1、2015届江苏省江阴市第二中学九年级上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列根式中，与 是同类二次根式的是 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： A 与 被开方数不同，故不是同类二次根式； B 与 被开方数不同，故不是同类二次根式； C 与 被开方数相同，故是同类二次根式； D 与 被开方数不同，故不是同类二次根式 故选 C 考点：同类二次根式 如图，在矩形 AOBC中，点 A的坐标是（ 3， 1），点 C的纵坐标是 7，则 B、 C两点的坐标分别是（ ） A（ 2， 6）、（ ， 7） B（ 2， 6）、（ ， 7） C（ ， ）、（ ， 7） D（ ， ）、（ ， 7
2、） 答案： A 试题分析：如图，过点 A作 AE x轴于 E，延长 CA交 x轴于 F，过 B作BG x轴于 G， 点 A的坐标为（ 3， 1）， AE=1， OE=3， 四边形 ABCD是矩形， OAC=90， OAF=90， AEF OEA， AE： EF=OE： AE， 1： EF=3： 1，解得 EF= ， OF= ， 点 F的坐标为（ ， 0）， 设直线 AC的式为 ， 则 ，解得 ，所以，直线 AC的式为 ， 点 C的纵坐标是 7， 3x+10=7，解得 x=1 C（ -1， 7）， OB=AC= ， OA= ， AOB=90， AOE+ BOG=90， sin AOE=cos B
3、OG，cos AOE=sin BOG， AE： AO=OG： OB， EO： AO=BG： BO， 1： =OG： ， 3：=BG： ， OG=2， BG=6， B（ 2， 6） 故选： A 考点： 1矩形的性质； 2坐标与图形性质 如图在等腰 Rt ABC中， C=90o， AC=3， D是 AC上一点，若tan DBA= ，则 AD的长为 （ ） A 2 B C D 1 答案： D 试题分析：作 DE AB于 E点 tan DBA= = ， BE=5DE， ABC为等腰直角三角形， A=45， AE=DE BE=5AE， 又 AC=3， AB= AE+BE=5AE+AE= ， AE= ，
4、在等腰直角 ADE中，由勾股定理，得 AD= AE= 故选 D 考点：解直角三角形 如图，点 A、 B、 C在 O上， ACB=30，则 cos AOB的值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ACB=30， AOB=2 ACB=60， cos AOB=cos60=故选 C 考点： 1圆周角定理； 2特殊角的三角函数值 如图， AB是 O的直径，弦 CD AB，垂足为 M，下列结论不成立的是 （ ） A CM=DM B C ACD= ADC D OM=MD 答案： D 试题分析： AB 是 O 的直径，弦 CD AB，垂足为 M， M 为 CD的中点，即 CM=DM，选项 A成立；
5、 B为 的中点，即 = ，选项 B成立； 在 ACM和 ADM中， AM=AM， AMC= AMD=90， ACM ADM（ SAS）， ACD= ADC，选项 C成立； 而 OM与 MD不一定相等，选项 D不成立故选 D 考点：垂径定理 ABC与 ABC是位似图形，且 ABC与 ABC的位似比是 1： 2，已知 ABC的面积是 3，则 ABC的面积是（ ） A 3 B 6 C 9 D 12 答案： D 试题分析： ABC与 ABC是位似图形，且 ABC与 ABC的位似比是1： 2， ABC的面积是 3， ABC与 ABC的面积比为： 1： 4，则 ABC的面积是： 12故选： D 考点：位似
6、变换 已知一元二次方程 的两个根分别是 、 ，则 的值（ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据题意得， ， ，所以 故选 B 考点：根与系数的关系 一元二次方程 的根的情况为（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 答案： A 试题分析：根据题意 =（ 2） 24（ 1） =8 0，所以方程有两个不相等的实数根故选 A 考点：根的判别式 A半径为 5，圆心 A的坐标为（ 1， 0），点 P的坐标为（ -2， 4），则点P与 A的位置关系是（ ） A点 P在 A上 B点 P在 A内 C点 P在 A外 D点 P在 A上或外 答案： A 试题分析
7、： AP= ，所以点 P在 A上故选 A 考点：点与圆的位置关系 用配方法解方程 时，原方程应变形为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由原方程移项，得： ， 方程的两边同时加上一次项系数 2的一半的平方 1，得： ， 故选： B 考点：解一元二次方程 -配方法 填空题 如图， ABC中， BAC=60， ABC=45， AB= ， D是线段 BC上的一个动点，以 AD为直径画 O分别交 AB、 AC于 E、 F，连接 EF，则线段 EF长度的最小值为 答案： . 试题分析：由垂线段的性质可知，当 AD为 ABC的边 BC上的高时，直径AD最短， 如图，连接 OE， OF，过 O点作
8、 OH EF，垂足为 H， 在 Rt ADB 中， ABC=45， AB= ， AD=BD=1，即此时圆的直径为 1， 由圆周角定理可知 EOH= EOF= BAC=60， 在 Rt EOH中， EH=OE sin EOH= ，由垂径定理可知 EF=2EH=，故答案：为： 考点： 1垂径定理； 2圆周角定理； 3解直角三角形 如图是拦水坝的横断面，斜坡 AB的水平宽度为 12米，斜面坡度为 1： 2，则斜坡 AB的长为 答案： . 试题分析：在 Rt ABC中， i= ， AC=12米， BC=6米， 根据勾股定理得： AB= 米，故答案：为： . 考点：解直角三角形的应用 -坡度坡角问题 如
9、图， AB 为 O 的弦， O 的半径为 5， OC AB 于点 D，交 O 于点 C，且 CD l，则弦 AB的长是 答案： 试题分析： O的半径为 5， CD=l， OD=OCCD=51=4； 连接 OA， OC AB于点 D， AB=2AD， OA=5， OD=4， AD= ， AB=2AD=23=6 故答案：为： 6 考点： 1垂径定理； 2勾股定理 在 Rt ABC中， C=900， AB=10， cosB= ，则 AC的长为 答案： 试题分析： cosB= ， CA： AB=4： 5， AB=10， CA=8， BC=6故答案：为： 6 考点： 1锐角三角函数的定义； 2勾股定理
10、一个三角形的两边长分别为 4cm和 7cm，第三边长是一元二次方程的实数根，则三角形的周长是 cm 答案： 试题分析：方程 可化为： ，解得： 或 ， 三角形的第三边长为 3cm或 7cm， 当第三边长为 3cm时，由 4+3=7，得到三边不能构成三角形，舍去； 当第三边上为 7cm时，三角形的周长为 4+7+7=18cm， 则这个三角形的周长为 18cm 故答案：为： 18cm. 考点： 1解一元二次方程 -因式分解法； 2三角形三边关系 关于 的一元二次方程 的一个根是 0，则 的值是 答案： . 试题分析： 关于 的一元二次方程 的一个根是 0， 满足该方程，且 ， ，且 ，解得 故答案
11、：是： 考 点：一元二次方程的解 函数 中，自变量 的取值范围是 答案： . 试题分析：根据题意得， ，解得 故答案：为： 考点：函数自变量的取值范围 方程 的解为 答案： . 试题分析： ，即 ，所以 ，故答案：为： 考点：解一元二次方程 -直接开平方法 计算题 计算：（每小题 4分，共 8分） （ 1） （ 2） 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）根据绝对值、负指数的意义化简即可； （ 2）把特殊角的三角函数值代入计算 试题：（ 1）原式 = ； （ 2）原式 = 考点： 1、实数的运算； 2、特殊角的三角函数值 解答题 阅读材料：（ 8分） 例：说明代数式 的几何意义，并求它
12、的最小值 解： ，如图，建立平面直角坐标系，点 P（ x， 0）是 x轴上一点，则 可以看成点 P与点 A（ 0， 1）的距离， 可以看成点 P与点 B（ 3， 2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段 PA与 PB长度之和，它的最小值就是 PA PB的最小值 设点 A关于 x轴的对称点为 A，则 PA PA，因此，求 PA PB的最小值，只需求 PA PB的最小值，而点 A、 B间的直线段距离最短，所以 PA PB的最小值为线段 AB的长度为此，构造直角三角形 ACB，因为 AC 3， CB 3，所以 AB 3 ， 即原式的最小值为 3 根据以上阅读材料，解答下列问题： （ 1）代数式 的值
13、可以看成平面直角坐标系中点 P（ x，0）与点 A（ 1， 1）、点 B 的距离之和（填写点 B的坐标） （ 2）代数式 的最小值 . 答案：（ 1）（ 2， 3）或（ 2， -3）；（ 2） 10 试题分析：（ 1）先把原式化为 的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论； （ 2）先把原式化为 的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 P（ x， 0）与点 A（ 0， 7）、点 B（ 6， 1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可 试题：（ 1） 原式化为 的形式， 代数式 的值可以看成平面直角坐标系中点 P（ x， 0）与点 A（ 1， 1）、点 B
14、（ 2， 3）的距离之和，故答案：为（ 2， 3）或（ 2， -3）； （ 2） 原式化为 的形式， 所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 P（ x， 0）与点 A（ 0， 7）、点 B（ 6， 1）的距离之和， 如图所示：设点 A关于 x轴的对称点为 A，则 PA=PA， PA+PB的最小值，只需求 PA+PB的最小值，而点 A、 B间的直线段距 离最短， PA+PB的最小值为线段 AB的长度， A（ 0， 7）， B（ 6， 1） A（ 0， 7）， AC=6， BC=8， AB= 故答案：为： 10 考点： 1轴对称 -最短路线问题； 2坐标与图形性质 （本题 10分）如图，在平面直
15、角坐标系 xOy中，梯形 AOBC的边 OB在 x轴的正半轴上， AC OB， BC OB，过点 A的双曲线 的一支在第一象限交梯形对角线 OC于点 D，交边 BC于点 E （ 1）填空：双曲线的另一支在第 象限， 的取值范围是 ； （ 2）若点 C的坐标为（ 1， 1），请用含有 的式子表示阴影部分的面积 S并回答：当点 E在什么位置时，阴影部分面积 S最小？ （ 3）若 ， ，求双曲线的式 答案：（ 1）三， k 0；（ 2） ， E点的坐标为（ 1， ），即 E点为 BC的中点，阴影部分的面积 S最小；（ 3） 试题分析：（ 1）根据反比例函数图象与性质得到：双曲线 的一支在第一象限，则
16、 k 0，得到另一支在第三象限； （ 2）根据梯形的性质， AC x轴， BC x轴，而点 C的坐标为（ 1， 1），则A点的纵坐标为 1， E点的横坐标为 1， B点坐标为（ 1， 0），再分别把 y=1或x=1代入 可得到 A点的坐标为（ k， 1）， E点的坐标为（ 1， k），然后计算 S 阴影部分 =S ACE+S OBE= ，配方得，当 k= 时， S 阴影部分 最小值为 ，则 E点的坐标为（ 1， ），即 E点为 BC的中点； （ 3）设 D点坐标为（ ， ），由 ，则 2OD=OC，即 D点为 OC的中点，于是 C点坐标为（ ， ），得到 A点的纵坐标为 ，把 代入得 ，确定
17、A点坐标为（ ， ），根据三角形面积公式由 S OAC=2得到 ，然后解方程即可求出 k的值 试题：（ 1）三， k 0； （ 2） 梯形 AOBC的边 OB在 x轴的正半轴上， AC OB， BC OB，而点 C的坐标为（ 1， 1）， A点的纵坐标为 1， E点的横坐标为 1， B点坐标为（ 1， 0）， 把 y=1代入 得 x=k；把 x=1代入 得 y=k， A点的坐标为（ k， 1）， E点的坐标为（ 1， k）， S 阴影部分 =S ACE+S OBE= = ， 当 时， S 阴影部分 最小，最小值为 ； E点的坐标为（ 1， ），即 E点为 BC的中点， 当点 E在 BC的中点时
18、，阴影部分的面积 S最小； （ 3）设 D点坐标为（ ， ）， ， 2OD=OC，即 D点为 OC的中点， C点坐标为（ ， ）， A点的纵坐标为 ， 把 代入 得 ， A点坐 标为（ ， ）， S OAC=2， ， ， 双曲线的式为 考点：反比例函数综合题 （本题 10分）如图，在 Rt ABC中， C=90，点 P为 AC边上的一点，将线段 AP绕点 A顺时针方向旋转（点 P对应点 P），当 AP旋转至 AP AB时，点 B、 P、 P恰好在同一直线上，此时作 PE AC于点 E （ 1）求证： CBP= ABP； （ 2）求证： AE=CP； （ 3）当 ， BP= 时，求线段 AB的长
19、 答案：（ 1）证明见试题；（ 2）证明见试题；（ 3） 10 试题分析：（ 1）根据旋转的性质可得 AP=AP，根据等边对等角的性质可得 APP= APP，再根据等角的余角相等证明即可； （ 2）过点 P作 PD AB于 D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出 PAD= APE，利用 “角角边 ”证明 APD和 PAE全等，根据全等三角形对应边相等可得 AE=DP，从而得证； （ 3）设 CP=3k， PE=2k，表示出 AE=CP=3k， AP=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出 PE=4k，再求出 ABP和 EPP相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 P
20、A= AB，然后在 RtABP中，利用勾股定理列式求解即可 试题： AP是 AP旋转得到， AP=AP， APP= APP， C=90， AP AB， CBP+ BPC=90， ABP+ APP=90， 又 BPC= APP（对顶角相等）， CBP= ABP； （ 2）证明：如图，过点 P作 PD AB于 D， CBP= ABP， C=90， CP=DP， PE AC， EAP+ APE=90， 又 PAD+ EAP=90， PAD= APE， 在 APD和 PAE中， PAD= APE， ADP= PEA=90， AP=AP， APD PAE（ AAS）， AE=DP， AE=CP； （ 3
21、）解： ， 设 CP=3k， PE=2k，则 AE=CP=3k， AP=AP=3k+2k=5k， 在 RtAEP中， PE= ， C=90， PE AC， CBP+ BPC=90， EPP+ PPE=90， BPC= EPP（对顶角相等）， CBP= PPE， 又 BAP= PEP=90， ABP EPP， AB： PE=PA： PE，即 AB：4k=PA： 2k， 解得 PA= AB， 在 RtABP中， ，即 ，解得 AB=10 考点： 1全等三角形的判定与性质； 2角平分线的性质； 3相似三角形的判定与性质 （本题 6 分）已知关于 x的方程 有两个实数根 、 （ 1）求 k的取值范围；
22、 （ 2）若 ，求 k的值 答案：（ 1） ； （ 2） 3 试题分析：（ 1）方程有两个实数根，可得 = ，代入可解出 k的取值范围； （ 2）结合（ 1）中 k的取值范围，由题意可知， ，去绝对值号结合等式关系，可得出 k的值 试题：（ 1）由方程有两个实数根，可得 = ，解得， ； （ 2）依据题意可得， ， ， 由（ 1）可知 ， ， ， ， ， 解得 （舍去）， ， k的值是 3 答：（ 1） k的取值范围是 ；（ 2） k的值是 3 考点： 1根与系数的关系； 2根的判别式 （本题 6分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了 “一方有难，八方支援 ”赈灾捐款活动第一天收到捐款
23、10 000 元，第三天收到捐款 12 100 元 （ 1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （ 2）按照（ 1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 答案：（ 1） 10%；（ 2） 13310 试题分析：（ 1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数 （ 1+每次增长的百分率） 2=第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可； （ 2）第三天收到捐款钱数 （ 1+每次增长的百分率） =第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可 试题：设捐款增长率为 x，则： 解这个方程，得 ， （不合题意，舍去） , 答：捐款的增长率为 10%； （ 2） 121
24、00（ 1+10%） =13310， 答：按照（ 1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到捐款 13310元 考点： 1一元二次方程的应用； 2增长率问题 （本题 6分）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船 A、 B， B船在 A船的正东方向，且两船保持 20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在 A的东北方向， B的北偏东 15方向有一我国渔政执法船 C，求此时船 C与船 A的距离是多少（结果保留根号） 答案： 试题分析：首先过点 B作 BD AC于 D，由题
25、意可知， BAC=45， ABC=90+15=105，则可求得 ACB的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案： 试题：过点 B作 BD AC于 D 由题意可知， BAC=45， ABC=90+15=105， ACB=180 BAC ABC=30， 在 Rt ABD中， BD=AB sin BAD=20 =10 （海里）， 在 Rt BCD中， BC=10 （海里） 答：此时船 C与船 A的距离是（ ）海里 考点：解直角三角形的应用 -方向角问题 （本题 6分）先化简，再求值 ，其中 是方程的根 . 答案： ， 试题分析 ：利用方程解的定义找到相等关系 ，再把所求的代数式化简后整理成 a
26、2+3a的形式，整体代入 ，即可求解 试题：原式 = = = ， 是方程 的根， ， ， 原式 = 考点： 1一元二次方程的解； 2分式的化简求值 解下列方程：（每小题 4分，共 12分） （ 1） （ 2） （ 3） 答案：（ 1） ； （ 2） ； （ 3） 试题分析：（ 1）化为一般式，用求根公式计算； （ 2）用十字相乘法分解因式； （ 3）直接开平方 试题：（ 1） ， = ， ， ； （ 2） ， ， ， ； （ 3） ， 或 ， 考点： 1、解一元二次方程 -公式法； 2、解一元二次方程 -因式分解法； 3、解一元二次方程 -直接开发方法 （本题 12分）如图，已知直角梯形 AB
27、CD中， AD BC， AB BC， AD2， AB 8， CD 10 （ 1）求梯形 ABCD的面积； （ 2）动点 P从点 B出发，以 2个单位 /s的速度沿 BADC 方向向点 C运动；动点 Q从点 C出发，以 2个单位 /s的速度沿 CDA 方向向点 A运动；过点 Q作 QE BC于点 E若 P、 Q两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为 t秒问： 当点 P在 BA 上运动时，是否存在这样的 t，使得直线 PQ将梯形 ABCD的周长平分？若存在，请求出 t的值，并判断此时 PQ是否平分梯形 ABCD的面积；若不存在，请说明理由 在运动过程中，是否存在这样的
28、 t，使得以 P、 D、 Q为顶点的三角形恰好是以 DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的 t的值；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） 40；（ 2） 不存在； 或 或 . 试题分析：（ 1）求面积要先求梯形的高，在直角三角形中用勾股定理进行求解，得出底边后即可求出梯形的面积 （ 2） PQ平分梯形的周长，那么 AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了 AD， BC的长，可以用 t来表示出 AP， BP， CQ， QD的长，那么可根据上面的等量关系求出 t的值，再求出梯形面积即可得出答案：； 分三种情况进行讨论：一、当 P在 AB上时，即 0t4，等腰 PDQ以 DQ为腰，因
29、此 DQ=DP或 DQ=PQ，可以通过构建直角三角形来表示出 DP， PQ 的长，然后根据得出的等量关系来求 t的值 二、当 P在 AD上时，即 4 t 5，由于 BA+AD=CD=10，因此 DP=DQ=102t，因此 DP， DQ恒相等 三、当 P在 CD上时，即 5 t6综合 三种情况可得出等腰三角形以 DQ为腰时， t的取值 试题：（ 1）过 D作 DH AB交 BC于 H点， AD BH， DH AB， 四边形 ABHD是平行四边形 DH=AB=8；BH=AD=2 CD=10， HC= ， BC=BH+CH=8， SABCD= （ AD+BC） AB= （ 2+8） 8=40 （ 2
30、） BP=CQ=2t， AP=82t， DQ=102t， AP+AD+DQ=PB+BC+CQ， 82t+2+102t=2t+8+2t 当 秒时， PQ将梯形 ABCD周长平分 QC=3， PB=3， QE DH， ， ， QE=2.4， EC=1.8， BE=81.8=6.2， 四边形 PBCQ面积 =S 梯形 QEBP+S QEC= （ PB+QE） BE+ QEEC， = ， 所以 PQ不平分梯形 ABCD的面积； 第一种情况：当 0t4时过 Q点作 QH AB，垂足为 H AP=82t， AD=2， PD= CE= ， QE= ， QH=BE= ， BH=QE= PH= PQ= ， DQ= ： DQ=DP， = ，解得 秒 ： DQ=PQ， = ，化简得： ， 解得： ， （不合题意舍去）， ， 第二种情况： 4t 5时 DP=DQ=102t 当 4t 5时，以 DQ为腰的等腰 DPQ恒成立 第三种情况： 5 t6时 DP=DQ=2t10 当 5 t6时，以 DQ为腰的等腰 DPQ恒成立 综上所述， 或 4t 5或 5 t6时，以 DQ为腰的等腰 DPQ成立 考点： 1直角梯形； 2等腰直角三角形； 3动点型
