1、2015届江苏省张家港市二中九年级上学期第三次阶段性测试数学试卷与答案（带解析） 选择题 抛物线 y 2（ x-2） 2 3的顶点坐标是 （ ） A（ -2， 3） B（ 2， 3） C（ -1， 3） D（ 1， 3） 答案： B 试题分析：对于二次函数的顶点式 y=a（ x-m） 2+k的顶点坐标为（ m， k），所以本题中的顶点坐标为（ 2,3） 考点：二次函数顶点式的顶点坐标 已知两点（ -2， y1）（ 3， y2）均在抛物线 y ax2 bx c 上，点 C（ x0， y0）是该抛物线的顶点，若 y13 B x0 C -20，那么它的图象大致是（ ） 答案： D 试题分析：根据 a
2、 0则说明二次函数图象的开口向下， c 0则说明二次函数交于 y轴的正半轴 . 考点：二次函数的图象与 a、 c之间的关系 如图， AC是电杆 AB的一根拉线，测得 BC 6米， ACB 52，则拉线AC的长为（ ） A 米 B 米 C 6 cos52米 D 米答案： B 试题分析：根据 cos ACB= ，根据 BC的长度求出 AC的长度 . 考点：三角函数的应用 如图， ABC中， DE BC， DE=1， AD=2， DB=3，则 BC的长是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据 DE BC可以得到 ADE ABC，所以 ，即，求出 BC的值 . 考点：相似三角形的应用 用配
3、方法解方程 x2-2x-1 0时，配方后得的方程为（ ） A（ x 1） 2 0 B（ x-1） 2 0 C（ x 1） 2 2 D（ x-1） 2 2 答案： D 试题分析：配方的方法首先将二次项系数化为 1，然后将常数项移到等式的右边，最后在等式的左右两边同时加上一次项系数一半的平方 .x2-2x=1 x2-2x+1=2 （ x-1） 2=2 考点：一元二次方程的配方问题 在 1:5000的地图上， A、 B两地的图上距离为 3cm，则 A、 B两地间实际距离为（ ） A 15m B 150m C 1500m D 15000m 答案： B 试题分析：实际距离 =图示距离 比例尺， 3（ ）
4、 =35000=15000（ cm）=150（ m） 考点：比例尺的应用 填空题 已知二次函数 y ax2 bx c与一次函数 y x的图象如图所示，给出以上结论： b2-4ac0； a b c 1； 当 1x3时， ax2（ b-1） x c0； 二次函数y ax2（ b-1） x c的图象经过点（ 1， 0）和（ 3， 0）其中正确的有： （把你认为正确结论的序号都填上） 答案： 试题分析： 、图象与 x轴没有交点，则说明 0； 、图象经过点（ 1,1），则说明 a+b+c=1； 、当 1 x 3 时， x a +bx+c，即 a （ b-1）x c0； 、两个函数的交点为（ 1,1）和（
5、 3,3），则说明函数 y=a （ b-1）x c的图象经过点（ 1,0）和（ 3,0） . 考点：二次函数图象的性质 直线 y=ax-6与抛物线 y= +4x+3只有一个交点，则 a的值为 答案：或 -2 试题分析：首先将直线和抛物线列成一个方程，即 ax-6= +4x+3，然后根据只有一个交点，则说明这个方程只有一个实数根，即 =0求出 a的值 . 考点：根的判别式、直线与抛物线交点问题 如图，正方形 OABC与正方形 ODEF是位似图形，点 O为位似中心，相似比为 1： ，点 A的坐标为（ 0， 1），则点 E的坐标是 答案：（ ） 试题分析：根据相似比以及 OA的长度，可以得出正方形
6、ODEF的边长为 ，从而可以得到点 E的坐标 . 考点：位似的应用 设 是方程 =0的两个实数根，则 的值为 _. 答案： 试题分析： a、 b是方程的解，则根据根与系数的关系可以得到 a+b=-1；将 a代入方程可得： =2014， 则原式 = +a+b=2014-1=2013. 考点：一元二次方程根与系数的关系、整体思想求代数式的值 抛物线 y=（ k+1） x2+k2-9开口向下，且经过原点，则 k ； 答案： -3 试题分析：根据图象经过原点，则我们可以将（ 0,0）代入求出 k的值，然后根据开口向下，则说明（ k+1） 0，从而得出 k的值 . 考点：二次函数的图象 如图，在 ABC
7、 中， A 45， B 30， CD AB，垂足为 D， CD 1，则 AB的长为 答案： +1 试题分析：首先根据等腰直角三角形的性质求出 AD=CD=1，然后根据 tanB的值求出 BD的长度，最后根据 AB=AD+BD进行求解 . 考点：锐角三角函数的应用 若 x1 -1是关于 x的方程 x2 mx-5 0的一个根，则方程的另一个根 x2 答案： 试题分析：首先将 x=-1代入方程求出 m的值，然后再去解关于 x的一元二次方程 . 考点：一元二次方程的求解 如果 ，则 = . 答案： 试题分析：本题我们可以设 =k，则 x=2k， y=3k，然后代入所求的代数式进行计算 . 考点：比的计
8、算 计算题 计算：（本题满分 8分） （ 1） sin30- cos45+ tan260 （ 2） 答案：（ 1） -1 （ 2） 6 试题分析：本题需要熟记锐角三角函数的值，然后正确地进行计算 . 试题：（ 1）原式 = =1 （ 2）原式 =4+2- -2 +2 =6 考点：特殊角的锐角三角函数值 （本题满分 8分）如图， D为 O上一点，点 C在直径 BA的延长线上，且 CDA CBD （ 1）求证： CD是 O的切线； （ 2）若 O的半径为 1， CBD 30，则图中阴影部分的面积； （ 3）过点 B作 O的切线交 CD的延长线于点 E若 BC 12， tan CDA ，求 BE的长
9、 答案：（ 1）见 （ 2） - （ 3） 5 试题分析：（ 1）连接 OD、 OE，根据 ADO+ DBA=90以及 CDA= CBD得出 ODC=90；（ 2）阴影部分的面积等于 OCD的面积减去扇形 ODA的面积进行计算；（ 3）将 CDA转化成 OEB，然后利用勾股定理进行求解 . 试题：（ 1）证明：连 OD， OE， AB为直径， ADB=90，即 ADO+ BDO=90， 又 CDA= CBD，而 CBD= BDO， BDO= CDA， CDA+ ADO=90，即 CDO=90， CD是 O的切线； 、 OD=1， CBD=30 DOC=60 C=30 OC=2， CD= OCD
10、的面积 = 扇形 ODA的面积 = 阴影部分的面积 = - ； （ 3） EB为 O的切线， ED=EB， OE DB， ABD+ DBE=90， OEB+ DBE=90， ABD= OEB， CDA= OEB而 tan CDA= ， tan OEB= = ， Rt CDO Rt CBE， ， CD=12=8， 在 Rt CBE中，设 BE=x， （ x+8） 2=x2+122，解得 x=5即 BE的长为 5 考点：切线的判定、扇形的面积计算、锐角三角函数的求值 解答题 （本题满分 8分）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树 DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上 A
11、点处测得树顶端D的仰角为 30，朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C处，测得树顶端 D的仰角为 60已知 A点的高度 AB为 3米，台阶 AC的坡度为 1： ，且 B、 C、E三点在同一条直线上请根据以上条件求出树 DE的高度（测角器的高度忽略不计） 答案：米 试题分析：首先过点 A作 AF DE，设 DE=x，根据 Rt CDE求出 CE的长度，然后根据 Rt ABC求出 AF的长度，最后根据 AF=BE=BC+CE求出 x的值 . 试题：如图，过点 A作 AF DE于 F，则四边形 ABEF为矩形， AF=BE， EF=AB=2，设 DE=x， 在 Rt CDE中， . 在 Rt ABC中，
12、 ， AB=2， BC=2 . 在 Rt AFD中， DF=DE-EF=x-2， . 因为 AF=BE=BC+CE，所以 ，解得 x=6. 答：树 DE的高度为 6米 . 考点：锐角三角函数的应用 （本题满分 8分）某商场将每件进价为 160元的某种商品原来按每件 200元出售，一天可售出 100 件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低 2 元，其销量可增加 10件 （ 1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （ 2）设后来该商品每件降价 x元，商场一天可获利润 y元 若商场经 营该商品一天要获利润 4320元，则每件商品应降价多少元？ 求出 y与 x之间的函数关系式，当 x取何值
13、时，商场获利润最大？并求最大利润值 答案：（ 1） 4000元 （ 2） 4或 16 x=10时， 4500元 试题分析：（ 1）利润 =单价利润 数量；（ 2）根据题意列出关于 x的一元二次方程进行求解；利用二次函数的性质求出 x和 y的值 . 试题：（ 1） 100（ 200-160） =4000（元） 、 、根据题意得：（ 200-160-x）（ 100+5x） =4320 化简得： -20x+64=0 解得： =4 =16 经检验 =4， =16都是原方程的解，且符合题意 . 答：商店一天要获利 4320元，则商品应降价 4元或 16元 . 、根据题意得： y= （ 200-160-x
14、）（ 100+5x） =-5 +4500 当 x=10时，商场获得最大利润为 4500元 . 考点：一元二次方程和二次函数的应用 （本题满分 6分）如图， O的半径 OD 弦 AB于点 C，连结 AO并延长交 O于点 E，连结 EC已知 AB 8， CD 2 （ 1）求 O的半径； （ 2）求 sin BCE的值 答案：（ 1） 5 （ 2） 试题分析：（ 1）设半径为 r，根据垂径定理得到 AC=4， OC=r-2， OA=r，根据Rt AOC的勾股定理求出 r的值；（ 2）连接 EB，根据直径所对的圆周角为直角，得出 BCE为直角三角形，根据勾股定理求出 BE和 CE的长度，然后进行计算
15、. 试题：（ 1）解： O的半径 OD 弦 AB于点 C， AB=8， AC= AB=4， 设 O的半径为 r，则 OC=r-2，在 Rt AOC中， AC=4， OC=r-2， OA2=AC2+OC2，即 r2=42+（ r-2） 2，解得 r=5 、连接 BE， AE是 O的直径， ABE=90，在 Rt ABE中， AE=10，AB=8， BE= = =6，在 Rt BCE中， BE=6， BC=4， CE= = =2 故 sin BCE= 考点：垂径定理、锐角三角函数的求值 （本题满分 8分）已知抛物线 y= +kx+b经过点 P（ 2， -3）， Q（ -1,0） （ 1）求抛物线的
16、式 （ 2）设抛物线顶点为 ，与 轴交点为 求 的值 （ 3）设抛物线与 轴的另一个交点为 ，求四边形 的面积 答案：（ 1） y= -2x-3 （ 2） （ 3） 7.5 试题分析：（ 1）将 P、 Q两点代入求出 k和 b的值；（ 2）过 N作 NH y轴，求出 NH和 ON的长 度就可以计算；（ 3）将四边形的面积转化成 OAN和 ONM两个面积进行计算 . 试题：（ 1）解方程组 ，得 ， y= -2x-3 （ 2）作 NH y轴于 H顶点 N（ 1， -4）， NH=1， ON= ， sin AON= （ 3）在 y= -2x-3中，令 x=0得 y=-3， A（ 0， -3），令
17、y=0得 x=-1或 3， M（ 3， 0） +6=7.5 考点：待定系数法求二次函数式、三角函数的求值、面积求法 （本题满分 6分）已知关于 x的一元二次方程 x2-（ 2k 1） x k2 k 0 （ 1）求证：方程有两个不相等的实数根； （ 2）若周长为 16的等腰 ABC的两边 AB， AC的长是方程的两个实数根，求k的值 答案：（ 1）见 （ 2） k=5或 试题分析：（ 1）根据根的判别式进行说明；（ 2）求出方程的两个解，然后根据等腰三角形的性质进行分情况讨论计算 . 试题：（ 1）证明： =（ 2k+1） 2-4（ k2+k） =1 0， 方程有两个不相等的实数根； （ 2）
18、原方程化为（ x-k）（ x-k-1） =0， =k， =k+1， 不妨设 AB=k， AC=k+1， BC=16-AB-AC=15-2k，当 AB=BC，即 k=15-2k，解得 k=5；当 AC=BC，即 k+1=15-2k，即得 k= ， k的值为 5或 考点：根的判别式、利用等腰三角形的性质解方程 （本题满分 6分）如图 ABC中， DE BC， ， M为 BC上一点，AM交 DE于 N （ 1）若 AE=4，求 EC的长； （ 2）若 M为 BC的中点， =36，求 答案：（ 1） 2 （ 2） 8 试题分析：首先根据 DE BC得到 ADE和 ABC相似，求出 AC的长度，然后根据
19、 CE=AC-AE求出长度；根据 ABC的面积求出 ABM的面积，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的 平方求出 ADN的面积 . 试题：（ 1） DE BC ADE ABC AE=4 AC=6 EC=AC-AE=6-4=2 、 ABC的面积为 36 点 M为 BC的中点 ABM的面积为： 362=18 ADN和 ABM的相似比为 =8 考点： 相似三角形的判定与性质 解方程：（本题满分 8分） （ 1） =0 （ 2） . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：第一个利用配方法来进行求解；第二个将（ 2x+1）看作一个整体，然后利用十字相乘法进行计算 . 试题：（ 1） -4x=1 -4x+
20、4=5 =5 x-2= 解得： （ 2）（ 2x+1+4）（ 2x+1-1） =0 2x（ 2x+5） =0 解得： 考点：一元二次方程的解法 （ 10 分）如图，在 Rt ABC 中， C 90， AB 10cm， AC： BC 4： 3，点 P从点 A出发沿 AB方向向点 B运动，速度为 1cm/s，同时点 Q从点 B出发沿 BCA 方向向点 A运动，速度为 2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动 （ 1）求 AC、 BC的长； （ 2）设点 P的运动时间为 x（秒）， PBQ的面积为 y（ cm2），当 PBQ存在时，求 y与 x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范
21、围； （ 3）当点 Q在 CA上运动，使 PQ AB时，以点 B、 P、 Q为定点的三角形与 ABC是否相似，请说明理由； （ 4）当 x=5秒时，在直线 PQ上是否存在一点 M，使 BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由。 答案：（ 1） AC=8cm BC=6cm （ 2） y= （ 3）见 （ 4） 16 试题分析：（ 1）设 AC=4x， BC=3x，根据勾股定理进行求解；（ 2）分两种情况来进行讨论，分别求出函数式；（ 3）利用三角形相似的条件来进行计算；（ 4）利 用轴对称的性质来进行计算 . 试题：（ 1）设 AC=4x， BC=3x，在 Rt ABC 中，
22、 AC2+BC2=AB2，即：（ 4x）2+（ 3x） 2=102， 解得： x=2， AC=8cm， BC=6cm； （ 2） 、 QHB ACB， ， QH= x， y= BP QH= （ 10-x） x=- x2+8x（ 0 x3）， 当点 Q 在边 CA上运动时，过点 Q 作 QH AB于 H， AP=x， BP=10-x，AQ=14-2x， AQH ABC， ，即： ，解得：QH= （ 14-x）， y= PB QH= （ 10-x） （ 14-x） = x2- x+42（ 3 x 7）； y与 x的函数关系式为： y= ； （ 3） AP=x， AQ=14-x， PQ AB， APQ ACB， ， 即： ，解得： x= ， PQ= ， PB=10-x= ， ， 当点 Q在 CA上运动，使 PQ AB时，以点 B、 P、 Q为定点的三角形与 ABC不相似； （ 4）存在，理由： AQ=14-2x=14-10=4， AP=x=5， AC=8， AB=10， PQ是 ABC的中位线， PQ AB， PQ AC， PQ是 AC的垂直平 分线， PC=AP=5， 当点 M与 P重合时， BCM的周长最小， BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16， BCM的周长最小值为 16。 考点：三角形相似的应用、勾股定理、二次函数的实际应用
