1、2015届江苏省江阴市青阳片九年级上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列线段能构成比例线段的是 （ ） A 1， 2， 3， 4 B 1， ， ， 2 C ， ， ， 1 D 2， 5， 3， 4 答案： B 试题分析： A 1423，故选项错误； B 12= ，故选项正确 C 1 ，故选项错误； D 2534，故选项错误 故选： B 考点：比例线段 李老师从 “淋浴龙头 ”受到启发编了一个题目： 在数轴上截取从 0到 3的对应线段 AB，实数 m对应 AB上的点 M，如图 1；将AB折成正三角形，使点 A， B重合于点 P，如图 2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于
2、y轴对称，且点 P的坐标为（ 0， 2）， PM与 x轴交于点N（ n， 0），如图 3当 时，求 n的值你解答这个题目得到的 n值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： AB=3， PDE是等边三角形， PD=PE=DE=1， 以 DE的垂直平分线为 y轴建立直角坐标系， PDE关于 y轴对称， PF DE， DF=EF， DE x轴， PF= ， PFM PON， m= ， FM= ， ，即 ，解得 ON= 故选 A 考点： 1相似三角形的判定与性质； 2实数与数轴； 3坐标与图形性质；4等边三角形的性质 如图，已知矩形 ABCD 矩形 ECDF，且 AB=BE，那么 BC与 A
3、B的比值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：设 BC=x， AB=y，则 AD=BC=x， BE=AB=y， EC=BCBE=xy 矩形 ABCD 矩形 ECDF， ，即 ， ， ， ， ， ， 故选 C 考点：相似多边形的性质 如图，在平面直角坐标系中，过格点 A、 B、 C作一圆 弧，点 B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ） A点（ 0， 3） B点（ 2， 3） C点（ 5， 1） D点（ 6， 1） 答案： C 试题分析：根据过格点 A， B， C作一圆弧， 由图形可得：三点组成的圆的圆心为： O（ 2， 0）， 只有 OBF= OBD+ EBF=90时， BF
4、与圆相切， 此时 BOD FBE， EF=BD=2， F点的坐标为：（ 5， 1）或（ 1， 3）或（ 7， 0）故选 C 考点： 1切线的性质； 2勾股定理； 3垂径定理； 4网格型 下列说法 不正确 的是（ ） A半圆（或直径）所对的圆周角是直角 B等边三角形的重心与外心重合 C相等的弧所对的圆心角相等 D平分弦的直径垂直于弦 答案： D 试题分析： A半圆（或直径）所对的圆周角是直角，故本选项正确； B等边三角形的重心与外心重合，故本选项正确； C相等的弧所对的圆心角相等，故本选项正确； D平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，如图，弦 AB和直径 CD就不垂直，故本选项错误； 故选 D
5、考点： 1圆心角、弧、弦的关系； 2垂径定理； 3圆周角定理 某商品原价 500元，连续两次降价 后售价为 200元， 下列所列方程正确的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：依题意得： 故选 D 考点： 1由实际问题抽象出一元二次方程； 2增长率问题 若 ， 是方程 的两个根，则 的值为（ ） A 6 B C 3 D 答案： A 试题分析：根据题意得 故选 A 考点：根与系数的关系 如图，已知 1= 2，那么添加下列一个条件后，仍 无法 判定 ABC ADE的是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 1= 2， DAE= BAC， A， C， D都可判定 ABC ADE，
6、选项 B中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选 B 考点：相似三角形的判定 一元二次方程 根的情况是 （ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 答案： C 试题分析： =5247=3 0， 方程没有实数根故选 C 考点：根的判别式 下列方程中，是一元二次方程的有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： B 试题分析：是一元二次方程的是： 共有 2个 是分式方程，不是一元二次方程； 是二元方程，故错误 故选 B 考点：一元二次方程的定义 填空题 如图，已知 AB是半圆的直径，且 AB=10，弦 AC=6，将半圆沿过点 A的直线折叠，使点 C落在
7、直径 AB上的点 C，则折痕 AD的长为 答案： 试题分析：设圆的圆心是 O，连接 OD，作 DE AB于 E， OF AC于 F 根据题意知， OF AC， AF= AC=3， CAD= BAD， ， 点 D是弧 BC的中点 DOB= OAC=2 BAD， 在 AOF和 OED中， OFA= OED， FAO= EDO， AO=DO， AOF OED（ AAS）， OE=AF=3， DO=5， DE=4， AD= 故答案：为： 考点： 1翻折变换（折叠问题）； 2勾股定理 某班师生十年后再次聚会，见面时相互握手一次，共握手 820次，问原来班级师生 人 . 答案： 试题分析：设这次参加聚会的
8、同学有 人，则每人应握（ ）次手，由题意得： ， 即： ，解得： ， （不符合题意舍去），所以，这次参加同学聚会的有 41人故答案：为： 41 考点：一元二次方程的应用 已知圆内一点 P到圆上各点的距离中最短距离为 2cm，最长距离为 8cm，则过 P点的最短弦长为 答案： 试题分析：如图， AE=8， EB=2， 圆的直径 AB=8+2=10，所以半径为 5，OE=5-2=3， CD AB， CD=2CE， 在 Rt OCE中， CE= cm， CD=2CE=8 故答案：为： 8 考点： 1点与圆的位置关系； 2垂径定理 如图， ABC中， AE交 BC于点 D， C E， AD 4， BC
9、 8， BD：DC 5： 3，则 DE的长等于 答案： 试题分析： ADC= BDE， C= E， ADC BDE， ， AD=4， BC=8， BD： DC=5： 3， BD=5， DC=3， DE= 故选 B 考点：相似三角形的判定与性质 如图， O 是 ABC 的外接圆， C=30， AB=2cm，则 O 的半径为 cm 答案： 试题分析：作直径 AD，连接 BD，得 ABD=90， D= C=30， AD=4，即圆的半径是 2 考点：三角形的外接圆与外心 给出下列几何图形： 两个圆； 两个正方形； 两个矩形； 两个正六边形； 两个等边三角形； 两个直角三角形； 两个菱形其中，一定相似的
10、有 _ _（填序号） 答案： 试题分析： 相似； 相似，因为正方形的对应边成比例，对应角相等，符合相似的条件； 不相似，因为没有指明边的情况，虽然其四个角均相等，不符合相似的条件； 相似，因为正六边形的对应边成比例，对应角相等，符合相似的条件； 相似，因为两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，符合相似的条件； 不相似，因为没有指明边的情况，不符合相似的 条件； 不相似，因为没有指明角的情况，不符合相似的条件； 故正确的有 ，故答案：为： 考点： 1相似三角形的判定； 2相似图形 已知 是方程 的一个根，则方程另一根为 . 答案： 试题分析： 的一个根为 ， 另一个根 故答案：为： 3 考点
11、：根与系数的关系 在比例尺为 1 2000000的地图上，量得 M、 N两地的距离为 2.5cm，则这两地间的实际距离为 _千米 答案： 试题分析：设两地之间的实际距离约为 x厘米，则 1 2000000=2.5： x，解得x=5000000， 5000000厘米 =50000米 =50千米；故答案：为： 50 考点：比例线段 解答题 （本题满分 10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整 . 原题：如图 1，在 ABCD中，点 E是 BC 边上的中点，点 F是线段 AE上一点，BF的延长线交射线 CD于点 G，若 ，求 的值 （ 1）尝
12、试探究 在图 1中，过点 E作 EH AB交 BG于点 H，则 AB和 EH的数量关系是 ， CG和 EH的数量关系是 ， 的值是 . （ 2）类比延伸 如图 2，在原题的条件下，若 则 的值是 （ 用含 的代数式表示），试写出解答过程 （ 3）拓展迁移 如图 3，梯形 ABCD中， DC AB，点 E是 BC延长线上一点， AE和 BD相交于点 F，若 ，则 的值是 （用 a， b含的代数式表示） . 答案：（ 1） AB=3EH； CG=2EH； ；（ 2） ；（ 3） 试题分析：（ 1）本问体现 “特殊 ”的情形， 是一个确定的数值如答图 1，过 E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三
13、角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用 EH来表示，最后求得比值； （ 2）本问体现 “一般 ”的情形， 不再是一个确定的数值，但（ 1）问中的解题方法依然适用，如答图 2所示 （ 3）本问体现 “类比 ”与 “转化 ”的情形，将（ 1）（ 2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图 3所示 试题：（ 1）依题意，过点 E作 EH AB交 BG于点 H，如右图 1所示 则有 ABF EHF， ， AB=3EH ABCD， EH AB， EH CD， 又 E为 BC中点， EH为 BCG的中位线， CG=2EH ， 故答案：为： AB=3EH； CG=2EH； ； （ 2）如右图 2所示，
14、作 EH AB交 BG于点 H，则 EFH AFB =m， AB=mEH AB=CD， CD=mEH， EH AB CD， BEH BCG =2， CG=2EH， 故答案：为： ； （ 3）如右图 3所示，过点 E作 EH AB交 BD的延长线于点 H，则有EH AB CD EH CD， BCD BEH， =b， CD=bEH 又 ， AB=aCD=abEH EH AB， ABF EHF， ， 故答案：为： 考点： 1相似形综合题； 2平行四边形的性质； 3梯形； 4相似三角形的判定与性质 （本题满分 10分）某公司投资新建了一商场，共有商铺 30间 .据预测，当每间的年租金定为 10万元时，
15、可全部租出 .每间的年租金每增加 5000元，少租出商铺 1间 .该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用 1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用 5000元 . （ 1）当每间商铺的年租金定为 13万元时，能租出多少间？ （ 2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益租金 -各种费用）为 275万元？ 答案：（ 1） 24；（ 2） 10.5或 15 试题分析：（ 1）直接根据题意先求出增加的租金是 6个 5000，从而计算出租出多少间； （ 2） 设每间商铺的年租金增加 x万元，直接根据收益 =租金 各种费用 =275万元作为等量关系列方程求解即可 试题：（ 1） （ 130
16、000100000） 5000=6， 能租出 306=24（间） （ 2）设每间商铺的年租金增加 x万元，则每间的租金是（ 10+x）万元， 5000元 =0.5万元，有 间商铺没有出租，出租的商铺有（ ）间，出租的商铺需要交（ ） 1 万元费用，没有出租的需要交 0.5万元的费用，则：， ，解得： ， ， 5+10=15万元； 0.5+10=10.5万元 每间商铺的年租金定为 10.5万 元或 15万元 考点： 1一元二次方程的应用； 2销售问题 （本题满分 10分）已知在 ABC中， AB ， AC ， BC 3 （ 1）如图，点 M为 AB的中点，在线段 AC上取点 N，使 AMN与 A
17、BC相似，求线段 MN的长； （ 2）如图，是由 100个边长为 1的小正方形组成的 1010的正方形网格， 设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形 请你在所给的网格中画出格点 A1B1C1与 ABC全等（画出一个即可，不需证明）； 试直接写出所给的网格中与 ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明） 答案：（ 1） 或 ；（ 2） 作图见试题； 8，作图见试题 试题分析：（ 1）需要分类讨论：当 ANM ABC和 AMN ABC时两种情况，利用相似三角形的对应边成比例来求 MN的值； （ 2）以所给网格的对角线作为原三角形中最长的边，可得每条对角线处可作 4个三
18、角形与原三角形相似，那么共有 8个 试题：（ 1）如图 1，当 ANM ABC时， MN AC， ， ； 当 AMN ABC时，有 ， M为 AB中点， ， AM= ， BC=3， AC= ， MN= ， MN的长为 或 ； （ 2） 如图 2， ABC就是所求图形， 每条对角线处可作 4 个三角形与原三角形相似，那么共有 8 个如图 2 所示 考点：相似三角形的判定与性质 （本题满分 10分） 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题例如：因为 ，所以 ，即： 有最小值 1，此时；同样，因为 ，所以 ，即 有最大值 6，此时 （ 1）当 = 时，代数式 有最 （填写大或小）值为
19、 （ 2）当 = 时，代数式 有最 （填写大或小）值为 （ 3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是 16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 答案：（ 1） 1，小， 3；（ 2） 2，大， 7；（ 3） 4， 32 试题分析：（ 1）由完全平方式的最小值为 0，得到 x=1时，代数式的最大值为3； （ 2）将代数式前两项提取 1，配方为完全平方式，根据完全平方式的最小值为 0，即可得到代数式的最大值及此时 x的值； （ 3）设垂直于墙的一边长为 m，根据总长度为 16m，表示出平行于墙的一边为（ ） m，表示出花园的面积，整理后配方，利用完全平方
20、式的最 小值为 0，即可得到面积的最大值及此时 x的值 试题：（ 1） ， 当 时， 的最小值为 0， 则当 时，代数式 的最小值为 3； （ 2）代数式 ，则当 时，代数式 的最大值为 7； （ 3）设垂直于墙的一边为 m，则平行于墙的一边为（ ） m， 花园的面积为 ， 则当边长为 4米时，花园面积最大为 32m2 考点：配方法的应用 （本题满分 10分）已知，如图，直线 MN交 O于 A， B两点， AC是直径， AD平分 CAM交 O于 D，过 D作 DE MN于 E （ 1）求证： DE是 O的切线； （ 2）若 DE=6cm， AE=3cm，求 O的半径 答案：（ 1）证明见试题；
21、（ 2） 7.5 试题分析：（ 1）连接 OD，根据平行线的判断方法与性质可得 ODE= DEM=90，且 D在 O上，故 DE是 O的切线 （ 2）由直角三角形的特殊性质，可得 AD的长，又有 ACD ADE根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径 试题：（ 1）连接 OD OA=OD， OAD= ODA OAD= DAE， ODA= DAE DO MN DE MN， ODE= DEM=90即 OD DE D在 O上， OD为 O的半径， DE是 O的切线 （ 2） AED=90， DE=6， AE=3， AD= ， 连接 CD AC是 O的直径， ADC= AED=90 C
22、AD= DAE， ACD ADE 则AC=15（ cm） O的半径是 7.5cm 考点： 1切线的判定； 2平行线的判定与性质； 3圆周角定理； 4相似三角形的判定与性质 （本题满分 6分）在等腰 ABC中，三边分别为 a、 b、 c，其中 ，若关于 x的方程 有两个相等的实数根，求 ABC的周长 答案： 试题分析：若一元二次方 程有两个相等的实数根，则根的判别式 =0，据此可求出 b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长 试题： 关于 x的方程 有两个相等的实数根， = ，即 ； 解得 ， （舍去）； 当 a为底， b为腰时，则 2+2 5，构不成三角形，此种
23、情况不成立； 当 b为底， a为腰时，则 52 5 5+2，能够构成三角形； 此时 ABC的周长为： 5+5+2=12； 故 ABC的周长是 12 考点： 1根与系数的关系； 2三角形三边关系； 3等腰三角形的性质 （本题满分 16分）解下列方程： （ 1） （ 2） （配方法） （ 3） （ 4） 答案：（ 1） ， ； （ 2） ， ； （ 3） ， ； （ 4） ， 试题分析：（ 1）移项后用直接开平方法解方程； （ 2）用配方法解方程； （ 3）移项后用因式分解法解方程； （ 4）整理后用十字相乘法分解因式 试题：（ 1） ， ， ； （ 2） ， ， ， ， ， ， ； （ 3） ，
24、 ， ， ； （ 4） ， ， ， 考点： 1、解一元二次方程 -直接开平方法； 2、解一元二次方程 -配方法； 3、解一元二次方程 -因式分解法 （本题满分 12 分）如图，在平面直角系中，点 A、 B 分别在 x轴、 y轴上，A（ 8， 0）， B（ 0， 6），点 P从点 B出发，沿 BA以每秒 1个单位的速度向点A运动，点 Q从点 A出发，沿 AO以每秒 1个单位的速度向点 O运动，当点 Q到达点 O时，两点同时停止运动，设点 Q的运动时间为 t秒 （ 1）用含 t的代数式表示 C点坐标； （ 2）如图 1，连接 PQ，过点 Q 作 QC AO 交 AB于点 C，在整个运动过程中，当
25、t为何值时， CPQ为等腰三角形？ （ 3）如图 2，以 QC为直径作 D， D与 AB的另一个公共点为 E问是否存在某一时刻 t，使得以 BC、 CE、 AE 的长为边的三角形为直角三角形？若存在，直接写出 一个 符合题意的 t的值；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） C（ ， ）；（ 2） 或 或 或 ；（ 3）或 试题分析：（ 1）根据勾股定理可求出 AB=10，易证 AQC AOB，由此可用 t的代数式表示出 QC、 OQ的长，从而解决问题 （ 2）可分四种情况（图 a、图 b、图 c、图 d），只需用 t的代数式表示出相关线段的长，然后建立方程，就可求出对应 t的值 （ 3）先用
26、t的代数式表示出 BC、 CE、 AE的长，可证 AE CE，只需分两种情况（ BC为斜边、 AE为斜边）进行讨论 ，运用勾股定理建立方程，就可求出符合题意的 t的值 试题：（ 1） A（ 8， 0）， B（ 0， 6）， OA=8， OB=6 AOB=90， AB=10 QC AO， CQA=90= BOA， QC OB， AQC AOB OA=8， OB=6， AB=10， AQ=t， ， QC= ， AC= OQ=OAAQ= ， 点 C的坐标为（ ， ） （ 2） 如图 a， CP=CQ CP=ABBPAC= ， CQ= ， ，解得： 如图 b， PC=PQ CQA=90， PCQ+ Q
27、AC=90， PQC+ AQP=90 PC=PQ， PCQ= PQC， AQP= QAC， PQ=PA， PC=PA， AC=2AP AC= ， AP= ， 解得： 如图 c， CQ=CP CQ= ， CP= ， ，解得： 如图 d， QC=QP 过点 Q作 QN AC于点 N， 则有 PN=CN= PC= QC OB， QCN= OBA CNQ= BOA=90， CNQ BOA， ， CN AB=OB CQ， ， 解得： 综上所述 ：当 t取 或 或 或 时， CPQ是等腰三角形 （ 3）如图 e，连接 QE CQ是 D的直径， CEQ=90 QEA=90= BOA EAQ= OAB， QEA BOA， AE= CE=ACAE= ， BC= ， AE CE CE不可能是斜边 BC为斜边， 则有 ，整理得：， 解得： ， ， ， AE为斜边， 则有 整理得： 解得： ， ， ， 综上所述：符合题意的 t的值为 或 考点： 1圆的综合题； 2解一元二次方程 -公式法； 3等腰三角形的判定与性质； 4相似三角形的判定与性质
