1、2015届江苏省无锡市滨湖中学九年级上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 是关于 的一元二次方程 的一个解，则 的值为（ ） . A B C D 答案： C 试题分析：直接将 代入原方程，得 ，可解得 . 考点：方程解的定义 . （本题满分 6 分）设 、 是方程 的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值 （ 1） ； （ 2） 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）知， ，.将要求的代数式适当变形，化成含有 、 的式子，整体代入求解 . 试题：由韦达定理知， ， . （ 1）原式 ； （ 2）原式 考点：韦达定理 . 如图，在直角坐标系
2、中放置一个边长为 的正方形 ，将正方形沿 轴的正方向无滑动的在 轴上滚动，当点 第三次回到 轴上时，点运动的路线与 轴围成的图形的面积和为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：当点 第一次回到 轴上时，所经过的路径如图所示，其中 为半径为 、圆心角为 的弧， 为半径为 、圆心角为 的弧， 为半径为 、圆心角为 的弧，三段弧与 轴所围面积为，故当点 第三次回到 轴上时，所求面积为 . 考点： 1.图形运动的处理； 2.图形面积的计算 . 如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过点 、 ， 的半径为 2( 为坐标原点 )，点 是直线 上的一动点，过点 作 的一条切线 ， 为切点，则切线长 的
3、最小值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：联结 、 ，由切线的定义可知 ，故.要求 的最小值，只需求 的最小值，而根据、 坐标，可知 取最小值时有 ，此时 ，代入即可求得 . 考点：圆切线的性质 . 定义：如果一元二次方程 满足 ，那么我们称这个方程为 “凤凰 ”方程 .已知方程 是 “凤凰 ”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据题目所给信息，有 ，且 ，将代入 ，整理可得 ，所以 .本题也可这样处理， “凤凰 ”方程必有一根为 ，则根据韦达定理，有 ，直接得到 . 考点： 1.新信息的处理能力； 2.一元二次方程根的判别
4、式 . 如图，在 中，若 ， ， ， 、 分别是 、的中点，则以 为直径的圆与 的位置关系为（ ） A相交 B相切 C相离 D无法确定 答案： A 试题分析：由题意知， 为 的中位线，根据三角形中位线定理，所以以 为直径的圆的半径为 .又根据三边关系，故 到 的距离为 ，则 和 的距离为 ，小于半径，故所求位置关系为相交 . 考点： 1.三角形中位线定理； 2.直线与圆的位置关系 . 如图， 的半径为 5，弦 的长为 8， 是弦 上的动点，则线段长的最小值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 答案： B 试题分析：点和直线上任意一点的距离中，垂线段最短，故当 时，线段 最短，根据垂径定理，
5、联结 ， ， ，故 . 考点： 1.点到直线的距离的性质； 2.垂径定理 . 如图，已知 是 直径， ，则 等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由 可知 ，而圆周角 和 所对的弧相同，故 . 考点：同弧所对圆心角和圆周角的大小关系 . 三角形的外心是（ ） A各内角的平分线的交点 B各边中线的交点 C各边垂线的交点 D各边垂直平分线的交点 答案： D 试题分析：三角形外心指的是外接圆的圆心，圆心到三个顶点距离相等，又根据到线段两个端点距离相等的点在垂直平分线上，故圆心为三边垂直平分线的交点 . 考点：三角形外心的定义 . 关于 的方程 是一元二次方程，则 的值为（ ） A B C
6、 D无解 答案： B 试题分析：若方程为一元二次方程，则 要满足 ，解得 . 考点：一元二次方程的定义 . 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） . 答案： B 试题分析：中心对称指的是图形旋转 后仍能和原来图形重合，显然选项 B的图案不能 .本题也可这样考虑，如果图形是被平均分成偶数份的，则一定是中心对称图形，反之不是 . 考点：图形的对称性（轴对称、中心对称和旋转对称） . 填空题 （本题满分 8分）如图所示， ， ， ，点 是以为直径的半圆 上一动点， 交直线 于点 ，设 （ 1）当 时，求弧 的长； （ 2）当 时，求线段 的长； （ 3）若要使点 在线段 的延长线上，则 的取值范围
7、是 _ _.（直接写出答案：） 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） 试题分析：（ 1）要求弧长，应放在扇形中求，图中没有现成的扇形，故需联结，根据 可求得；（ 2）图中有 3个直角，易证得和 ，故有 ，根据对应边成比例即可求得 的长度；（ 3）可考虑极限情况：当 与 重合时，因为， ， ，故 ，所以 ，而若要求 在 的延长线上，必有 ，所以 . 试题：（ 1）联结 在 中， 又 （ 2） 为 的直径 ， ， 又 又 又 又 又 （ 3） 考点： 1.弧长的计算； 2.相似三角形的判定及性质； 3.极限思想 . （本题满分 6分）如图，在由边长为 1的小正方形组成的网格图中有 ，建立平面直角
8、坐标系后，点 的坐标是 （ 1）以 为位似中心，作 ，相似比为 ，且保证在第三象限； （ 2）点 的坐标为（ ， ）； （ 3）若线段 上有一点 ，它的坐标为 ，那么它的对应点 的坐标为（ ， ） 答案：（ 1）如图所示， 即为所画； （ 2） ； （ 3） 试题分析：位似图形的性质为：任意一对对应点与位似中心在同一直线上，且到位似中心的距离之比为相似比 .（ 1）分别联结 、 、 ，并延长 、 至原来线段的一半，即得对应点 、 、 ，顺次联结即得所画图形；（ 2）根据所给 的坐标，结合图形可得对应点 的坐标；（ 3） 和也位似，故 . 试题：（ 1）如上图所示， 即为所画；（ 2） ；（ 3
9、） 考点： 1.位似图形的定义及性质； 2.相似比的含义 . 如图，等腰直角三角形 顶点 在 轴上， ，反比例函数 的图象分别与 ， 交于点 、连结 ，当 时，点 的坐标为 答案： 试题分析：如图，过点 作 于 ，故 也为等腰直角三角形 .由题意可设 ， ，故 ， ， ，可求得直线式为 ，因为 ，故 ，可得 .再将代入 式，得 ，解得 ，故 ，故. 考点： 1.三角形相似的性质； 2.反比例函数的图像； 3.待定系数法求直线式 . 若一个圆锥的侧面积是 ，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是_ 答案： 试题分析：将圆锥侧面展开为一扇形，圆锥的母线为扇形的半径，圆锥的底面圆周长为扇形的弧长
10、.因为展开后为半圆，设半圆半径为 ，则弧长为 ，所以侧面积为 ，解得 ，所以弧长为 ，即底面圆周长为 ，所以底面圆半径为 . 考点：圆锥侧面展开图的性质 . 如图，在 中，点 是 边的中点，且 / ，则_ 答案： 试题分析：根据三角形中位线逆定理可知， 为 的中点， 是 的中位线，故 ，且 ，故 ，所以. 考点： 1.三角形中位线逆定理； 2.相似三角形的性质 . 如图， 、 是 的切线，切点分别为 、 ，若 ，则_. 答案： 试题分析：分别联结 、 ，则 ，而 、 是圆的切线，故 ，又根据四边形内角和为 ，所以. 考点： 1.同弧所对圆心角和圆周角的大小关系； 2.圆的切线的定义； 3.四边
11、形的内角和 . 关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 答案： 试题分析：因为方程有两个不等实根，故 ，所以 ，解得 . 考点：一元二次方程根的判别式 . 在比例尺为 的地图上，测得 、 两地间的图上距离为 厘米，则其实际距离为 米 答案： 试题分析：根据比例尺的含义，设实际距离为 ，有 ，解得 .注意单位 . 考点：比例尺的含义 . 若 ，则 答案： 试题分析：不妨设 ，则 ， ，代入 . 考点：代数式化简求值 . 将一元二次方程 化成一般形式为 答案： 试题分析：直接去括号，得 ，再将常数项移往左边，化成一般式即可 . 考点：一元二次方程的一般形式 . 解答题 （本题满分 1
12、0分）将 绕点 按逆时针方向旋转 度，并使各边长变为原来的 倍，得 ，如图 ，我们将这种变换记为 （ 1）如图 ，对 作变换 得 ，则 ；直线与直线 所夹的锐角为 度； （ 2）如图 ， 中， ， ，对 作变换 得，使点 、 、 在同一直线上，且四边形 为矩形，求 和的值； （ 3）如图 ， 中， ， ， ，对 作变换得 ，使点 、 、 在同一直线上，且四边形 为平行四边形，求 和 的值 答案：（ 1） ， ；（ 2） ， ；（ 3） ， 试题分析：（ 1）根据题意有 ，且相似比为 ，故面积比为相似比的平方，而所求角度可以放在一个三角形中，利用变幻时对应角相等即可解得；（ 2）根据矩形的性质易
13、得 ，即为 ，再根据 和已求的 可得 ，则 也可求得；（ 3）在求 时，根据等边对等角以及平行四边形性质易得，在求 时关键是要判断出 ，将平行四边形一组对别分别用含 的代数式表示，再根据平行四边形对边相等构造方程，解出后验根，取合适的 值 . 试题：（ 1）由题意得 ，且相似比为 记 与 交于 ，与 交于 ， （ 2） 四边形 是矩形 ，即、 、 在同一直线上， ，即（ 3） 四边形 是平行四边形 ， ，即， 解得 考点： 1.相似三角形的性质； 2.含 的直角三角形的性质； 3.平面几何和方程的综合应用 . （本题满分 7 分）已知：如图， 内接于 ，点 在 的延长线上， （ 1）求证： 是
14、 的切线；（ 2）若 ， ，求 的长 答案：（ 1）证明 即可，过程略；（ 2） 试题分析：（ 1）根据圆切线的定义，需证明 ，故需先联结 ，再证明 ，根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、 、，可得 是等边三角形，故可证得；（ 2）由垂径定理知 ，结合（ 1）中的结论和含 直角三角形的三边关系可求得 长 . 试题：（ 1）联结 ， 是等边三角形 是 的切线 （ 2） 是等边三角形 在 中， ， 考点： 1.圆切线的判定及性质； 2.垂径定理； 3.含 的直角三角形的性质 . （本题满分 7分）如图，点 、 分别为 、 边上两点，且 ， ， （ 1）试说明： ；（ 2）若 ，求 的长 答案：（
15、1）可通过证明两边对应成比例且夹角相等，过程略；（ 2） 试题分析：（ 1）由图和题意知，要证明的相似三角形有一个公共角，此外只有角的邻边，故可考虑相似三角形判定定理 2，两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；（ 2）根据（ 1）的结论并利用相似三角形对应边成比例这一性质求解 . 试题：（ 1） ， ， ， ， （ 2） 考点：相似三角形的判定及性质 . 本题满分 7 分 )果农李明种植的草莓计划以每千克 元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销李明为了加快销售，减少损失，价格连续两次下调后，以每千克 元的单价对外批发销售 （ 1）求李明平均每次下调的百分率； （ 2
16、）小刘准备到李明处购买 吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：方案一：在 原下调后价格的基础上，再次以相同的百分率降价；方案二：不打折，每吨优惠现金 元试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由 答案：（ 1） ；（ 2）方案一所需费用 元，方案二所需费用元， ，故选择方案一 试题分析：（ 1）根据下降率的定义，下降后的数量下降前的数量 ，构造方程解出即可，注意对实根检验，要符合实际意义；（ 2）方案选择类问题，需要将每种方案所需费用都计算，通过比较再下结论 .注意题中关键字眼 “再给予两种优惠 ”，故是在 元的单价上再优惠 . 试题：（ 1）设平均每次下调的百分率为 ，由题意
17、得 解得， 降价的百分率不可能大于 1 不符合题意 答：平均每次下调的百分率是 . （ 2）小刘选择方案一购买更优惠 .理由如下： 方案一所需费用： （元） 方案二所需费用：（元） 小刘选择方案一购买更优惠 考点： 1. 下降率的定义； 2.一元二次方程的应用； 3.方案选择类问题的处理 . （本题满分 7分）已知关于 的方程 （ 1）试说明：无论 取什么实数值，方程总有实数根； （ 2）若等腰 的一边长 为 1，另两边长 、 恰好是这个方程的两个实数根，求 的周长 答案：（ 1）证明 ，过程略；（ 2） 试题分析：（ 1）证明一元二次方程总有实根，基本思路是证明 ，并利用不等式的性质即可；（
18、 2）因题中并未指出哪条边是腰，故需分类讨论，若，则可根据 求出 进而求出周长，若 或 ，则可将代入方程求出 进而求出周长，其中也要注意所求三边长是否能构成三角形 . 试题：（ 1） 无论 取何值，方程总有实数根； （ 2） 当 时， 此时方程化为 解得 ， 能组成三角形 的周长 ； 当 或 时，把 代入方程，得 ，解得 此时方程化为 ，解得 ， 不能组成三角形，舍 综上， 的周长为 . 考点： 1.一元二次方程根的判别式； 2.分类讨论； 3.三角形三边关系 . 解下列方程（每小题 4分，共 16分） . （ 1） ； （ 2） (配方法 ) ； （ 3） ； （ 4） (公式法 ) 答案：
19、（ 1） ；（ 2） ；（ 3）； （ 4） 试题分析：除题目特殊要求外，若一元二次方程化为一般式后，常数项为 0或容易利用十字相乘法进行分解，则用因式分解法解方程较简单；若常数项系数为 1且一次项系数为偶数，可配成 时，采用配方法较简便；而公式法对所有一元二次方程均试用 . 试题：（ 1）化为 原方程的解为 . （ 2）化为 原方程的解为 . （ 3）化为 原方程的解为 . （ 4）化为 原方程的解为 . 考点：选取合适的方法解一元二次方程 . （本题满分 10分）如图，在 中， ， ， 点、 都是斜边 上的动点，点 从 向 运动（不与点 重合），点 从向 运动， 点 、 分别是点 、 以
20、、 为对称中心的对称点， 于 ，交 于点 当点 到达顶点 时， 、 同时停止运动设 的长为 ， 的面积为 （ 1）求证： ； （ 2）求 关于 的函数式； （ 3）当 为何值时， 为等腰三角形 答案：（ 1）证明有两组角对应相等，过程略；（ 2）； （ 3） 或 或 或 试题分析：（ 1）由点对称可得 ，再加上 和 ，即可利用两组角对应相等得到两个三角形相似；（ 2）要求 的面积，需求得和 ，根据相似三角形的相似比，可得 ，而要求 ，需分类讨论，临界点为 ，所以分成 和 分别求解，最后写成分段函数即可；（ 3）同（ 2），仍需要分成 和 分别讨论，而在每一种情况下还需要对等腰三角形哪两边相等进行分类讨论 . 试题：（ 1） 、 关于点 成中心对称， ， （ 2） 如图， 当 时， ，由相似得 此时 如图， 当 时， ，由相似得此时 关于 的函数式为 . （ 3） 如图， 当 时， ）若 ， 由相似得 ，又 ， ； ） ，显然 、 不可能； 如图， 当 时， ）若 ， 由相似得 ，又 ， ； ）若 ，此时点 、 分别与 、 重合， ； ）若 ，则 ， ， ，综上，当 或 或 或 时， 是等腰三角形 . 考点： 1.相似三角形的判定及性质； 2.点对称的性质； 3. 分类讨论 .
