1、2015届甘肃省天水市秦安县第二中学高三第五次检测文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若 ，则 =（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由 ，解得 x=1或 x=-1，所以 A=-1,1 ，由 ，解得 x=-1或 x=3, 所以集合 B=-1,3，所以 AB=-1，故选 D 考点：本题考查集合的交集运算 点评：解决本题的关键是解一元二次方程，求出集合 A、 B 已知函数 是定义在 上的增函数，函数 的图像关于点对称， 若任意的 、 ，不等式 恒成立，则当时， 的 取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由函数 y=f（ x-1）的图象关于点（ 1， 0）对称，则函数
2、y=f（ x）的图象关于点（ 0， 0） 对称，则函数 f（ x）为奇函数，所以 等价于 ，又因为函数 f（ x）在 R上为增函数 所以 ，即 又 x3，所以其表示以 A（ 3,4）为圆心， 2为 半径的右半圆面，则 的几何意义为点（ x,y）到原点（ 0,0）距离 d的平方，所以 所以 d的最大值为 5+2=7，点（ 3,2）到原点的距离最小，则 d的最小值为 ， 的取值范围为（ 13,49故选 D 考点：本题考查函数的奇偶性，单调性，点与圆的位置关系 点评：解决本题的关键是根据函数的奇偶性把不等式进行化简，注意数形结合的思想 已知双曲线 ，过其右焦点 作圆 的两条切线，切点记作 ， , 双
3、曲线的右顶点为 , ，其双曲线的离心率为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由 CED=150， CEO=75， OC=OE， OCE=75， ECF=15， ECF+ CFE= CEO=75， CFE=60，在 Rt COF中， OC=3=a，OF=c ， 离心率 ，故选 D 考点：本题考查双曲线的几何性质 点评：解决本题的关键是利用双曲线的几何性质，对称性 如图， 为 的外心， 为钝角， 是边 的中点，则 的值为 （ ） A 4 B 5 C 6 D 7 答案： B 试题分析：取 AB的中点 P， AC的中点 Q，则= ，故选 B 考点：本题考查平面向量的数量积的定义和运算，向量平
4、行四边形法则 点评：解决本题的关键是掌握向量平行四边形法则，熟练应用向量数量积的定义，利用数形结合的数学思想 定义域为 的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且则不等式 的解集为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：构造函数 ，则，由题意得 恒成立，所以函数 在 R 上单调递减，又 ， 所以 ，即 g（ x） 0，所以不等式的解集为 ，故选 B 考点：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性解不等式 点评：解决本题的关键是根据 构造函数，并正确确定该函数的单调性 双曲线 的离心率为 ，抛物线 与双曲线 C的渐近线交于 两点， （ O为坐标原点）的面积为 ，则抛物线的方程为（ ）
5、A B C D 答案： C 试题分析：由双曲线的离心率为 ，可得渐近线方程为 y=x，设 A（ x,x）（ x0），则 B（ x,-x）， 所以 ，所以 A（ 2,2），代入抛物线可得， p=1，所以抛物线方程为 ，故选 C 考点：本题考查双曲线的几何性质，抛物线的标准方程 点评：解决本题的关键是根据双曲线的几何性质，得出渐近线方程，求出 A,B坐标 在等差数列 中， ，且 ，则 的最大值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题意得 ， 所以 ， 又 ，所以 ，当且仅当 时，上式等号成立， 所以 的最大值为 25，故选 C 考点：本题考查等差数列的性质，基本不等式的应用 点评：解决
6、本题的关键是掌握等差数列的性质，注意基本不等式的应用的条件 执行如图的程序框图，输出的 T=（ ） A 30 B 25 C 20 D 12 答案： A 试题分析：由题意可知，第一次循环 S=5， n=2， T=2，不满足 TS；第二次循环， S=10， n=4， T=2+4=6，不满足 TS；第三次循环， S=15， n=6， T=12，不满足 TS；第四次循环， S=20， n=8， T=20，不满足 TS；第五次循环， S=25， n=10， T=30，满足 TS；结束，此时T=30，故选 A 考点：本题考查本题考查循环结构 点评：解决本题的关键是解决本题的关键是根据题意，依次求出每次循环
7、的结果，弄清循环的次数 如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为 1，则该几何体的体积为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由三视图复原几何体，几何体是一个一条侧棱与底面垂直的四棱锥，且这条侧棱长为 1， 底面是边长为 1的正方形，故其体积为 ，故选 B 考点：本题考查三视图，求棱锥的体积 点评：解决本题的关键是把三视图还原为原几何体 已知 中， ，且 的面积为 ，则 （ ） A B C 或 D 或 答案： D 试题分析：由 ，可得， 所以 BAC=30或 150，故选 D 考点：本题考查三角形面积公式，特殊角三角函数值 点评：解决本题的关键是掌握三角形面积公式 设
8、条件 p： ；条件 q： ，那么 p是 q的 （ ） A必要而不充分条件 B充分而不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：由 ，解得 a0或 a-1，所以 p能得出 q，但 q得不出 p， 所以 p是 q的充分而不必要条件，故选 B 考点：本题考查充分条件、必要条件、充要条件 点评：解决本题的关键是解一元二次不等式，求出 q，熟练掌握充分条件、必要条件、充要条件的定义 已知复数 ，则（ ） A B 的实部为 1 C 的虚部为 -1 D 的共轭复数为1+i 答案： C 试题分析：由 =-1-i，则 ，故 A错； z的实部为 -1， 故 B错； z的虚部为 -1，
9、故 C正确，故选 C 考点：本题考查复数的运算，复数的定义，共轭复数的定义，模的运算 点评：解决本题的关键是掌握复数的定义，共轭复数的定义，模的运算 填空题 下列四个命题： 若一个圆锥的底面半径缩小到原来的 ，其体积缩小到原来的 ； 若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等； 直线 与圆 相切； “ ”是 “ ”的充分不必要条件 其中真命题的序号是： _ _ 答案： 试题分析：对于 一个圆锥的底面半径缩小到原来的 ，则圆锥的底面积就缩小到原来的 ，由于高不变，根据圆锥的体积公式，可得圆锥的体积就缩小到原来的 ，故 正确； 对于 ，若两组数据的中位数相等，根据平均数的计算公式，它们的平均数不
10、一定相等，故 错； 对于 ，圆心到直线的距离为 ,所以直线是圆的切线，故 正确； 对于 ，由 ，但得不出 ；反过来由， 所以应该是必要不充分条件，故 错； 所以真命题的有 考点：本题考查命题的真假判断，圆锥的体积公式，直线与圆的位置关系，对数函数、指数函数的图象和性质 点评：此题考查的知识点较多，但都是基础知识，熟练掌握公式及定理是解题的关键 已知向量 ，若函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：由 ，则 ，因为函数 f（ x）在区间 上是增函数， 所以 在区间 上恒成立，即 tcosx+10恒成立，即 在上恒成立，所以 ，所以 t-1 考点：本题考查向量数量积的运算
11、、利用导数研究单调性以及恒成立问题 点评：解决本题的关键是把恒成立的问题分离参数转化为求函数的最值问题，掌握利用导数研究单调性 第十二届全运会于 2013年 8月 31日在沈阳举行，运动会期间从自 A大学的 2名志愿者和自 B大学的 4名志愿者中随机抽取 2人到体操比赛场馆服务，至少有一名 A大学志愿者的概率是 _ 答案： 试题分析：记 2名来自 A大学的志愿者为 A,B， 4名来自 B大学的志愿者为a,b,c,d，从这 6名志愿者中随机抽取 2人的基本事件有：（ A,B） ,（ A,a） ,（ A,b） ,（ A,c） ,（ A,d） ,（ B,a） ,（ B,b） ,（ B,c） ,（ B
12、,d） ,（ a,b） ,（ a,c） ,（ a,d） ,（ b,c） ,（ b,d） ,（ c,d）共 15种， 其中至少有一名 A大学志愿者的事件有 9种，故所求概率为 考点：本题考查古典概型的概率 点评：解决本题的关键是求出事件 “至少有一名 A大学志愿者 ”的包含的基本事件数 已知向量 ，向量 ，则 在 方向上的投影为 _ _。 答案： 试题分析：由题意得 ，所以 在 方向上的投影为 考点：本题考查平面向量数量积的几何意义，向量数量积的坐标运算 点评：解决本题的关键是掌握平面向量数量积的几何意义，向量数量积的坐标运算 解答题 （本题满分 12分）在 设内角 A,B,C的对边分别为 ，向
13、量,向量 ，若 （ 1）求内角 A的大小； （ 2）若 且 求 的面积 答案：（ 1） ；（ 2） 16 试题分析：（ 1）由题意得， ， ， ， ，即 ； （ 2）由余弦定理得 ， 即 ，解得 ， c=8 考点：本题考查了向量的运算，余弦定理的运用，两角和与差的三角函数 点评：解决本题的关键是熟练掌握有关正余弦定理及其变形的运用外，还要灵活运用向量和三角函数的性质求值 （本小题满分 12分）有 7位歌手（ 1至 7号）参加一场歌唱比赛，由 500名大众评委现场投票决定歌手名次根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下： 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 （
14、1）为了调查评委对 7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从 B组抽取了 6人，请将其余各组抽取的人数填入下表 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 （ 2）在（ 1）中，若 A， B两组被抽到的评委中各有 2人支持 1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1人，求这 2人都支持 1号歌手的概率 答案： B 试题分析：（ 1）由题设知，分层抽样的抽取比例为 6%，所以各组抽到的人数如下表： 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 3 6 9 9 3 （ 2）记从 A组抽到的 3个评委为
15、 其中 支持 1号歌手；从 B组抽到的 6个评委为 ，其中 支持 1号歌手从 和 中各抽取 1人的所有结果如图 由以上树状图知所有结果共 18种，其中 2人都支持 1号歌手的有共 4种，故所求概率 p 考点：本题考查古典概型概率，分层抽样 点评：解决本题的关键是利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等 （本题满分 12 分）如图， DC 平面 ABC， EB DC， AC=BC=EB=2DC=2， ACB=120， P,Q分别为 AE,AB的中点 （ 1）证明： PQ 平面 ACD； （ 2）求 AD与平面 ABE所成角的正弦值 答案：（ 1）见；（ 2） 试题分析：（ 1）证明：因为 P， Q分
16、别为 AE， AB的中点， 所以 PQ EB又 DC EB，因此 PQ DC， 又 PQ 平面 ACD， 从而 PQ 平面 ACD （ 2）如图， 连接 CQ， DP，因为 Q为 AB的中点，且 AC BC，所以 CQ AB 因为 DC 平面 ABC， EB DC， 所以 EB 平面 ABC，因此 CQ EB 来 故 CQ 平面 ABE 由（ 1）有 PQ DC，又 PQ EB DC， 所以四边形 CQPD为平行四边形，故 DP CQ 因此 DP 平面 ABE， DAP为 AD和平面 ABE所 成的角， 在 Rt DPA中， AD ， DP 1， sin DAP ， 因此 AD和平面 ABE所
17、成角的正弦值为 考点：本题考查集合的交集，并集的运算，集合与集合的关系 点评：解决本题的关键是解一元二次不等式，求出集合 A （本小题满分 12分）已知 A（ -2， 0）， B（ 2， 0）为椭圆 C 的左、右顶点，F为其右焦点， P是椭圆 C 上异于 A， B的动点， APB面积的最大值为 2 （ 1）求椭圆 C的标准方程； （ 2）若直线 AP的倾斜角为 ，且与椭圆在点 B处的切线交于点 D，试判断以 BD为直径的圆与直线 PF的位置关系，并加以证明 答案：（ 1） ；（ 2）相切；见 试题分析：（ 1）由题意可设椭圆 的方程为 ， 由题意知 解得 2分 故椭圆 的方程为 4分 （ 2）
18、以 为直径的圆与直线 相切 证明如下：由题意可知， ， ，直线 的方程为 则点 坐标为 ， 中点 的坐标为 ，圆的半径 6分 由 得 设点 P的坐标为 ，则 8分 因为点 F坐标为（ 1,0），直线 PF的斜率为 ，直线 PF的方程为 4x-3y-4=0， 点 E到直线 PF的距离为 10分 所以 d=r，故以 BD为直径的圆与 PF相 切 考点：本题考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系 点评：解决本题的关键是掌握判断直线与圆位置关系的方法，求出点 P的坐标 （本小题满分 12分）已知函数 f （ x） =ax ex（ a R）， g（ x） = （ 1）求函数 f （ x）
19、的单调区间； （ 2） x0 （ 0， +），使不等式 f （ x） g（ x） ex成立，求 a 的取值范围 答案：（ 1）当 a0时， f（ x）在 R上单调递减；当 a0时， f（ x）的单调递增区间为 ， f（ x）的单调递减区间为 ；（ 2） a 试题分析：（ 1） 2分 当 a0时， 恒成立， f（ x）在 R上单调递减； 4分 当 a0时，令 ，解得 x=lna， 由 得 f（ x）的单调递增区间为 ； 由 得 f（ x）的单调递减区间为 6分 （ 2）因为 ，使不等式 ，则 ，即 ， 设 ，则问题转化为 ， 8分 由 ，令 ，则 ， 当 x在区间 内变化时， 变化情况如下表：
20、x + 0 - h（ x） 由上表可得，当 x= 时，函数 h（ x）有最大值，且最大值为 ， 所以 a 12分 考点：利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值 点评：此题考查了利用导数讨论函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想，考查了存在性问题，转化为求函数的最值问题 （本题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 轴非负半轴重合直线的参数方程为： （ 为参数），曲线 的极坐标方程为： （ 1）写出曲线 的直角坐标方程，并指明 是什么曲线； （ 2）设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值 答案：（ 1） ，它是以（ 2,0）为圆心，半
21、径为 2 的圆（ 2）试题分析：（ 1） ， 由 ，得 所以曲线 C的直角坐标方程为 2分 它是以（ 2,0）为圆心，半径为 2的圆 4分 （ 2）把 代入 ，整理得 6分 设其两根分别为 则 ， 8分 所以 10分 考点：本题考查参数方程化为普通方程，把极坐标方程化为直角坐标方程 点评：解决本题的关键是掌握参数的几何意义 （本小题满分 10分）选修 4 5：不等式选讲 设关于 x的不等式 lg（ |x 3| |x 7|） a （ 1）当 a 1时，解这个不等式； （ 2）当 a为何值时，这个不等式的解集为 R 答案：（ 1） x|x 3或 x 7（ 2）当且仅当 a 1时，对任何 x R都成
22、立 试题分析：（ 1）当 a 1时，原不等式变为 |x 3| |x 7| 10， 当 x7时 x+x-4 10得： x 7 当 -3 x 7时， x+4-x 10不成立 当 x-3时 -x+4-x 10得： x -3 所以不等式的解集为 x|x 3或 x 7 （ 4分） （ 2） |x 3| |x 7|x 3（ x 7） | 10对任意 x R都成立， lg（ |x 3| |x 7|） lg10 1对任何 x R都成立，即 lg（ |x 3| |x 7|） a，当且仅当a 1时，对任何 x R都成立 （ 12分） 考点：本题考查 绝对值不等式，恒成立的问题 点评：解决本题的关键是（ 1）解绝对值不等式利用零点分段的方法；（ 2）解决恒成立问题，可将问题转化为研究函数 f（ x）的最值
