1、2015届江苏省无锡市惠山区九年级上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 sin30的值是 （ ） A 1 B C D 答案： D 试题分析： sin30= 故选 D 考点 :特殊角的三角函数值 已知等腰梯形 ABCD中， AD BC， B 45， AD 2 -2动点 P在折线 BA-AD-DC上移动，若存在 BPC 120，且这样的 P点恰好出现 3次，则梯形 ABCD的面积是（ ） A 2 -1 B 2 -2 C 2 D 2 1 答案： A 试题分析：根据题意 P点正好是 AD的中点时 BPC=120， PBC= PCB=30， AP= AD= 1， 等腰梯形 ABCD中， AD
2、BC， APB= PBC=30， 作 AE BC于 E， DF BC于 F， B=45， AE=BE=DF=CF， AM= AP= （ 1）， 设 AE=BE=x， AD BC， = ， 即 = ，解得 x=1， AE=BE=DF=CF=1， BC=2 ， 梯形 ABCD的面积 = （ AD+BC） AE= 1=2 1 故选 A 考点 :等腰梯形的性质 如图，点 D为 ABC的边 AB上的一点，连结 CD，过点 B作 BE/AC交CD的延长线于点 E，且 ACD= DBC， ， AB=10，则 AC的长为（ ） A B C 6 D 答案： B 试题分析： BE AC， ADC BDE，且 S
3、ADC： S BED=4： 9， AD： BD=2： 3，且 AB=10， AD=4， 又 ACD= DBC， A= A， ADC ACB， AC： AB=AD： AC， AC2=AB AD， 即 AC2=104=40， AC=2 故选 B 考点 :相似三角形的判定与性质 如图，在平地 MN上用一块 10m长的木板 AB搭了一个斜坡，两根支柱AC=7 5m， AD=6m，其中 AC AB， AD MN，则斜坡 AB的坡度是（ ） A 3:5 B 4:5 C 3:4 D 4:3 答案： C 试题分析：由题意可得： AB=10m， AD=6m，则 BD= =8（ m）， 故斜坡 AB的坡度是： A
4、D： BD=6： 8=3： 4 故选 C 考点 :解直角三角形的应用 -坡度坡角问题 如图， 是 0的直径，点 在 的延长线上，过点 作 0的切线，切点为 ，若 ，则 （ ） A 60 B 65 C 50 D 40 答案： D 试题分析：连接 OC， A=25， DOC=2 A=50， 又 OCD=90， D=40 故选： D 考点 :切线的性质 已知 O的半径是 6cm，点 O到同一平面内直线 L的距离为 5cm，则直线L与 O的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D无法判断 答案： A 试题分析：设圆的半径为 r，点 O到直线 l的距离为 d， d=5， r=6， d r， 直线 l
5、与圆相交 故选 A 考点 :直线与圆的位置关系 下列说法正确的是（ ） A经过三点可以作一个圆 B三角形的外心到这个三角形的三边距离相等 C等弧所对的圆心角相等 D相等的圆心角所对的弧相等 答案： C 试题分析： A、经过不共线的三点可以作一个圆，所以 A选项错误； B、三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，所以 B选项错误； C、等弧所对的圆心角相等，所以 C选项正确； D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以 D选项错误 故选 C 考点 :1确定圆的条件； 2圆心角、弧、弦的关系； 3三角形的外接圆与外心 若两个相似多边形的面积之比为 1： 4，则它们的周长之比为（ ）
6、A 1： 4 B 1： 2 C 2： 1 D 4： 1 答案： B 试题分析： 两个相似多边形面积比为 1： 4， 周长之比为 =1： 2 故选 B 考点 :相似多边形的性质 下列一元二次方程中，无实数根的方程是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： A、 a=1， b=0， c=2， =b24ac=02412=8 0， 方程没有实数根； B、 a=1， b=1， c=2， =b24ac=（ 1） 2+412=9 0， 方程有两个不相等的实数根； C、 a=1， b=1， c=2， =b24ac=12+412=9 0， 方程有两个不相等的实数根； D、 a=1， b=1， c=0， =
7、b24ac=12410=1 0， 方程有两个不相等的实数根； 故选 A 考点 :根的判别式 已知 、 是一元二次方程 的两个根，则 等于（ ） A B C 1 D 4 答案： C 试题分析：直接根据根与系数的关系求解 根据韦达定理得 x1 x2=1 故选 C 考点 :根与系数的关系 填空题 如图， ABC中， AC=10， BAC 30，点 P是射线 AB上的一个动点， CPM ,点 Q是射线 PM上的一个动点则 CQ长度的最小值是 答案： 试题分析：由题意可知当 CP最小时，可知在 CPQ中当 CQ PM时， CQ有最小值， 当 CP AN， CQ PM时，如图， 在 Rt APC中， AC
8、=10， BAC=30， PC=5， 在 Rt CPQ中， cos CPM= ， PQ=4， 则可求得 CQ=3， 故答案：为： 3 考点 :相似三角形的判定与性质 如图，在宽为 20米、长为 32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪要使草坪的面积为 540 米 2，则道路的宽为 米 答案： 试题分析：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为 x米， 根据题意得：（ 20x）（ 32x） =540 整理得： x252x+100=0 解得： x1=50（舍去）， x2=2 考点 :一元二次方程的应用 如图，将 放在每个小正方形的边长为 1的网格中，点 、 、 均落在格点
9、上，用一个圆面去覆盖 ，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的面积是 答案： 试题分析：如图所示：点 O为 ABC外接圆圆心，则 AO为外接圆半径， 故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是： 故面积为 （ ） 2=5 考点 :三角形的外接圆与外心 如图，将三角板的直角顶点放在 O的圆心上，两条直角边分别交 O于 A、B两点，点 P在优弧 AB上，且与点 A、 B不重合，连结 PA、 PB则 APB的大小为 答案： 试题分析： AOB与 APB为 所对的圆心角和圆周角， APB= AOB= 90=45 考点 :圆周角定理 用计算器计算： （精确到 0 01） 答案： 43 试题分析： 3sin3
10、8 30 6161 4140 43 考点 :计算器 三角函数 网民小李的 QQ群里共有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有 90条消息，设小李的 QQ群里共有好友 个，可列方程为 : 答案： 试题分析：设有 x个好友，依题意， x（ x1） =90， 故答案：为： x（ x1） =90 考点 :由实际问题抽象出一元二次方程 在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为 1 5m的测杆的影长为 2 5m，那么影长为 30 m的旗杆的高是 m 答案： 试题分析： ， ， 解得旗杆的高度 = =18m 考点 :相似三角形的应用 在 1： 500000的无锡市地图上，新建的地铁线
11、估计长 4 5cm，那么等地铁造好后实际长约为 千米。 答案： 5 试题分析：设地铁造好后实际长约 x厘米，则 4 5： x=1： 500000， 解得 x=2250000， 即 x=22 5千米 考点 :比例线段 解答题 （本题满分 10分）如图 1，在 Rt ABC 中， C=90， AC=6cm， BC=8cm，点 D是 BC上一定点动点 P从 C出发，以 2cm/s的速度沿 CAB 方向运动，动点 Q从 D出发，以 1cm/s的速度沿 DB 方向运动点 P出发 5 s后 ,点 Q才开始出发，且当一个点达到 B时，另一个点随之停止图 2是当 时 BPQ的 面积 S（ cm2）与点 P的运
12、动时间 t（ s）的函数图象 （ 1） CD = , ； （ 2）当点 P在边 AB上时， t为何值时，使得 BPQ与 ABC为相似？ （ 3）运动过程中，求出当 BPQ是以 BP为腰的等腰三角形时 t的值 答案：（ 1） CD=2， a=10 8；（ 2） 4 25秒或 6秒；（ 3） 5秒或 秒 试题分析：（ 1）当点 P运动到点 A时， BPQ的面积为 18， 6 BD=18，解得 BD=6， CD=BCBD=2， 当 t=5s时， AP=256=4，点 Q在 D点，点 P在 AB上如图 ，作 PH BC于H， 在 Rt ABC中， AC=6， BC=8， AB= =10， PH AC，
13、 BPH BAC， = ，即 = ，解得 PH= ， S PBQ= 6 = ， 即 a= ； 故答案：为： 2， ； （ 2）点 P在边 AB上， 当 3 t5，点 Q在 D点， BP=162t， 若 PD BC， BPQ BAC， = ，即 = ，解得 t= ； 当 5 t8， DQ=t5，则 BQ=82（ t5） =11t， BP=162t， 当 PQB=90时， BPQ BAC，如图 ， BPQ BAC， = ，即 = ，解得 t=3，不合题意舍去； 当 BPQ=90时， BPQ BAC，如图 ， BPQ BCA， = ，即 = ，解得 t=6， 综上所述，当 t为 或 6时， BPQ与
14、 ABC为相似； （ 3） PB=162t， BQ=11t， 当 BP=BQ，则 162t=11t，解得 t=5； 当 PB=PQ，作 PM BC于 M，如图 ，则 BM= BQ= （ 11t）， PM AC， BPM BAC， = ，即 = ，解得 t= ， 综上所述，当 BPQ是以 BP为腰的等腰三角形时 t的 值为 5或 考点 :1相似形综合题； 2动点问题的函数图象； 3勾股定理的应用 （本题满分 10分）如图，在平面直角坐标系中， ABC 的顶点坐标分别为A（ -2， 0）、 B（ 4， 0）、 C（ 0， 2） （ 1）请用尺规作出 ABC的外接圆 P（保留作图痕迹，不写作法）；
15、（ 2）求出（ 1）中外接圆圆心 P的坐标； （ 3） P上是否存在一点 Q，使得 QBC与 AOC相似？如果存在，请求出点 Q 坐标；如果不存在，请说明理由 答案：（ 1）作图详见（ 2）点 P 坐标为（ 1， -1）；（ 3）（ -2， -2），（ 2，-4） 试题分析：（ 1）如图 1所示： （ 2）如图 2，过点 P做 PD x轴， PE y轴，垂足分别为 D、 E，连接 PC、 PE PD AB， AD=BD=3 OB=4， OD=OBBD=1 PE=OD=1 设 DP=x，则 OE=PD=x 在 Rt BPD中， BP2=x2+32 在 Rt CEP中， CP2=（ x+2） 2+
16、12 BP=CP， x2+32=（ x+2） 2+12 解得： x=1 点 P坐标为（ 1， 1） （ 3）如图 2，连接 BP并延长到 P于一点 Q1，连接 CQ1， 则 BQ1是直径， Q1CB=90， 又 CAB= CQ1B， Q1BC ACO， 此时连接 AQ1则 Q1AB=90， Q1横坐标为： 2， AB=6， BQ1=2BP=2 ， AQ1=2， Q1（ 2， 2）， 同理构造直角三角形 CFQ2， 可得出： CF=6， CQ2=2 ， FQ2=2， FO=4， 则 Q2（ 2， 4）， 综上所述： P上存在一点 Q（ 2， 2），（ 2， 4），使得 QBC与 AOC相似 考点
17、 :圆的综合题 （本题满分 8分）如图，有一长方形的仓库，一边长为 5米现要将它改建为简易住房，改建 后的住房分为客厅、卧室和卫生间三部分，其中客厅和卧室都为正方形，且卧室的面积大于卫生间的面积若改建后卫生间的面积为 6平方米，试求长方形仓库另一边的长 答案：长方形的另一边的长为 8米 试题分析：设长方形的另一边的长为 x米 1分 由题意得：（ x -5） 5 -（ x -5） =6， 4分 整理得： x2 -15x+56=0， （ 5分 解之得： x1=7， x2=8 ， 6分 因为当 x=7时，卧室面积小于卫生间面积，所以舍去 7分 答：长方形的另一边的长为 8米 8分 考点 :一元二次方
18、程的应用 （本题满分 6分） 进入 3月份，我市 “两横三纵 ”快速路系统全线开工为缓解市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警部门在一些主要路口设立了如图所示的交通路况显示牌已知立杆 AB的高度是 3米，从地面上某处 D点测得显示牌顶端 C点和底端 B 点的仰角分别是 62和 45求路况显示牌 BC 的高度（精确到 0 1 米） 【参考数据： ， ， 】 答案：路况显示牌 BC的高度是 2 6米 试题分析：在 Rt ADB中， ， 在 Rt ADC中， 答：路况显示牌 BC的高度是 2 6米 考点 :解直角三角形 仰角问题 （本题满分 8分）电动 自动车已成为市民日常出行的首选工具据某市某品牌
19、电动自行车经销商 1至 3月份统计，该品牌电动自行车 1月份销售 150辆，3月份销售 216辆 （ 1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率； （ 2）若该品牌电动自行车的进价为 2300元，售价为 2800元，则该经销商 1至3月共盈利多少元？ 答案：（ 1）该品牌电动自行车销售量的月均增长率 20%；（ 2） 273000元 试题分析：（ 1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为 x， 根据题意列方程： 150（ 1+x） 2=216， 解得 x1=-220%（不合题意，舍去）， x2=20% 答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率 20% （ 2）二月份的销量是： 150（ 1+20
20、%） =180（辆） 所以该经销商 1至 3月共盈利：（ 2800-2300） （ 150+180+216）=500546=273000（元） 考点 :一元二次方程的应用 （本题满分 8分）如图，在平面直角坐标系中， AOB的顶点坐标分别为A（ 2,1）、 O（ 0,0）、 B（ 1,-2） （ 1） P（ a,b）是 AOB的边 AB上一点， AOB经平移后点 P的对应点为 P2（ a-3, b+1），请画出上述平移后的 A1O1B1，并写出点 A1的坐标； （ 2）以点 O为位似中心，在 y轴的右侧画出 AOB的一个位似 A2OB2，使它与 AOB的相似比为 2:1，并分别写出点 A、 P
21、的对应点 A2、 P2的坐标； （ 3）判断 A2OB2与 A1O1B1能否是关于某一点 Q为位似中心的位似图形，若是，请在图 10中标出位似中心 Q，并写出点 Q的坐标 答案：（ 1） A1（ -1,2）；（ 2） A2（ 4,2） ， P2（ 2a,2b）；（ 3） Q（ -6,2） 试题分析：（ 1）如图 1， A1（ -1,2） （ 2）如图 1， A2（ 4,2） ， P2（ 2a,2b） （ 3）如图 1， A2OB2与 A1O1B1是关于点 Q为位似中心的位似图形 Q（ -6,2） 考点 :平面直角坐标系 （本题满分 6分）如图，矩形 ABCD中， E为 BC 上一点， DF A
22、E于点 F。 （ 1）求证： ABE DFA； （ 2）若 AB 6， AD 12， BE 8，求 DF的长。 答案：（ 1）详见；（ 2） DF= 试题分析：（ 1） 四边形 ABCD是矩形， AD BC， B=90， AEB= DAE， DF AE ADF= EAB ABE DFA； （ 2）在直角三角形 ABE中，由勾股定理，得， AE=10， 因为 ABE DFA；所以 AB/DF=AE/DA,即 6/DF=10/12 解得 DF= 考点 :1相似三角形； 2矩形的性质 （本题满分 8分）已知关于 x的方程（ a-1） x2-4x-1 2a 0的一个根为 x3 （ 1）求 a的值及方程
23、的另一个根； （ 2）如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长 答案：（ 1） a 2；它的另一个根是 1；（ 2）三角形的周长可以是 3，或 7，或 9 试题分析：（ 1）由题设，得 9（ a-1） -43-1 2a 0解得 a 2 所以原方程为 x2-4x 3 0它的另一 个根是 1 （ 2）由题设知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形： 三边相等，边长为 1， 1， 1；或 3， 3， 3 那么三角形的周长是 3或 9； 仅有两边相等，因为 1 1 2 3，所以三角形的边长只能为 3， 3， 1 那么三角形的周长是 7 由 、 知，三角形的周长可以是 3
24、，或 7，或 9 考点 :一元二次方程的解 解方程（每小题 4分，共 8分） （ 1） x2-4x 2 0； （ 2） 3x（ x-3） 2（ x-3） 答案：（ 1） ;（ 2） 试题分析：（ 1） a=1,b=-4,c=2 x= ,即 （ 2） 考点 :一元二次方程的解法 （本题满分 12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的四个顶点坐标分别为 O（ 0， 0）， A（ 4， 0）， B（ 4， 3）， C（ 0， 3）， G是对角线 AC的中点，动直线 MN平行于 AC且交矩形 OABC的一组邻边于 E、 F，交 y轴、x轴于 M、 N设点 M的坐标为（ 0， t）， EFG的面
25、积为 S （ 1）求 S与 t的函数关系式； （ 2）当 EFG为直角三角形时，求 t的值； （ 3）当点 G关于直线 EF的对称点 G恰好落在矩形 OABC的一条边所在直线上时，直接写出 t的值 答案：（ 1） S= ；（ 2）当 EFG为直角三角形时， t= 或 t= 或 t= 或 t= ；（ 3） t的值为 或 或 或 试题分析：（ 1） 当 0 t 3时，如图 1，过 E作 EH CA于 H， A（ 4， 0）， B（ 4， 3）， C（ 0， 3）， OA=4， OC=3， AC=5， MN CA， OEF OCA， OE： OC=EF： CA，即 t： 3=EF： 5， EF= t
26、， EH CA， ECH= OCA， sin ECH=sin OCA， EG： EC=OA： CA， 即 EH：（ 3t） =4： 5， EH= （ 3t）， S= EFHE= t （ 3t） = t2+2t； 当 3 t 6时，如图 2，过 C作 CH MN于 H，则 MC=t3， CH MN， CMH= OCA， sin CMH=sin OCA， CH： MC=OA： CA，即 CH：（ t3） =4： 5， CH= （ t3）， 易求直线 AC式为： y= x， MN CA， 直线 MN的式为： y= x+t， 令 y=3，可得 3= x+t，解得 x= （ t3） = t4， E（ t
27、4， 3）， 在 y= x+t中，令 x=4可得： y=t3， F（ 4， t3）， EF= = （ 6t）， S= EFGH= （ t3） = t2+6t12； 综上可知 S= ； （ 2） 当 0 t 3时， E（ 0， t）， F（ t， 0）， G（ 2， ）， EF2= t2， EG2=22+（ t ） 2， GF2=（ t2） 2+（ ） 2， 若 EF2+EG2=GF2，则有 t2+22+（ t ） 2=（ t2） 2+（ ） 2，解得 t=0（舍去），t= （舍去）， 若 EF2+FG2=EG2，则有 t2+（ t2） 2+（ ） 2=22+（ t ） 2，解得 t=0（舍去）
28、，t= ， 若 EG2+GF2=EF2，则有 22+（ t ） 2+（ t2） 2+（ ） 2= t2，解得 t= ， 当 3 t 6时， E（ t4， 3）， F（ 4， t3）， G（ 2， ）， EF2=（ t8） 2+（ t6） 2， EG2=（ t6） 2+（ ） 2， GF2=22+（ t ） 2， 若 EF2+EG2=GF2，则有（ t8） 2+（ t6） 2+（ t6） 2+（ ） 2=22+（ t ） 2，整理得 32t2363t+1026=0， =441，解得 t= ， t=6（舍去）， 若 EF2+FG2=EG2，则有（ t8） 2+（ t6） 2+22+（ t ） 2=
29、（ t6） 2+（ ） 2，整理得 6t279t+258=0， =49，解得 t=6（舍去）， t= 6（舍去）， 若 EG2+GF2=EF2，则有（ t6） 2+（ ） 2+22+（ t ） 2=（ t8） 2+（ t6） 2，解得 t= ， 综上可知当 EFG为直角三角形时， t= 或 t= 或 t= 或 t= ； （ 3）直线 MN为 y= x+t， G（ 2， ）， GG所在的直线与直线 CA垂直，且过 G点，故表达式为 y= x ，在 y= x中， 令 x=0，可得： y= ， G（ 0， ）， GG中点（ 1， ），代入直线 MN为y= x+t，解得 t= ， 令 y=0，可得： x= ， G（ ， 0）， GG中点（ ， ），代入直线 MN为y= x+t，解得 t= ， 令 x=4，可得： y= ， G（ 4， ）， GG中点（ 3， ），代入直线 MN为y= x+t，解得 t= ， 令 y=3，可得： x= ， G（ ， 3）， GG中点（ ， ），代入直线 MN为y= x+t，解得 t= ， 综上可知满足条件的 t的值为 或 或 或 考点 :四边形综合题
