1、2015届北京市燕山区九年级上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 观察下列图形，是中心对称图形的是 答案： B 试题分析：中心对称图形是指将图形围绕旋转中心旋转 180之后能与原图形互相重合的图形 . 考点：中心对称图形的性质 如图，在 Rt OAB中， AOB 90， OA 4， OB 3 O的半径为 2，点 P是线段 AB上的一动点，过点 P作 O的一条切线 PQ， Q为切点设 AP ， PQ2 ，则 与 的函数图象大致是 答案： A 试题分析：过点 O作 OD AB，则 OD= ， AD= ， PD=AP AD=x； = ，根据垂径定理可得： = 4= ，即 y= （ 0x5）
2、 考点：二次函数的应用、勾股定理、切线的性质 某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为 18 的条件下生长最快的新品种如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度 （ ）随时间 （小时）变化的函数图象，其中 BC段是双曲线 的一部分，则当 16时，大棚内的温度约为 A 18 B 15.5 C 13.5 D 12 答案： C 试题分析：根据题意求出反比例函数的式，然后将 x=16代入式进行求解 .根据题意可得反比例函数的式为 y= ，将 x=16代入得： y=13.5 考点：反比例函数的应用 如图，在 Rt ABC中， C 90， AC 1， BC 2，则
3、 cosB的值是 A B C D 2 答案： B 试题分析：根据直角三角形的勾股定理可得 AB= ， cosB=. 考点：锐角三角形函数的计算 . 如图，点 A， B， C均在 O上， ACB 35，则 AOB的度数为 A 20 B 40 C 60 D 70 答案： D 试题分析：同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数的 2倍 . 考点：圆心角与圆周角的关系 已知 ABC DEF，相似比为 1 2， ABC的周长为 4，则 DEF的周长为 A 2 B 4 C 8 D 16 答案： C 试题分析：三角形的周长之比等于相似比 . 考点：三角形相似的应用 如图是某几何体的三视图，该几何体是 A圆锥 B
4、圆柱 C棱柱 D正方体 答案： B 试题分析：圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆；圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆；正方体的主视图、左视图和俯视图都是圆；棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是正多边形； 考点：三视图 某校举办中学生汉字听写大会，准备从甲、乙、丙、丁 4套题中随机抽取一套题对选手进行训 练，则抽中甲套题的概率是 A B C D 1 答案： A 试题分析：抽中甲套题的概率 =1试题的总套数 . 考点：概率的计算 填空题 阅读下面材料： 小辉遇到这样一个问题：如图 1，在 Rt ABC中， BAC 90， AB AC，点D， E在边 BC上， DAE 45若 BD 3，
5、 CE 1，求 DE的长 小辉发现，将 ABD绕点 A按逆时针方向旋转 90o，得到 ACF，连接 EF（如图 2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及 DAE 45，可证 FAE DAE，得 FE DE解 FCE，可求得 FE（即 DE）的长 请回答：在图 2中， FCE的度数是 ， DE的长为 参考小辉思考问题的方法，解决问题： 如图 3，在四边形 ABCD 中， AB AD， B D 180 E， F 分别是边 BC，CD上的点，且 EAF BAD猜想线段 BE， EF， FD之间的数量关系并说明理由 答案： ； ； EF=BE FD 试题分析：（ 1）根据旋转图形可得 FCA=
6、 B=45，则 FCE=90，CF=BD=3， CE=1，根据 FCE的勾股定理求出 EF的长度，即 ED=EF；（ 2）将图形旋转可得 DG=BE， AE=AG， DAG BAE， B ADG，根据（ 1）的方法证明 AEF和 AGF全等，得到 EF=FG，根据 FG=DG+FD，说明EF=BE+FD. 试题： 90； 猜想： EF=BE FD； 理由如下：如图，将 ABE绕点 A按逆 时针方向旋转，使 AB与 AD重合，得到 ADG， BE DG， AE AG， DAG BAE， B ADG， B ADC180， B ADG， ADG ADC 180，即点 F， D， G在同一条直线上 E
7、AF BAD， GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF， 即 GAF EAF 在 AEF和 AGF中， AEF AGF， EF FG FG DG FD BE DF， EF BE FD 考点：旋转图形的性质、三角形全等的判定 . 在平面直角坐标系 xOy中，对于任意三点 A， B， C，给出如下定义： 若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且 A， B， C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点 A， B， C的外延矩形点 A， B， C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点 A， B， C的最佳外延矩形例如，图中的矩形， ， 都是点 A， B， C的外延矩形，矩形
8、是点 A， B， C的最佳外延矩形 （ 1）如图 1，已知 A（ 2， 0）， B（ 4， 3）， C（ 0， ） 若 ，则点 A， B， C的最佳外延矩形的面积为 ； 若点 A， B， C的最佳外延矩形的面积为 24，则 的值为 ； （ 2）如图 2，已知点 M（ 6， 0）， N（ 0， 8） P（ ， ）是抛物线上一点，求点 M， N， P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点 P的横坐标 的取值范围； （ 3）如图 3，已知点 D（ 1， 1） E（ ， ）是函数 的图象上一点，矩形 OFEG是点 O， D， E的一个面积最小的最佳外延矩形， H是矩形OFEG的外接圆，请直接写出 H的
9、半径 r的取值范围 答案：（ 1） 18； t=4 或 t= 1；（ 2） 48； ，或 ；（ 3）试题分析：（ 1）根据给出的新定义进行求解；（ 2）过 M点作 轴的垂线与过N点垂直于 轴的直线交于点 Q，则当点 P位于矩形 OMQN内部或边界时，矩形 OMQN是点 M， N， P的最佳外延矩形，且面积最小；根据当 y=0是 y=8时求出 x的值得到取值范围；（ 3）根据最佳外延矩形求出半径的取值范围 . 试题：（ 1） 18； t=4或 t= 1； （ 2）如图，过 M点作 轴的垂线与过 N点垂直于 轴的直线交于点 Q，则当点 P位于矩形 OMQN内部或边界时，矩形 OMQN是点 M， N
10、， P的最佳外延矩形，且面积最小 S 矩形 OMQN OM ON 68 48， 点 M， N， P的最佳外延矩形面积的最小值为 48 抛物线 与 轴交于点 T（ 0， 5） 令 ，有 ， 解得： x= 1（舍去），或 x=5 令 y=8，有 ，解得 x=1，或 x=3 ，或 （ 3） 考点：新定义的理解、二次函数的应用、圆的性质 . 在函数 的图象上有点 P1， P2， P3， ， Pn， Pn+1，它们的横坐标依次为 1， 2， 3， ， n， n+1过点 P1， P2， P3， ， Pn， Pn+1分别作 x轴、 y轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为
11、 ， ， ， ， ，则点 P1的坐标为 ； ； （用含 n的代数式表示） 答案：（ 1,8）； ； 试题分析：当 x=1时， y=8，则 的坐标为（ 1,8），当 x=2时， y=4， x=3时，y= 则 =（ 4 ） 1= . 当 x=n时， y= ；当 x=（ n+1）时， y= ， =（ ） = . 考点：反比例函数的性质 如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网 4米的位置上，则球拍击球的高度 h为 米（已知网高为 0.8米，击球点到网的水平距离为 3米） 答案： .4 试题分析：根据三角形相似可得： 解得： h=1.4 考点：三角形相似的应用 已知反比例函数 的图象
12、在其每一分支上， y 随 x 的增大而减小，则此反比例函数的式可以是 （注：只需写出一个正确答案：即可） 答案： y= （答案：不唯一） 试题分析：对于反比例函数而言，当 k 0时，图象在每一分支上， y随 x的增大而减小；当 k 0时，图象在每一分支上， y随 x的增大而增大 . 考点：反比例函数的性质 若 ，则 答案： 试题分析：根据比的性质可得： . 考点：比的应用 计算题 计算： sin45 tan60 cos30 答案： 试题分析： sin45= ； tan60= ； cos30= . 试题：原式 1 考点：二次根式的计算、锐角三角函数的计算 . 解答题 如图，在边长为 1的小正方形
13、组成的网格中， ABC的三个顶点均在格点上，点 A， B， C的坐标分别为（ 0， 1），（ 1， 1），（ 5， 1） （ 1）直接写出点 B关于原点的对称点 D的坐标； （ 2）将 ABC 绕点 C 顺时针旋转 90o 得到 A1B1C请在网格中画出 A1B1C，并直接写出点 A1和 B1的坐标 答案：（ 1） D（ 1， 1）；（ 2） A1（ 5， 6）， B1（ 3， 5） 试题分析：（ 1）点关于原点对折，则点的横纵坐标都互为相反数；（ 2）首先找出各点关于点 C旋转后的位置，然后顺次连接 . 试题：（ 1） D（ 1， 1）； （ 2）画出 A1B1C，如图： A1（ 5， 6）
14、， B1（ 3， 5） 考点：点关于原点对称、旋转图形的性质 . 在正方形 ABCD中，点 E， F， G分别是边 AD， AB， BC的中点，点 H是直线 BC上一点将线段 FH绕点 F逆时针旋转 90o，得到线段 FK，连接 EK （ 1）如图 1，求证： EF FG，且 EF FG； （ 2）如图 2，若点 H在线段 BC的延长线上，猜想线段 BH， EF， EK 之间 满足的数量关系，并证明你的结论 （ 3）若点 H在线段 BC的反向延长线上，请在图 3中补全图形并直接写出线段BH， EF， EK 之间满足的数量关系 答案：（ 1）见；（ 2） BH EF EK；（ 3） BH EK
15、EF. 试题分析：（ 1）根据题意得带 AEF和 BGF全等，从而得出 AFE= BFG=45，根据三角形内角和求出 EFG=90；（ 2）将线段 FH绕点F逆时针旋转 90o，得到线段 FK， FH FK， HFK 90，根据直角的性质得到 KFE HFG从而说明 EFK和 GFH全等，则 EK=GH，根据 BFG为等腰直角三角形得到 BG= FG，则 BH=BG+GH= FG EK EF EK；（ 3）根据题意画出图形，然后根据（ 2）的方法求出结论 . 试题：（ 1）证明： 正方形 ABCD， E， F， G分别是边 AD， AB， BC 的中点， AE AF FB BG， A B 90
16、， AEF BGF， EF FG， AFE BFG 45， EFG 180 AFE BFG 90，即 EF FG （ 2） BH EF EK； 证明：将线段 FH绕点 F逆时针旋转 90o，得到线段 FK， FH FK， HFK90， KFE EFH 90， EFG 90， HFG EFH 90， KFE HFG， 在 EFK和 GFH中， FK FH， KFE HFG， EF FG， EFK GFH， EK GH BFG是等腰直角三角形， BG FG， BH BG GH FG EK EF EK，即 BH EF EK （ 3）补全图形如图； BH EK EF 考点：三角形全等的证明及性质、等腰
17、直角三角形的性质 . 已知关于 的方程 . （ 1）求证：当 时，方程总有两个不相等的实数根； （ 2）若二次函数 的图象与 x轴交于 A， B两点（ A在 B的左侧），与 轴交于点 C，且 tan OAC 4，求该二次函数的式； （ 3）已知点 P（ m， 0）是 x轴上的一个动点，过点 P作垂直于 x轴的直线交（ 2）中的二次函数图象于点 M，交一次函数 的图象于点 N若只有当 时，点 M位于点 N的下方，求一次函数 的式 答案：（ 1）见；（ 2） ；（ 3） . 试题分析：（ 1）利用一元二次方程根的判别式进行说明；（ 2）首先用含 k的代数表示 A、 B、 C三点的坐标，然后根据 t
18、an OAC=4求出 k的值，从而得出函数式；（ 3）根据图象求出交 点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的式 . 试题：（ 1）证明： ， 又 ， ， ，即 ， 当 时，方程总有两个不相等的实数根 （ 2）解： 与 x轴交于 A、 B两点， 令 ，有 ， 解得 ，或 ，点 A在点 B的左侧， A（ 1， 0）， B（ ， 0） 抛物线与 y轴交于点 C， C（ 0， ） 在 Rt AOC中， tan OAC 4， 解得 抛物线的式为 （ 3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为 1和 5，由此可得交点坐标为（ 1， 0）和（ 5， 4） 将交点坐标分别代入
19、一次函数式 中，得 ， 解得 ， 一次函数的式为 考点：根的判别式、待定系数法求函数式 . 如图，点 D是 ABC的边 AC上的一点， AB2 AC AD求证： ADB ABC 答案：见 试题分析：根据 AB2 AC AD得到 ，然后根据 A= A得到三角形相似 . 试题： AB2 AC AD 又 A A ADB ABC 考点：三角形相似的判定 . 如图， AB为 O的直径，直线 与 O相切于点 C，过点 A作 AD 于点D，交 O于点 E （ 1）求证： CAD BAC； （ 2）若 sin BAC ， BC 6，求 DE的长 答案：（ 1）见 （ 2） DE= 试题分析：（ 1）连接 OC
20、，根据切线性质得到 AD CD，则 CAD= ACO，根据 OC=OA 得到 ACO= OAC，从而说明 CAD= BAC；（ 2）做 BF l，连接 BE，根据直径所对的圆周角等于 90说明四边形 DEBF为矩形，根据垂直的定义说明 BCF= BAC，根据 BAC的正弦值得出 BF的长度，从而得出DE的长度 . 试题：（ 1）证明：连接 OC， CD为 O的切线， OC CD， AD CD， OC AD， CAD ACO又 OC OA， ACO OAC， CAD OAC，即 CAD BAC （ 2）过点 B作 BF 于点 F，连接 BE， AB为 O 的直径， AEB 90， 又 AD 于点
21、 D， AEB ADF BFD 90， 四边形 DEBF是矩形， DE BF AB为 O的直径， ACB 90， ACD BCF 90 ADC 90， ACD CAD 90， BCF CAD CAD BAC， BCF BAC 在 Rt BCF中， BC 6， sin BCF sin BAC ， BF DE BF 考点：切线的性质、平行线的性质、矩形的性质、锐角三角函数的应用 . 根据某网站调查， 2014年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其它共五类根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下 根据以上信息解答下列问题： （ 1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据； （ 2
22、）若北京市约有 2100万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？ （ 3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人 最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，则抽取的两人恰好是甲和乙的概率为 答案：（ 1）见 （ 2） 210万人 （ 3） 试题分析：（ 1）根据消费的人数和百分比求出总人数，然后计算教育的人数；（ 2）环保的人数 =总人数 环保人数所占的比例；（ 3）所有选择的方法总共有6种情况，恰好是甲和乙的只有一种 . 试题：（ 1）补全条形统计图如图； （ 2） 210010% 210万人； （ 3） 考点：根据样本估计总数、概率的计算 . 如图，正比例函数 y
23、=2x与反比例函数 的图象的一个交点为 A（ 2， m） 求 m和 k的值 答案： m=4； k=8. 试题分析：首先将点 A的坐标代入正比例函数式求出 m的值，然后将点 A的坐标代入反比例函数式求出 k的值 . 试题：将点 A（ 2， m）的坐标代入 y=2x中，得 m 22，即 m 4 A（ 2，4） 将点 A（ 2， 4）的坐标代入 ，得 k 24，即 k 8 考点：一次函数与反比例函数的交点问题 . 在燕房线地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌（如图所示）已知立杆 AB的高度是 3米，从路侧点 D处测得路况警示牌顶端 C点和底端 B点的仰角分别是 60和 45，求路况警
24、示牌 宽 BC的值（精确到0.1米）（参考数据： 1.41， 1.73） 答案： .2米 试题分析： 试题：由题意，在 Rt ABD中， DAB 90， ADB 45， AB 3米， AD AB 3米， 又 Rt ACD中， DAC 90， ADC 60， AC AD tan ADC 3tan60 米， BC AC AB 32.2米 即路况警示牌宽 BC的值约为 2.2米 考点：锐角三角函数的应用 . 如图，在半径为 6cm的 O中，圆心 O到弦 AB的距离 OE为 3cm （ 1）求弦 AB的 长；（ 2）求劣弧 的长 答案：（ 1） AB= ；（ 2） . 试题分析：（ 1）根据勾股定理求
25、出 AE的长度，根据垂径定理可得 AB=2AE；（ 2）根据锐角三角函数求出 AOE的度数，然后得出 AOB的度数，根据弧长的计算公式求出弧长 . 试题：（ 1） AB为 O的弦， OE AB于 E， AE BE AB 在 Rt AOE中， OA 6， OE 3， AE ， AB 2AE （ 2）由（ 1）知，在 Rt AOE中， AEO 90， OA 6， OE 3， cos AOE ， AOE 60， AOB 2 AOE 120， 的长 考点：垂径定理、弧长计算公式、三角函数的应用 . 如图，四边形 ABCD的对角线 AC， BD交于点 F，点 E是 BD上一点，且 BAC BDC DAE
26、 （ 1）求证： ABE ACD； （ 2）若 BC 2， AD 6， DE 3，求 AC的长 答案：（ 1）见 （ 2） AC=4 试题分析：（ 1）根据 BAC DAE得到 BAE CAD，根据 BAC BDC， BFA CFD得到 ABE ACD，从而说明 ABE和 ACD相似；（ 2）根据 ABE ACD得到 ，再根据 BAC DAE得到 ABC和 AED相似，根据相似比求出 AC的值 . 试题：（ 1） BAC DAE， BAC CAE DAE CAE，即 BAE CAD 又 BAC BDC， BFA CFD， 180 BAC BFA 180 BDC CFD，即 ABE ACD ABE ACD （ 2） ABE ACD， 又 BAC DAE， ABC AED， ， AC 4 考点：三角形相似的判定 .
