接 CE交 AB于 N， BD与 CE交点为 F，连接 AF （ 1）如图 1，求证： BD CE； （ 2）如图 1，求证： FA是 CFD的平分线； （ 3）如图 2，当 AC=2， BCE=15时，求 CF的长 答案：（ 1）证明见试题；（ 2）证明见试题；（ 3） 试题分析：（ 1）证明 CAE BAD即可； （ 2）作 AG CE于 G， AK BD于 K，由 CAE BAD，可以得到 BFN= NAC=90，即可得到 BD CE； （ 3）先求出 ACN =30，再由含 30角的直角三角形的性质可以
10、求出 CF的长 试题：（ 1）如图 1 BAC = DAE=90， BAE= BAE， CAE= BAD，在 CAE和 BAD中， CAE BAD ACF= ABD， ANC= BNF， BFN= NAC=90， BD CE； （ 2）如图 1， 作 AG CE于 G， AK BD于 K，由（ 1）知 CAE BAD， CE = BD，S CAE =S BAD AG = AK， 点 A在 CFD的平分线上即 FA是 CFD的平分线； （ 3）如图 2 BAC = 90， AB =AC， ACB= ABC =45， BCE=15， ACN = ACB- BCE=30= FBN，在 Rt ACN中
11、， NAC = 90，AC=2， ACN =30， AN= ， CN= AB=AC=2， BN=在 Rt ACN中， BFN = 90， FBN =30， NF= BN=， CF=CN+NF= 考点： 1全等三角形的判定与性质； 2含 30度角的直角三角形 已知：如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 A、B两点，且点 A的坐标为（ 1， m） （ 1）求反比例函数 的表达式； （ 2）点 C（ n， 1）在反比例函数 的图象上，求 AOC的面积； （ 3）在 x轴上找出点 P，使 ABP是以 AB为斜边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 P的坐标 答案：（ 1） ；（ 2） 4
12、；（ 3） P1（ ， 0）， P2（ ， 0） 试题分析：（ 1）把（ 1， m）依次代入一次函数的式，得到 A的坐标，再把 A的坐标代入反比例函数式，即可得到反比例函数的式； （ 2）由反比例函数得到 C的坐标，从而求出 AOC的面积； （ 3）以 AB为直径作 M与 x轴相交于 P，则 MP= AB，由两点间距离公式求出 P的坐标即可 试题：（ 1） 点 A（ 1， m）在一次函数 的图象 上， m=3， 点 A的坐标为（ 1， 3）， 点 A（ 1， 3）在反比例函数 的图象上， k =3， 反比例函数 的表达式为 ； （ 2） 点 C（ n， 1）在反比例函数 的图象上， n=3，
13、C（ 3， 1），过 A作 AD x轴于 D，过 C作 CE x轴于 E， ， ， ， ； （ 3）以 AB为直径作 M与 x轴相交于 P，设 P（ x， 0）， ，解得：，或 ， B（ 3， 1）， A(1， 3)， P（ 1， 1）， AB=， MP 为直角三角形 BPA 斜边的中线， MP= AB， ，解得： ， 所有符合条件的点 P的坐标： P1（ ， 0）， P2（ ， 0） 考点：反比例函数综合题 已知，正方形 ABCD的边长为 6，点 E为 BC的中点，点 F在 AB边上，且 EDF 45 （ 1）利用画图工具，在右图中画出满足条件的图形； （ 2）猜想 tan ADF的值，并写
14、出求解过程 答案：（ 1）作图见试题；（ 2） 试题分析：（ 1）根据题意画出图形，进一步作出辅助线，利用三角形全等，勾股定理，以及正方形的性质解决问题即可 （ 2）在 BA的延长线上截取 AG=CE，连接 DG，证得 AGD CED和 GDF EDF得出结论 试题：（ 1）如图 1 （ 2）猜想 tan ADF的值为 ，求解过程如下：如图 2 在 BA的延长线上截取 AG=CE，连接 DG， 四边形 ABCD是正方形， AD=CD=BC=AB=6， AF= ABC= ADC= BCD = 90， GAD = 90， AGD CED， GDA= EDC ， GD=ED， AG=CE， FDE=
15、45， ADF+ EDC=45， ADF+ GDA =45， GDF= EDF ， DF = DF， GDF EDF GF =EF，设 AF=x， 则 FB=6-x， 点 E为 BC的中点， BE=EC=3， AG=3， FG=EF=3+x，在 Rt BEF中， B =90，由勾股定理，得 ， ， x=2， AF=2 在 Rt ADF中， tan ADF= 考点： 1正方形的性质； 2勾股定理 已知：如图，在 Rt ABC中， C=90， BD平分 ABC，交 AC于点 D，经过 B、 D两点的 O交 AB 于点 E，交 BC于点 F， EB为 O的直径 （ 1）求证： AC是 O的切线； （
16、 2）当 BC=2， cos ABC= 时，求 O的半径 答案：（ 1）证明见试题；（ 2） 试题分析：（ 1）连结 OD，可证得 OD BC，得到 ADO= C=90，从而得出结论； （ 2）由 cos ABC= ，得到 AB=6，由 AOD ABC，得到圆的半径 试题：（ 1）证明：如图，连结 OD， OD=OB， 1= 2， BD平分 ABC， 1= 3， 2= 3 OD BC， ADO= C=90， OD AC， OD是 O的半径， AC是 O的切线； （ 2）在 Rt ACB中， C=90， BC=2， cos ABC ， 设 O的半径为 ，则 AO=6 r， OD BC， AOD
17、ABC， ， ，解得 ， O的半径为 考点： 1切线的判定； 2相似三角形的判定与性质 如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面 A、 B两个探测点探测到地下 C处有金属回声已知 A、 B两点相距 8米，探测线 AC， BC与地面的夹角分别是 30和 45，试确定有金属回声的点 C的深度是多少米？ 答案： 试题分析：过点 C作 CD AB于点 D，设 CD=x，在 Rt ACD中表示出 AD，在 Rt BCD中表示出 BD，再由 AB=4米， 即可得出关于 x的方程，解出即可 试题：如图，作 CD AB于点 D， ADC=90， 探测线与地面的夹角分别是 30和 45， DBC=45，
18、 DAC=30， 在 Rt DBC中， DCB=45， DB=DC， 在 Rt DAC 中， DAC=30， AC=2CD， 在 Rt DAC 中， ADC=90， AB=8， 由勾股定理，得 ， ， ， 不合题意，舍去， 有金属回声的点 C的深度是（ ）米 考点：解直角三角形的应用 已知抛物线 （ 1）求证：此抛物线与 x轴必 有两个不同的交点； （ 2）若此抛物线与直线 的一个交点在 y轴上，求 m的值 答案：（ 1）证明见试题；（ 2） 或 1 试题分析：（ 1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即 0即可； （ 2）根据题意，得到 ，整理方程可得关于 m的方程，解
19、可得m的值 试题：（ 1） = = =1 0， 此抛物线与 x轴必有两个不同的交点 （ 2） 此抛物线与直线 的一个交点在 y轴上， ， ， 的值为 或 1 考点：二次函数综合题 如图，在 Rt ABC中， C 90， AD平分 BAC，交 BC于点 D， DC=， AC=3 （ 1）求 B的度数； （ 2）求 AB及 BC的长 答案：（ 1） 30；（ 2） AB=6， BC= 试题分析：（ 1）由 tan DAC= ，得出 DAC-30，再由角平分线的性质得到 BAD=30，根据直角三角形两锐角互余即可得到 B的度数； （ 2）利用 30角所对直角边等于斜边的一半，得到斜边长，再根据三角函
20、数定义即可求出 BC 试题：（ 1） 在 ACD中， C=90， CD= ， AC=3， tan DAC=， DAC =30o， AD平分 BAC， BAC =2 DAC =60o B =30o； （ 2） 在 Rt ABC中， C 90， B=30o， AC=3， AB =2AC =6， BC= 考点：解直角三角形 如图，在 ABC和 CDE中， B = D=90， C为线段 BD上一点，且AC CE AB=3， DE=2， BC=6求 CD的长 答案： 试题分析：求出 B= D， A= ECD，证 ABC CDE，根据相似三角形的性质得出即可 试题： 在 ABC中， B =90o， A +
21、 ACB = 90o， AC CE， ACB + ECD =90o， A= ECD， 在 ABC和 CDE中， A= ECD， B= D=90o， ABC CDE， ， AB = 3，DE =2， BC =6， CD =1 考点：相似三角形的判定与性质 如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于 A（ -1， 4）， B（ 2， m）两点 （ 1）求一次函数和反比例函数的式； （ 2）直接写出不等式 的解集 答案：（ 1） ， ；（ 2） -1 x 0，或 x 2 试题分析：（ 1）把 A（ -1， 4）代入反比例函数可求出 k，把 B（ 2， m）代入反比例函数
22、可求出 m，再把 A、 B的坐标代入一次函数，即可求出一次函数的式； （ 2）观察图象即可得出结论 试题：（ 1） 反比例函数 经过 A（ -， 4）， B（ 2， m）两点， 可求得 k =-4， m =-2， 反比例函数的式为 ， B（ 2， -2）， 一次函数 也经过 A、B两点， ， 解得 ， 一次函数的式为 ； （ 2）如图， -1 x 0，或 x 2 考点：反比例函数与一次函数的交点问题 已知 ABC如图所示地摆放在边长为 1的小正方形组成的网格内，将 ABC绕点 C顺时针旋转 90，得到 （ 1）在网格中画出 ； （ 2）直接写出点 B运动到点 所经过的路径的长 答案：（ 1）作
23、图见试题；（ 2） 试题分析：（ 1）利用对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，分别作出点 A、 B的对应点，然后顺次连接即可； （ 2）因为 B旋转到 所经过的路线是以 C为圆心 CB为半径，圆心角度数为90的弧，利用弧长公式即可求解 试题：（ 1）如图所示， A1B1C即为所求作的图形； （ 2） 考点： 1弧长的计 算； 2作图 -旋转变换 如图，二次函数 的图象与 x轴交于点 A（ -1， 0）， B（ 2，0），与 y轴相交于点 C （ 1）求二次函数的式； （ 2）若点 E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形 ABEC的面积最大时，求点 E的坐标
24、，并求出四边形 ABEC的最大面积； （ 3）若点 M在抛物线上，且在 y轴的右侧 M与 y轴相切，切点为 D以C， D， M为顶点的三角形与 AOC相似，求点 M的坐标 答案：（ 1） ；（ 2） E（ 1， 4）， 4；（ 3）（ ， ），（ ， ），（ 3， -4） 试题分析：（ 1）把 A、 B的坐标代入即可得到答案：； （ 2）设 E（ a， b），先表示出四边形 ABEC的面积 S，再配方即可； （ 3）分两种情况讨论， ，或 试题：（ 1） 二次函数 的图象与 x轴相交于点 A（ -1， 0）， B（ 2， 0）， ，解得： ， 二次函数的式为 ； （ 2）如图 1 二次函数的式
25、为 与 y轴相交于点 C， C（ 0， 2），设 E（ a，b），且 a 0， b 0， A（ -1， 0）， B（ 2， 0）， OA=1， OB=2， OC=2，则 S 四边形 ABEC= = ， 点 E（ a， b）是第一象限的抛物线上的一 个动点， ， ， 当四边形 ABEC的面积最大时，点 E的坐标为（ 1， 4），且四边形 ABEC的最大面积为 4； （ 3）如图 2 设 M（ m， n），且 m0， 点 M在二次函数的图象上， ， M与 y轴相切，切点为 D， MDC =90， 以 C， D， M为顶点的三角形与 AOC相似， ，或 ， 当 n 2时， ，解得 m1=0（舍去）， m2= ， 或m3=0（舍去）， m4=-1（舍去）； 同理可得，当 n2时， m1=0（舍去） ， m2= ，或 m3=0（舍去）， m4=3； 综上，满足条件的 点 M的坐标为（ ， ），（ ， ），（ 3， -4） 考点：二次函数综合题
