1、2015届江苏省无锡市前洲中学九年级上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 sin30的值是 （ ） A 1 B C D 答案： D 试题分析： sin30= 故选： D 考点：特殊角的三角函数值 已知等腰梯形 ABCD中， AD BC， B 45， AD 动点 P在折线 BA-AD-DC上移动，若存在 BPC 120，且这样的 P点恰好出现 3次，则梯形 ABCD的面积是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： BPC 120，且这样的 P点恰好出现 3次， P在 BA、 AD、DC上各出现一次， ABCD是等腰梯形， ABCD是轴对称图形，对称轴为 AD的中垂线 EF，则P的
2、可能位置如图，连结 BP、 CP，则 BPC=120， BPF= CPF=60，设PF= ，则 BF=CF= ， BC= ， 过 A作 AM BC于 M，过 D作 DN BC于 N，则， AM=DN=PF= ， ABC 45， BM=NC= ， MN=AD= ， ，解得： ， AM=1， BC= ， 梯形 ABCD的面积是 = ，故选：A 考点：等腰梯形的性质 如图，点 D为 ABC的边 AB上的一点，连结 CD，过点 B作 BE/AC交CD的延长线于点 E，且 ACD= DBC， ， AB=10，则 AC的长为（ ） A B C 6 D 答案： B 试题分析： BE AC， ADC BED，
3、 S ADC： S BED= ， ， AB=10， AD= AB= 10=4， ACD= DBC，而 DAC= CAB， ADC ACB， ，即 ， AC= 考点：相似三角形的判定与性质 如图，在平地 MN上用一块 10m长的木板 AB搭了一个斜坡，两根支柱AC=7.5m， AD=6m，其中 AC AB， AD MN，则斜坡 AB的坡度是（ ） A 3： 5 B 4： 5 C 3： 4 D 4： 3 答案： C 试题分析： AB=10， AD=6， BD= ， 斜坡 AB的坡度 =AD： DB=6： 8=3： 4故选： C 考点：解直角三角形的应用 -坡度坡角问题 如图， AB是 O的直径，点
4、 D在 AB的延长线上，过点 D作 O的切线，切点为 C，若 A=25，则 D = （ ） A 60 B 65 C 50 D 40 答案： D 试题分析：如图所示，连接 BC， AB 是直径， BCA=90， 又 A=25， CBA=9025=65， DC是切线， BCD= A=25， D= CBA BCD=6525=40 故选 C 考点： 1切线的性质； 2圆周角定理 已知 O的半径是 6cm，点 O到同一平面内直线 L的距离为 5cm，则直线L与 O的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D无法判断 答案： A 试题分析：设圆的半径为 r，点 O到直线 l的距离为 d， d=5， r=
5、6， d r， 直线 l与圆相交故选： A 考点：直线与圆的位置关系 下列说法正确的是（ ） A经过三点可以作一个圆 B三角形的外心到这个三角形的三边距离相等 C等弧所对的圆心角相等 D相等的圆心角所对的弧相等 答案： C 试题分析： A经过不共线的三点可以作一个圆，所以 A选项错误； B三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，所以 B选项错误； C等弧所对的圆心角相等，所以 C选项正确； D在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以 D选项错误 故选 C 考点： 1确定圆的条件； 2圆心角、弧、弦的关系； 3三角形的外接圆与外心 下列一元二次方程中，无实数根的方程是（ ） A B
6、C D 答案： A 试题分析： A = ，此方程没有实数根； B = ，此方程有实数根； C = ，此方程有实数根； D = ，此方程有实数根； 故选： A 考点：根的判别式 已知 、 是一元二次方程 的两个根，则 等于（ ） A B C 1 D 4 答案： C 试题分析：根据韦达定理得 =1故选： C 考点：根与系数的关系 填空题 如图， ABC中， AC=10， BAC 30，点 P是射线 AB上的一个动点， CPM ，点 Q是射线 PM上的一个动点则 CQ长度的最小值是 答案： 试题分析：当 CQ PQ， CQ最短， CPM ， sin CPM= ， CQ= PC， 而当 CP AN时，
7、 CP最短， AC=10， BAC 30， CP=5， CQ=3 考点： 1锐角三角函数的定义； 2含 30度角的直角三角形 如图，在宽为 20米、长为 32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪要使草坪的面积为 540米，则道路的宽为 米 . 答案： 试题分析：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为 x米， 根据题意得： ，整理得： ，解得：（舍去）， ， 故答案：为： 2 考点：一元二次方程的应用 如图，将 ABC放在每个小正方形的边长为 1的网格中，点 A、 B、 C均落在格点上，用一个圆面去覆盖 ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的面积是 答案： . 试
8、题分析：如图所示：点 O为 ABC外接圆圆心，则 AO为外接圆半径，故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是： ， 面积为：故答案：为： 考点： 1三角形的外接圆与外心； 2网 格型 如图，将三角板的直角顶点放在 O的圆心上，两条直角边分别交 O于 A、B两点，点 P在优弧 AB上，且与点 A、 B不重合，连结 PA、 PB.则 APB的大小为 答案： 试题分析： AOB与 APB为 所对的圆心角和圆周角， APB= AOB= 90=45故答案：为： 45 考点：圆周角定理 用计算器计算： （精确到 0.01） 答案： .43 试题分析：原式 =30.616-1.4140.43 考点：计算器
9、 -三角函数 网民小李的 QQ群里共有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有 90条消息，设小李的 QQ群里共有好友 个，可列方程为： . 答案： . 试题分析：设有 x个好友，依题意， 故答案：为： . 考点：一元二次方程的应用 在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为 1.5m的测杆的影长为 2.5m，那么影长为 30 m的旗杆的高是 m. 答案： 试题分析：设旗杆高为 x，根据同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的得 1.5： 2.5=x： 30， x=18， 旗杆高为 18m故答案：为： 18 考点：相似三角形的应用 在 1： 500000的无锡市地
10、图上，新建的地铁线估计长 4.5cm，那么等地铁造好后实际长约为 千米 答案： .5 试题分析：设地铁造好后实际长约 x厘米，则： 4.5： x=1： 500000，解得x=2250000，即 x=22.5千米， 故答案：是： 22.5 考点：比例线段 若两个相似多边形的面积之比为 1： 4，则它们的周长之比为（ ） A 1： 4 B 1： 2 C 2： 1 D 4： 1 答案： B 试题分析： 两个相似多边形面积比为 1： 4， 周长之比为 =1： 2故选： B 考点：相似多 边形的性质 解答题 （本题满分 10分） 如图 1，在 Rt ABC中， C=90， AC=6cm， BC=8cm，
11、点 D是 BC上一定点 .动点 P从 C出发，以 2cm/s的速度沿 CAB 方向运动，动点 Q从 D出发，以 1cm/s的速度沿 DB 方向运动 .点 P出发 5 s后，点 Q才开始出发，且当一个点达到 B时，另一个点随之停止图 2是当 时 BPQ的面积 S（ cm2）与点 P的运动时间 t（ s）的函数图象 . （ 1） CD = ， ； （ 2）当点 P在边 AB上时， t为何值时，使得 BPQ与 ABC为相似？ （ 3）运动过程中，求出当 BPQ是以 BP为腰的等腰三角形时 t的值 . 答案：（ 1） CD=2， a= ；（ 2） 4.25秒或 6秒；（ 3） 5秒或 秒 试题分析：（
12、 1）根据函数图象得到当点 P运动到点 A时， BPQ 的面积为 18，利用三角形面积公式可计算出 BD=6，则 CD=2，当 t=5s时， AP=4，点 Q在 D点，作 PH BC于 H，在 Rt ABC中根据勾股定理计算出 AB=10，再证明 BPH BAC，利用相似比计算出 PH，然后根据三角形面积公式得到 S PBQ，即 a=S PBQ； （ 2）分类讨论：当 3 t5，点 Q在 D点， BP=162t，若 PD BC得到 BPQ BAC，利用相似比得 t值；当 5 t8， DQ=t5， BQ=11t，BP=162t，当 PQB=90时， BPQ BAC，利用相似比得 t值；当 BPQ
13、=90时， BPQ BAC，利用相似比得 t值； （ 3） PB=162t， BQ=11t，分类讨论：当 BP=BQ，则 162t=11t，解方程得 t=5；当 PB=PQ，作 PM BC于 M，根据等腰三角形的性质得则 BM= BQ=，再证明 BPM BAC，利用相似比得 t值 试题：（ 1）当点 P运动到点 A时， BPQ的面积为 18， 6BD=18，解得BD=6， CD=BCBD=2， 当 t=5s时， AP=256=4，点 Q在 D点，点 P在 AB上如图 ，作 PH BC于H， 在 Rt ABC中， AC=6， BC=8， AB=10， PH AC， BPH BAC， PH： AC
14、=BP： BA，即 PH： 6=(10-4)： 10，解得 PH= ， S PBQ= ，即 ；故答案：为： 2， ； （ 2）点 P在边 AB上， 当 3 t5，点 Q在 D点， BP=162t， 若 PD BC， BPQ BAC， BP： BA=BD： BC， 即 ，解得； 当 5 t8， DQ=t5，则 BQ=82（ t5） =11t， BP=162t， 当 PQB=90时， BPQ BAC，如图 ， BPQ BAC， BP： BA=BQ： BC，即 ，解得 ，不合题意舍去； 当 BPQ=90时， BPQ BAC，如图 ， BPQ BCA， BP： BC=BQ： BA，即 ，解得 ， 综上
15、所述，当 或 时， BPQ与 ABC为相似； （ 3） PB=162t， BQ=11t， 当 BP=BQ，则 162t=11t，解得 t=5； 当 PB=PQ，作 PM BC于 M，如图 ，则 BM= BQ= ， PM AC， BPM BAC， BP： BA=BM： BC，即 ，解得 ， 综上所述，当 BPQ是以 BP为腰的等腰三角形时 t的值为 5或 考点： 1相似形综合题； 2动点问题的函数图象； 3勾股定理的应用 （本题满分 10分）如图，在平面直角坐标系中， ABC 的顶点坐标分别为A（ -2， 0）、 B（ 4， 0）、 C（ 0， 2） （ 1）请用尺规作出 ABC的外接圆 P（保
16、留作图痕迹，不写作法）； （ 2）求出（ 1）中外接圆圆心 P的坐标； （ 3） P上是否存 在一点 Q，使得 QBC与 AOC相似？如果存在，请求出点 Q 坐标；如果不存在，请说明理由 答案：（ 1）作图见试题；（ 2） P（ 1， 1）；（ 3）存在， Q（ 2， 2），（ 2， 4） 试题分析：（ 1）作出 AC与 BC线段垂直平分线得出交点即为圆心，进而利用圆心到线段端点距离长为半径求出即可； （ 2）过点 P做 PD x轴， PE y轴，垂足分别为 D、 E，连接 PC、 PE，在Rt BPD中， BP2=x2+32，在 Rt CEP中， CP2=（ x+2） 2+12，由 BP=C
17、P，求出x的值，即可得出 P点坐标； （ 3）利用相似三角形的判定得出 Q1BC ACO，进而结合圆周角定理得出Q点坐标 试题：（ 1）如图 1所示： （ 2）如图 2，过点 P做 PD x轴， PE y轴，垂足分别为 D、 E，连接 PC、 PE PD AB， AD=BD=3， OB=4， OD=OBBD=1， PE=OD=1， 设 DP=x，则 OE=PD=x，在 Rt BPD中， 在 Rt CEP中， ， BP=CP， ，解得： 点 P坐标为（ 1， 1）； （ 3）如图 2，连接 BP并延长到 P于一点 Q1，连接 CQ1，则 BQ1是直径， Q1CB=90， 又 CAB= CQ1B，
18、 Q1BC ACO， 此时连接 AQ1，则 Q1AB=90， Q1横坐标为： 2， AB=6， BQ1=2BP= ， AQ1=2， Q1（ 2， 2）， 同理构造直角三角形 CFQ2，可得出： CF=6， CQ2= ， FQ2=2， FO=4，则Q2（ 2， 4）， 综上所述：） P上存在一点 Q（ 2， 2），（ 2， 4），使得 QBC与 AOC相似 考点：圆的综合题 （本题满分 8分）如图，有一长方形的仓库，一边长为 5米现要将它改建为简易住房，改建后的住房分为客厅、卧室和卫生间三部分，其中客厅和卧室都为正方形，且卧室的面积大于卫生间的面积若改建后卫生间的面积为 6平方米，试求长方形仓库
19、另一边的长 答案：米 试题分析：本题我们可以根据 “卫生间的面积为 6 平方米 ”来列方程，由图可知：卫生间的面积 =长方形仓库的面积 正方形卧室的面积 正方形客厅的面积我们可根据矩形和正方形的面积公式以及上面提到的关键语来列出关于矩形仓库另一边的长的方程，进而求出解 试题：设长方形的另一边的长为 x米，由题意的： ，整理得： ，解之得 ： ， ， 因为当 x=7时，卧室面积小于卫生间面积，所以舍去 答：长方形的另一边的长为 8米 考点：一元二次方程的应用 （本题满分 6分）进入 3月份，我市 “两横三纵 ”快速路系统全线开工为缓解市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警部门在一些主要路口设立了
20、如图所示的交通路况显示牌已知立杆 AB的高度是 3米，从地面上某处 D点测得显示牌顶端 C点和底端 B点的仰角分别是 62和 45求路况显示牌 BC的高度（精确到 0.1米） 【参考数据： ， ， 】 答案： .6 试题分析：在 Rt ADB中，根据 BDA=45， AD=AB=3，利用 62的正切函数解答即可 试题：在 Rt ADB中， BDA=45， AD=AB=3 在 Rt ADC中， AC=ADtan62=31.88=5.64 BC=ACAD=5.643=2.642.6（米） 答：路况显示牌 BC的高度是 2.6米 考点：解直角三角形的应用 -仰角俯角问题 （本题满分 8分）电动自动车
21、已成为市民日常出行的首选工具据某市某品牌电动自行车经销商 1至 3月份统计，该品牌电动自行车 1月份销售 150辆，3月份销售 216辆 （ 1）求该品牌电动自行车销售量 的月均增长率； （ 2）若该品牌电动自行车的进价为 2300元，售价为 2800元，则该经销商 1至3月共盈利多少元？ 答案：（ 1） 20%；（ 2） 273000 试题分析： （ 1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为 x等量关系为： 1月份的销售量 （ 1+增长率） 2=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可 （ 2）根据（ 1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案： 试题：（ 1）设该品牌电动自行车销
22、售量的月均增长率为 x， 根据题意列方程： ，解得 （不合题意，舍去）， 答：求该品牌电动自行车销售量的月均增长率 20% （ 2）二月份的销量是： 150（ 1+20%） =180（辆） 所以该经销商 1至 3月共盈利：（ 28002300） （ 150+180+216）=500546=273000（元） 考点： 1一元二次方程的应用； 2增长率问题 （本题满分 8分）如图，在平面直角坐标系中， AOB的顶点坐标分别为A（ 2， 1）、 O（ 0， 0）、 B（ 1， -2） . （ 1） P（ a， b）是 AOB的边 AB上一点， AOB经平移后点 P的对应点为 P2（ a-3， b+1
23、），请画出上述平移后的 A1O1B1，并写出点 A1的坐标； （ 2）以点 O为位似中心，在 y轴的右侧画出 AOB的一个位似 A2OB2，使它与 AOB的相似比为 2： 1，并分别写出点 A、 P的对应点 A2、 P2的坐标； （ 3）判断 A2OB2与 A1O1B1能否是关于某一点 Q为位似中心的位似图形，若是，请在图 10中标出位似中心 Q，并写出点 Q的坐标 . 答案：（ 1）作图见试题， A1（ 1， 2）；（ 2）作图见试题， A2（ 4， 2），P2（ 2a， 2b）；（ 3）是， Q（ 6， 2） 试题分析： （ 1）如图所示，画出平移后的 A1O1B1，找出 A1的坐标即可；
24、 （ 2）如图所示，画出位似图形 A2OB2，求出 A2、 P2的坐标即可； （ 3）根据题意得到 A2OB2与 A1O1B1是关于点 Q为位似中心的位似图形，找出 Q坐标即可 试题：（ 1）如图所示， A1（ 1， 2）； （ 2）如图所示， A2（ 4， 2）， P2（ 2a， 2b）； （ 3）如图所示， A2OB2与 A1O1B1是关于点 Q为位似中心的位似图形此时Q（ 6， 2） 考点： 1作图 -位似变换； 2作图 -平移变换 （本题满分 6分）如图，矩形 ABCD中， E为 BC 上一点， DF AE于点 F （ 1）求证： ABE DFA； （ 2）若 AB 6， AD 12，
25、 BE 8，求 DF的长 答案：（ 1）证明见试题；（ 2） 7.2 试题分析：（ 1） ABE和 DFA都是直角三角形，还需一对角对应相等即可根据 AD BC可得 DAF= AEB，问题得证； （ 2）运用相似三角形的性质求解 试题：（ 1） DF AE， AFD=90， B= AFD=90， 又 AD BC， DAE= AEB， ABE DFA； （ 2）解： AB=6， BE=8， B=90， AE=10 ABE DFA， AB： DF=AE： AD，即 6： DF=10： 12， DF=7.2 考点： 1矩形的性质； 2相似三角形的判定与性质 （本题满分 8分）已知关于 x的方程 的一
26、个根为 （ 1）求 的值及方程的另一个根； （ 2）如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长 答案：（ 1） 2， 1；（ 2） 3或 7或 9 试题分析：（ 1）把 x=3代入方程求出 a的值，再把 a的值代入方程，求出方程的另一个根； （ 2）根据三角形的三边关系，确定三角形的三边长度，求出三角形的周长 试题：（ 1）由题设，得 解得 所以原方程为 ， ， ， 故它的另一个根是 1 （ 2）由题设知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形： 三边相等，边长为 1， 1， 1；或 3， 3， 3 那么三角形的周长是 3或 9； 仅有两边相等，因为 1+1=2 3
27、，所以三角形的边长只能为 3， 3， 1 那么三角形的周长是 7 由 、 知，三角形的周长可以是 3，或 7，或 9 考点： 1解一元二次方程 -因式分解法； 2一元二次方程的解； 3三角形三边关系 解方程（每小题 4分，共 8分） （ 1） ； （ 2） 答案：（ 1） ， ；（ 2） ， 试题分析：（ 1）先 根据方程确定二次项系数，一次项系数，常数项，再代入求根公式即可求解 （ 2）移项后进行因式分解即可求解 试题：（ 1） = ， ， ， ， ； （ 2） ， ， 考点： 1解一元二次方程 -公式法； 2解一元二次方程 -因式分解法 （本题满分 12分） 如图，在平面直角坐标系中，矩形
28、 OABC的四个顶点坐标分别为 O（ 0， 0），A（ 4， 0）， B（ 4， 3）， C（ 0， 3）， G是对角线 AC的中点，动直线 MN平行于 AC且交矩形 OABC的一组邻边于 E、 F，交 y轴、 x轴于 M、 N设点 M的坐标为（ 0， t）， EFG的面积为 S （ 1）求 S与 t的函数关系式； （ 2）当 EFG为直角三角形时，求 t的值； （ 3）当点 G关于直线 EF的对称点 G 恰好落在矩形 OABC的一条边所在直线上时，直接写出 t的值 答案：（ 1） S= ；（ 2） 或 或 或；（ 3） ， ， ， 试题分析：（ 1）分为 MN在 CA的左下方（ 0 t 3）
29、和右上方（ 3 t 6）两种情况；分别把 EF表示出来，并把 EFG的高表示出来即可； （ 2）当 0 t 3时，把 EFG三边的平方表示出来， EFG是直角三角形有三种可能，列出三个方程，分别解出即可；同样当 3 t 6时，把 EFG三边的平方表示出来， EFG是直角三角形也有三种可能； （ 3） GG所在的直线与直线 CA垂直，且过 G点，故表达式为 ，分别求出直线 GG与直线 CB、 BA、 OA、 OC的交点 G，由线段 GG的中点在直线MN上即可得到四种情况的答案： 试题： （ 1） 当 0 t 3时，如图，过 E作 EH CA于 H， A（ 4， 0）， B（ 4， 3）， C（
30、0， 3）， OA=4， OC=3， AC=5， MN CA， OEF OCA， OE： OC=EF： CA，即 t： 3=EF： 5， EF= ， EH CA， ECH= OCA sin ECH=sin OCA， EG： EC=OA： CA，即 EH：（ 3-t） =4： 5， EH= ， S= ； 当 3 t 6时，如图，过 C作 CH MN于 H， MC= ， CH MN， CMH= OCA sin CMH=sin OCA， CH： MC=OA： CA，即 CH：（ ） =4： 5， EH= ， 易求直线 AC的式为： ， MN CA， ，令 y=3， ，解得： ， E（ ），在 中，令
31、 ，得： ， F( )， EF= ， S= ； S= ； （ 2） 当 0 t 3时， E(0， t)， F( ， 0)， G（ 2， ）， ， ， ， 若 ，则： ，解得： t=0(舍去 )，t= （舍去）， 若 ，则： ，解得： t=0(舍去 )，t= ， 若 ，则： ，解得： ， 当 3 t 6时， E（ ）， F( )， G（ 2， ）， ， ， ， 若 ，则： ，整理得：， =441，解得： ， t=6(舍去 ) 若 ，则： ，整理得：， =49，解得 t=6(舍去 )， t= （舍去）， 若 ，则： ，解得：， 或 或 或 ； （ 3）直线 MN为 ， G（ 2， ）， GG所在的直线与直线 CA垂直，且过 G点，故表达式为 ，在中， 令 ，得： ， G（ 0， ）， GG的中点（ 1， ），代入直线 MN为 ，得： ， 令 ，得： ， G（ ， 0）， GG的中点（ ， ），代入直线 MN为 ，得： ， 令 ，得： ， G（ 4， ）， GG的中点（ 3， ），代入直线 MN为 ，得： ， 令 ，得： ， G（ ， 3）， GG的中点（ ， ），代入直线MN为 ，得： ， ， ， ， 考点： 1四边形综合题； 2直角三角形的性质
