1、2015届上海市金山中学高三上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 用 表示正整数 的最大奇因数（如 、 ），记数列 的前 项的和为 ，则 值为（ ） A B C D 答案： B 已知函数 ，若存在 ，使 成立，则以下对实数 的描述正确的是（ ） A B C D 答案： A “ 是奇函数 ”是 “ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： D 下列四类函数中，具有性质 “对任意的 ，函数 满足”的是（ ） A幂函数 B对数函数 C指数函数 D余弦函数 答案： C 填空题 计算： 。 答案： . 若集合 中的元素个数为 4，则实数
2、 的取值范围是_ 。 答案： . 如图，在单位圆中，用三角形的重心公式 研究内接正三角形 （点 在 轴上），有结论： 。有位同学，把正三角形 按逆时针方向旋转 角，这时，可以得到一个怎样的结论呢？答： 。 答案： . 设函数 ，则函数 的零点个数是 。 答案： . 定义： 表示 两个数中的最大值， 表示 两个数中的最小值。给出下列 4个命题： 且 ； 且 ； 设函数 和 的公共定义域为 ，若 ， 恒成立，则； 若函数 的图像关于直线 对称，则 的值为 。 其中真命题是 。（写出所有真命题的序号） 答案： . 设函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围为 。 答案： . 某车间分批生产某种产品，
3、每批的生产准备费用为 40000元。若每批生产 件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为 1元。为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品的件数为 。 答案： . 函数 的 最大值为 。 答案： . 函数 的定义域为 。 答案： . 方程 的解集是 。 答案： . 设 ， ，若 是 的充分条件，则 的取值范围是 。 答案： . 设全集 ，集合 ，则 。 答案： . 设 ，则 。 答案： . 设 是 上的奇函数， ，当 时， ，则 。 答案： . 解答题 （本题满分 12分）设函数 。 （ 1）当 时，若 的最小值为 ，求正数 的值； （ 2）当 时，作出函数
4、的图像并写出它的单调增区间（不必证明）。 答案：（ 1） ；（ 2） 和 . 试题分析：（ 1）利用基本不等式进行求解；（ 2）画出函数图像，根据图像直接写出函数的单调递增区间 . 试题：（ 1） ，由 得， ； （ 2）图像如图所示， 由图像，得：函数 的单调增区间是 和 . 考点： 1.基本不等式 ； 2.函数的图像； 3.函数的单调性 . （本题满分 12分）在 中，角 所对的边分别为 ，若。 （ 1）求 的大小； （ 2）设 ，求 的值。 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）由余弦定理直接求解；（ 2）由正弦定理，将边边关系转化为角角关系，再利用内角和定理保留 B，利用两角差
5、的正弦公式进行求解 . 试题：（ 1）由 ，得 ； （ 2）由正弦定理，得： ，即 ，解得. 考点： 1.余弦定理； 2.正弦定理； 3.两角差的直线公式 . （本题满分 16分）对于数列 ，如果存在一个正整数 ，使得对任意的 （ ）都有 成立，那么数列 称作周期为 的周期数列， 的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期。 （ 1）已知数列 的通项公式是 ，判断数列 是否是周期数列？并说明理由； （ 2）设数列 满足 （ ）， ， ，且数列 是周期为的周期数列，求常数 的值； （ 3）设数列 满足 ， （其中 是常数），（ ），求数列 的前 项和 。 答案：（ 1）是周期数列；（ 2） ；（
6、 3） 试题分析：（ 1）根 据余弦函数的周期性，可得 ,再用周期的定义进行证明；（ 2）由 求出 ，利用 求 值，再利用周期性定义进行验证；（ 3）借助（ 1）结论，分组进行求和 . 试题：（ 1）因为 ， 所以数列 是周期数列 . （ 2） ， ， ， ， 解方程 得， 或 ， 经检验知， . （ 3）因为 ， 所以 . 考点： 1.数列的周期性； 2.新定义型题目 . （本题满分 16分）设函数 。 (1）解不等式 ； (2）设函数 ，若函数 为偶函数，求实数的值； (3）当 时，是否存在实数 （其中 ），使得不等式恒成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由。 答案：（ 1）
7、：（ 2） ；（ 3）不存在 试题分析：（ 1）利用对数的运算法则进行化简求解；（ 2）利用偶函数的定义进行求值；（ 3）利用对数的运算法则去掉绝对值符号，转化为二次不等式在恒成立问题 . 试题：（ 1） ， ，则 ，解得 ，即 的解集为 ； （ 2） ，即 ， 整理，得 ， ； （ 3） ， 等价于 恒成立， 解 ，得 ， 综上，不存在 符合题意 . 考点： 1.解对数不等式； 2.函数的奇偶性； 3.不等式恒成立问题 . （本题满分 18分）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， 。 （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设数列 的前 项和为 ，且 （其中 是非零的实数），若 ， ，成等差数列
8、，问 ， ， 能成等比数列吗？说明理由； （ 3）设数列 的通项公式 ，是否存在正整数 、 （ ），使得 ， ， 成等比数列？若存在，求出所有 、 的值；若不存在，说明理由。 答案：（ 1） ；（ 2） ， ， 是等比数列；（ 3）所有 、 的值分别为 试题分析：（ 1）设出数列的首项与公差，整理成关于公差、首项的方程组，进行求解；（ 2）讨论 与 两种情况，求和，利用等差中项与等比中项进行证明；（ 3）利用等比中项得到关系式，利用放缩法进行求不等式 . 试题：（ 1）由题意，得 ，即 ，解得 ，则 ； （ 2） ， 当 时， ， ，不成等差数列，不符题意； 当 时，由 ， ，得 ， 又 ， ， 所以 ， ， 是等比数列。 （ 3） ， ， ， 解不等式 ，得 ， 所以，所有 、 的值分别为 . 考点： 1.等差数列； 2.等差中项、等比中项；放缩法 .
