1、2015届湖北省荆门市高三元月调研考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 集合 ，则 A B C D 答案： B 试题分析：由题意可知 ， 所以，故选 B. 考点：集合运算、解不等式 . 设双曲线 的右焦点为 ，过点 作与 轴垂直的直线 交两渐近线于 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 ，设 为坐标原点，若 ， ，则双曲线的离心率为 A B C D 答案： A 试题分析：直线 的方程为 ，与双曲线渐近线 的交点为，与双曲线在第一象限的交点为 ，所以 ，由 得 ，解之得 ，所以 ， ，故选 A. 考点：双曲线几何性质、向量运算 . 对于一个有限数列 ， 的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为
2、，其中 若一个99项的数列（ 的蔡查罗和为 1000，那么 100项数列的蔡查罗和为 A 991 B 992 C 993 D 999 答案： D 试题分析：由 “蔡查罗和 ”定义可知， 的 “蔡查罗和 ”为，所以 ，则 100项的数列的 “蔡查罗和 ”为 ，故选 D. 考点：新定义问题，数列求和 . 在直角坐标平面上， , 且 与 在直线 l的方向向量上的投影的长度相等，则直线 l的斜率为 A B C 或 D 答案： C 试题分析：设直线 的方向向量为 ，则 ，解得 或，故选 C. 考点：向量运算、投影定义 . 点 是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数 z
3、 x ay取得最小值的最优解有无数个，则 的最大值是 A B C D 答案： B 试题分析：目标函数 可变形为 ，当 时， ，此时当 取得最小值的最优解只有点 A，不符合题意；当 时， ，此时当 取得最小值时，只有 即 时最优解有无穷多个 .所以取得最大值的最优解为点 C，此时最大值为 . 考点：线性规划 . 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为 A B C D 答案： A 试题分析：由三视图可知，该几何体是一个圆锥的一半，其表面积为，故选 A. 考点：三视图、旋转体表面积 . 设 , 对于使 成立的所有常数 M中，我们把 M的最小值 1叫做 的上确界 .若 ，且
4、，则 的上确界为 A B C D 答案： D 试题分析：因为 ，所以，即的上确界为 ，故选 D. 考点：新定义问题、基本不等式 . 对于函数 若 ，则函数 在区间 内 A一定有零点 B一定没有零点 C可能有两个零点 D至多有一个零点 答案： C 试题分析：由二次函数性质及零点存在定理可知 C正确 . 考点：二次函数性质、零点存在定理 . 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象 A向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度 C向右平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度 答案： B 试题分析：将函数 向左平移 个单位长度时，式为，故选 B. 考点：三角函数图象变换 . 下列命题中，真命题是 A
5、 ，使得 B C D 是 的充分不必要条件 答案： D 试题分析：则指数函数性质可知， 所以 A错；当 时，所以 B错；当 时， ，所以 C错；由不等式性质可知 ，但 时， 不符合 ，所以D正确 . 考点：逻辑联结词与命题 . 填空题 已知：对于给定的 及映射 ，若集合 ，且中所有元素在 B中对应的元素之和大于或等于 ，则称 为集合 的好子集 对于 ，映射 ，那么集合 的所有好子集的个数为 ； 对于给定的 ， ，映射 的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 6 f（ x） 1 1 1 1 1 y z 若当且仅当 中含有 和至少 中 3 个整数或者 中至少含有 中 5 个整数时，为集合 的好子集
6、，则所有满足条件的数组 为 答案： 5; 试题分析： 因为集合 的好子集 对应的集合 中元素之和 ，又，所以集合 中含有 3个元素或 4个元素，集合 含 3个元素的子集共有 4个，含 4个元素的子集共有 1个，所以符合条件的集合 好子集共有 5个； 当 中含有 和至少 中 3个整数时， , 或 ，当中至少含有 中 5个整数时整数时， ，所以 ， . 考点：新定义问题、映射概念、性质和应用 . 在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比如果 的力能使弹簧伸长 ，则把弹簧从平衡位置拉长 （在弹性限度内）时所做的功为 （单位：焦耳） . 答案： 试题分析：因为拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长
7、度成正比，设比例系数为 ，则 ，当弹簧从平衡位置拉长 时，所做的功为. 考点：正比例函数及应用 . 若函数 在其定义域内的一个子区间 内存在极值，则实数 的取值范围 答案： 试题分析： ,所以函数 的极值点为，又函数 在其定义域内的一个子区间 内存在极值，所以，解之得 . 考点：导数与函数单调性、极值 . 由直线 上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为 答案： 试题分析：圆心到直线 的距离为 ，所以切线长的最小值为 . 考点：直线与圆的位置关系 . 已知函数 ，若 ，则 答案： 试题分析：当 时，由 得 ，不符合题意；当 时，由得 （舍去）或 . 考点：分段函数 . 解答题 （本小题满分 12
8、分） 已知向量 ，设函数 （ ）求 在区间 上的零点； （ ）在 中，角 的对边分别是 ，且满足 ，求的取值范围 答案：（ ） 和 ;（ ） . 试题分析：先利用向量运算性质求函数 式并化简得 （ ）由 解得 ，可求得函数 在区间 上零点； （ ）由余弦定理和基本不等式可得 ，求出解 的取值范围，从而可求 的值域。 试题：因为 ，函数 所以 2分 4分 （ ）由 ，得 ，或 ，或 6分 又 ， 或 所以 在区间 上的零点是 和 8分 （ ）在 中， ，所以 由 且 ，得 从而 10分 ， 12分 考点：向量运算、三角变换、正余弦定理、三角函数图象性质、基本不等式。 （本小题满分 12分）已知等
9、比数列 满足： ，且 是的等差中项 . （ ）求数列 的通项公式； （ ）若数列 an是单调递增的，令 ， ，求使成立的正整数 的最小值 答案：（ ） 或 ；（ ） 5。 试题分析：（ ）用基本量法，即用 表示已知条件，列出方程，解之即可； （ ）先根据数列单调性确定数列为 ，从而求出数列 的通项公式，用错位相减法求 ，列出不等式可求 的最小值 . 试题：（ ）设等比数列 的首项为 ，公比为 依题意，有 ，代入 ，可得 ， 2分 ， 解之得 或 4分 当 时， ； 当 时， 数列 的通项公式为 或 6分 （ ） 等比数列 an是单调递增的， ， ， 8分 由 ，得 10分 即 ，即 易知：当
10、时， ，当 时， 故使 成立的正整数 的最小值为 5. 12分 考点：等比数列定义及性质、错位相减法、不等式恒成立问题 . （本小题满分 12分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，底面 ， , 点 是 的中点， ，且交 于点 （ ）求证 : 平面 ； （ ）求证：平面 平面 ； （ ）求二面角 的余弦值 答案：（ ）（ ）详见；（ ） 试题分析：法一：用几何关系证明和求值 .（ ）连结 交 于 ，证即可；（ ）先证 平面 ，再证 平面 即可；（ ）由三垂线定理先作出二面角 的平面角 ，根据数据关系求之即可 . 法二：建立空间直角坐标系，用空间向量证明求解 . 试题：方法一：（ ）证明：连结
11、交 于 ，连结 是正方形， 是 的中点 是 的中点， 是 的中位线 2分 又 平面 ， 平面 ， 平面 4分 （ ）证明：由条件有 平面 ，且 平面 又 是 的中点， 平面 平面 6分 由已知 平面 又 平面 平面 平面 8分 （ ）取 中点 ，则 作 于 ，连结 底面 ， 底面 为 在平面 内的射影 , 为二面角 的平面角 10分 设 ，在 中， ， 二面角 的余弦的大小为 12分 方法二：（ ）如图，以 A为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，由,可设 ， 则 ， ， ,即有 6分 又 且 平面 又 平面 平面 平面 8分 （ ） 底面 ， 是平面 的一个法向量， 设平面 的法向量为 , ,
12、则 即 , 令 ,则 10分 , 由作图可知二面角 为锐二面角 二面角 的余弦值为 12分 考点：空间直线与平面平行、垂直的性质与判定 . （本小题满分 12分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是 （单位 :万元）现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 （单位 :万元）随投资收益 （单位 :万元）的增加而增加，且奖金不超过 万元，同时奖金不超过投资收益的 20% （ ）若建立函数模型 制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的条件； （ ）现有两个奖励函数模型： ； 试分析这两个函数模型是否符合公司要求 答案：（ ） 当 时， 是增函数； 当 时，
13、恒成立； 当 时， 恒成立 ; （ ）模型 符合公司要求 试题分析：（ ）根据题意函数应是增函数，且定义域为 ，； （ ）对两个函数模型逐个按（ 1）中条件进行检验即可 . 试题：（ ）设奖励函数模型为 ，则该函数模型满足的条件是： 当 时， 是增函数； 当 时， 恒成立； 当 时， 恒成立 5分 （ ）（ 1）对于函数模型 ，它在 上是增函数，满足条件 ； 但当 时， ，因此，当 时， ，不满足条件 ； 故该函数模型不符合公司要求 7分 （ 2）对于函数模型 ，它在 上是增函数满足条件 时 ，即 恒成立满足条件 9分 设 ，则 ，又 ，所以 在 上是递减的，因此 ，即 恒成立满足条件 故该函
14、数模型符合公司要求 综上所述，函数模型 符合公司要求 12分 考点：函数建模、导数与函数单调性、定义域、值域 . （本小题满分 13分）如图，已知圆 E: ，点 ， P是圆 E上任意一点线段 PF的垂直平分线和半径 PE相交于 Q （ ）求动点 Q的轨迹 的方程； （ ）设直线 与（ ）中轨迹 相交于 两点 , 直线 的斜率分别为（其中 ） 的面积为 , 以 为直径的圆的面积分别为若 恰好构成等比数列 , 求 的取值范围 答案：（ ） ;（ ） . 试题分析：（ ）由垂直平分线性质可知， ，所以有，由椭圆定义可得点 的轨迹为椭圆，可求其轨迹方程； （ ） 设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，由
15、 及韦达定理可求得 ，再利用 可求出 的取值范围，求出 ，即可求 的取值范围。 试题：（ ）连结 QF，根据题意， |QP| |QF|，则 |QE| |QF| |QE| |QP| 4， 故动点 Q的轨迹 是以 E， F为焦点，长轴长为 4的椭圆 2分 设其方程为 ，可知 ， ，则 ， 3分 所以点 Q的轨迹 的方程为 4分 （ ）设直线 的方程为 ， ， 由 可得 ， 由韦达定理有： 且 6分 构成等比数列， = ，即：由韦达定理代入化简得： ， 8分 此时 ，即 又由 三点不共线得 从而 故 10分 则 为定值 12分 当且仅当 时等号成立 综上： 的取值范围是 13分 考点：椭圆定义及性质
16、，直线与圆锥曲线关系，基本不等式 . （本小题满分 14分） 设函数 ， （ ）讨论函数 的单调性； （ ）若存在 ，使得 成立，求满足条件的最大整数 ； （ ）如果对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围 答案：（ ） 当 时，函数 在 上单调递增 , 当 时，函数 的单调递增区间为 ，函数 的单调递减区间为 ； （ ） 18；（ ） 。 试题分析：（ ）对函数 求导，根据 的不同取值，讨论 的符号，即可函数 的单调性； （ ） 存在 ，使得 等价于在区间 上，对函数 求导，研究其单调性与最值即可； （ ）任意的 ，都有 成立等价于在区间 上，函数，由导数与函数单调性与最值关系，分别求函数
17、 的最小值与函数 的最大值，解不等式即可 . 试题：（ ） , 定义域（ 0， ） 1分 当 时， ，函数 在 上单调递增 , 2分 当 时， ，函数 的单调递增区间为 . ，函数 的单调递减区间为 . 4分 （ ）存在 ，使得 成立 , 等价于 . 5分 考察 0 3 + 0 - 0 + 递增 递减 递增 15 由上表可知 ， ， 所以满足条件的最大整数 9分 （ ）当 时，由（ ）可知， 在 上是减函数， 在 上增函数，而 的最大值是 1. 10分 要满足条件，则只需当 时， 恒成立 , 等价于 恒成立 , 记 ， ， . 11分 当 时 , 即函数 在区间 上递增， 当 时 , 即函数 在区间 上递减， 取到极大值也是最大值 13分 所以 . 14分 另解 :设 ， 由于 ， 所以 在 上递减，又 当 时， 时 ， 即函数 在区间 上递增，在区间 上递减， 13分 所以 ，所以 . 14分 考点：导数与函数单调性、极值、最值，不等式恒成立问题的化归与转化 .
