1、2015届福建省永定二中、三中、城关小学九年级上学期期中联考数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列方程是一元二次方程的是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：在上面四个方程中，为一元二次方程的是： 故选A 考点：一元二次方程的定义 如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数 （ ）的图象过正方形 ABOC 的三顶点 A、 B、 C，则 的值是 . 答案： -2 试题分析：设正方形的对角线 OA长为 2m，则 B（ m， m）， C（ m， m），A（ 0， 2m）；把 A， C的坐标代入式可得： ， ， 代入 得： ，解得： a= ，则 ac= 考点：二次函数综合题 已知二次函数 的图象如
2、图所示下列结论： ； ； ； ， 其中正确的个数有（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： D 试题分析： 抛物线开口向下， a 0， 抛物线的对称轴在 y轴的左侧， x= 0， b 0， 抛物线与 y轴的交点在 x轴上方， c 0， abc 0，（故 正确）； 1 0， 2ab 0，（故 正确）； 当 x=2时， y 0， 4a2b+c 0，（故 正确）； 当 x=1时， y 0， ab+c 0， 当 x=1时， y 0， a+b+c 0， （ ab+c）（ a+b+c） 0，即（ a+cb）（ a+c+b） 0， （ a+c） 2b2 0，（故 正确） 综上所述，正确的个数有 4个故
3、选 D 考点：二次函数图象与系数的关系 若一元二次方程式 的两根为 ，其中 a、 b为两数，则之值为（ ） A B C 3 D 5 答案： B 试题分析： ，两边同时除以 a得： ，两边直接开平方可得： ， 则 ， 两根为 ， ， ， 故选 B 考点：解一元二次方程 -直接开平方法 在同一直角坐标系中，函数 与 图象的交点个数为（ ） A 3 B 2 C 1 D 0 答案： B 试题分析：根据题意得： ，消去 y得到 ，整理得： ， 因为 =42412=8，方程有两个不相等的实数解，所以方程组有两组解，所以抛物线 与 图象有两个交点故选 B 考点：二次函数的性质 将抛物线 向上平移 2 个单位
4、长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线式是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ，即抛物线的顶点坐标为（ 3， 4），把点（ 3， 4）向上平移 2个单位长度，再向右平移 1个单位长度得到点的坐标为（ 4， 2），所以平移后得到的抛物线式为 故选 B 考点： 1二次函数图象与几何变换； 2几何变换 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A正方形 B矩形 C菱形 D平行四边形 答案： D 试题分析： A、 B、 C既是轴对称图形，也是中心对称图形； D不是轴对称图形，只是中心对称图形 故选 D 考点： 1中心对称图形； 2轴对称图形 如图，在 Rt ABC
5、中， ACB=90， A=40，以直角顶点 C 为旋转中心，将 ABC旋转到 ABC的位置，其中 A、 B分别是 A、 B的对应点，且点 B在斜边 AB上，直角边 CA交 AB于 D，则旋转角等于（ ） A 70 B 80 C 60 D 50 答案： B 试题分析： 将 ABC旋转到 EFC的位置，其中 E、 F分别是 A、 B的对应点， BC=FC， ABC= F， A= E， F= FBC， A= E=40， ACB= ECF=90， F= FBC=9040=50， BCF=1805050=80，即旋转角等于 80故选 B 考点：旋转的 性质 如图，已知 O 的半径为 5mm，弦 AB=8
6、mm，则圆心 O 到 AB的距离是（ ） A 1mm B 2mmm C 3mm D 4mm 答案： C 试题分析：作 OD AB于 D根据垂径定理知 OD垂直平分 AB，所以AD=4mm，又因为 OA=5mm，根据勾股定理可得， OD=3mm故选 C 考点： 1垂径定理； 2勾股定理 用配方法解方程 时，配方后得的方程为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：把方 的常数项移到等号的右边，得到 ，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 ，配方得故选 D 考点：解一元二次方程 -配方法 若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值是（ ） A -2 B -3 C 2 D 3 答案： B
7、试题分析： ， 是一元二次方程 的两个根， =3故选B 考点：根与系数的关系 填空题 P为 O 内一点， OP=3cm， O 半径为 5cm，则经过 P点的最短弦长为_ 答案： 试题分析：当弦与 OP垂直时，弦最短 CP= =4，则CD=2CP=8 故答案：是： 8 考点： 1垂径定理； 2勾股定理 为迎接元旦活跃校园气氛，我校组织班际三人篮球赛，比赛采用双循环赛制（即参加球赛的每两队之间都进行两次比赛），共要比赛 56场，则有个班级参加比赛 答案： 试题分析：设有 x 队参加比赛则 ， ，解得 x=8，x=7（不合题意，舍去）故答案：为： 8 考点： 1一元二次方程的应用； 2比赛问题 某商
8、品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125元降到 80元，设平均每次降价的百分率为 x，则可列方程： 答案： 试题分析：设这种商品平均每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得， 故答案：为： 考点： 1一元二次方程的应用； 2增长率问题 如图，在 ABC中， ACB 90， ABC 30， AC 1现在将 ABC绕点 C逆时针旋转至 ABC，使得点 A恰好落在 AB上，连接 BB，则 BB的长度为 答案： . 试题分析： Rt ABC中， ACB=90， ABC=30， AC=1， AC=AC=1，AB=2， BC= ， A=60， AAC是等边三角形， AA= AB=1， AC=AB， A
9、CB= ABC=30， ABC是 ABC旋转而成， ACB=90， BC=BC， BCB=9030=60， BCB是等边三角形， BB=BC= 故答案：为： 考点： 1旋转的性质； 2等边三角形的判定与性质； 3勾股定理 抛物线 的顶点坐标是 答案：（ 1， -4） 试题分析： 原抛物线可化为： ， 其顶点坐标为（ 1，4）故答案：为：（ 1， 4） 考点：二次函数的性质 如果点 P（ -3， 1），那么点 P（ -3， 1）关于原点的对称点 P的坐标是P_ 答案：（ 3， -1） 试题分析：根据中心对称的性质，得点 P（ 3， 1）关于原点对称的点的坐标是（ 3， 1）故答案：为：（ 3，
10、-1） 考点：关于原点对称的点的坐标 方程： 的解为 ； 答案： ， . 试题分析： ， ， ， ， .故答案：为：， 考点：解一元二次方程 -因式分解法 解答题 （ 12分）如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC和 DEC重合放置，其中 C=90， B= E=30. （ 1）操作发现 如图 2，固定 ABC，使 DEC绕点 C旋转，当点 D恰好落在 AB边上时，填空： 线段 DE与 AC 的位置关系是 _；（ 2分） 设 BDC的面积为 S1， AEC的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是_.（ 2分） （ 2）猜想论证 当 DEC绕点 C旋转到图 3所示的位置时，小明猜想（ 1
11、）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 BDC和 AEC中 BC、 CE边上的高，请你证明小明的猜想（ 5分） （ 3）拓展探究 已知 ABC=60，点 D是其角平分线上一点， BD=CD=4， DE/AB交 BC 于点E（如图 4） . 若在射线 BA上存在点 F，使 ，请 直接写出 相应的 BF 的长： BF（ 3分） 答案：（ 1） DE AC； ；（ 2）成立，证明见试题；（ 3）或 试题分析：（ 1） 根据旋转的性质可得 AC=CD，然后求出 ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得 ACD=60，然后根据内错角相等，两直线平行解答； 根据等边三角形的性质可得 A
12、C=AD，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出 AC= AB，然后求出 AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点 C到 AB的距离等于点 D到 AC 的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答； （ 2）根据旋转的性质可得 BC=CE， AC=CD， 再求出 ACN= DCM，然后利用 “角角边 ”证明 ACN 和 DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明； （ 3）过点 D作 DF1 BE，求出四边形 BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得 BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点 F1为所求的点，过点
13、D作 DF2 BD，求出 F1DF2=60，从而得到 DF1F2是等边三角形，然后求出 DF1=DF2，再求出 CDF1= CDF2，利用 “边角边 ”证明 CDF1和 CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点 F2也是所求的点，然后在等腰 BDE中求出BE的长，即可得解 试题：（ 1） DEC绕点 C旋转点 D恰好落在 AB边上， AC=CD， BAC=90 B=9030=60， ACD是等边三角形， ACD=60， 又 CDE= BAC=60， ACD= CDE， DE AC； B=30， C=90， CD=AC= AB， BD=AD=AC， 根据等边三角形的性质， ACD的边 AC、
14、 AD上的高相等， BDC的面积和 AEC的面积相等（等 底等高的三角形的面积相等），即S1=S2； 故答案：为： DE AC； S1=S2； （ 2）如图， DEC是由 ABC绕点 C旋转得到， BC=CE， AC=CD， ACN+ BCN=90， DCM+ BCN=18090=90， ACN= DCM， 在 ACN 和 DCM中， ACN= DCM， CMD= N=90， AC=CD， ACN DCM（ AAS）， AN=DM， BDC的面积和 AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即 S1=S2； （ 3）如图，过点 D作 DF1 BE，易求 四边形 BEDF1是菱形，所以 B
15、E=DF1，且BE、 DF1上的高相等， 此时 S DCF1=S BDE；过点 D作 DF2 BD， ABC=60， F1D BE， F2F1D= ABC=60， BF1=DF1， F1BD= ABC=30， F2DB=90， F1DF2= ABC=60， DF1F2是等边三角形， DF1=DF2， BD=CD， ABC=60，点 D是角平分线上一点， DBC= DCB=60=30， CDF1=180 BCD=18030=150， CDF2=36015060=150， CDF1= CDF2，在 CDF1和 CDF2中， DF1=DF2， CDF1= CDF2，CD=CD， CDF1 CDF2（
16、 SAS）， 点 F2也是所求的点， ABC=60，点 D是角平分线上一点， DE AB， DBC= BDE= ABD= 60=30， 又 BD=4， BE= 4cos30= ， BF1= ， BF2=BF1+F1F2=， 故 BF 的长为 或 考点：全等三角形的判定与性质 （ 12分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10元，每天可售出 500千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1元，日销售量将减少 20千克 . （ 1）设每天盈利 w元，求出 w关于 x的函数关系式，并说明每天盈利是否可以达到 8000元？（ 6分） （ 2）若该商场要保证每天盈利 600
17、0元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（ 6分） 答案：（ 1） ，不能；（ 2） 5 试题分析：（ 1）设每千克涨价 x元，利润为 y元，根据总利润 =每千克利润 数量建立式子，求出 y与 x之间的关系，化成顶点式即可求 出结论， （ 2）把 y=6000代入（ 1）的式，根据题意使顾客得到实惠就可以得出结论 试题：（ 1）设每千克涨价 x元，利润为 y元，由题意，得： a=20 0， 抛物线开口向下，当 x=7.5时， y最大值 =6125， 每天盈利不能达到 8000元 （ 2）当 y=6000时， ，解得： ， ， 要使顾客得到实惠， x=5 答：每千克应涨价为 5元
18、考点：二次函数的应用 （ 12分）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系 xoy ABC的三个顶点都在格点上，点 A、 B、 C的坐标分别是 A（ 4， 4 ）、 B（ 1， 2 ）、 C（ 3， 2 ），请解答下列问题； （ 1）将 ABC向下平移 5个单位长度，画出平移后的 A1B1C1；（ 3分） （ 2）画出 A1B1C1关于 y轴对称的 A2B2C2；（ 3分） （ 3）将 ABC绕点 O 逆时针旋转 90，画出旋转后的的 A3B3C3并写出点A3的坐标： A3（ ， ）；（ 6分） 答案：（ 1）作图见试题；（ 2）作图见试题；（ 3）作图见试题， A3（ 1，3） 试题分析：
19、（ 1）由将 ABC向下平移 5个单位长度，画出平移后的 A1B1C1，即可知横坐标不变，纵坐标减 5，则可在平面直角坐标系中画出； （ 2）由 A1B1C1关于 y轴对称的是 A2B2C2，即可知纵坐标不变，横坐标互为相反数，在平面直角坐标系中画出即可； （ 3）由将 ABC绕点 C逆时针旋转 90，则可知旋转角为 90，注意是逆时针旋转即可画出图形 试题：（ 1）如图：点 A的对应点 A1的坐标为（ 4， 1）； （ 2）如图： A2B2C2即是 A1B1C1关于 y轴对称得到的； （ 3）如图： A3B3C 即是将 ABC 绕点 C 逆时针旋转 90得到的， A3（ 1， 3） 考点：
20、1作图 -旋转变换； 2作图 -轴对称变换； 3作图 -平移变换 （ 8分）已知二次函数 . （ 1）证明：无论 m为何值，函数图象与 x轴都有交点；（ 4分） （ 2）当图象的对称轴为直线 时，求它与坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积（ 4分） 答案：（ 1）证明见试题；（ 2） 60 试题分析：（ 1）判断函数图象与 x轴的交点情况，就要列出判别式，用配方法确定判别式大于 0； （ 2）已知对称轴，可以用对称轴的公式求出本题中的待定系数，确定函数式，再根据图象求面积 试题：（ 1） b24ac=， 无论 m取何值，函数图象与 x轴都有两个不相同的交点； （ 2）由对称轴 得： ，解得 ，
21、 二次函数为 与 x轴的两交点是（ -3， 0），（ 5， 0）；与 y轴交点是（ 0， 15）， 面积为： 考点：抛物线与 x轴的交点 （ 8分）已知关于 x的方程 有一个实数根 -2求 n的值与另一个根 答案： -2， 1 试题分析：设方程另一根为 ，由根与系数的关系即可求出 n 的值与另一个根 试题：设方程另一根为 ，由根与系数的关系得： ，解得： ， 方程另一根为 1 考点：根与系数的关系 （ 8分）如图， AOB中， OA OB，以 O 为圆心的圆经过 AB上两点 C、D，则 AC 与 BD相等吗？ 请说明理由 答案： AC=BD，理由见试题 试题分析：过 O 作 OE AB于 E，
22、则 OE满足垂径定理，并且 OE是等腰三角形底边上的高线，满足三线合一定理就可以得到 试题： AC=BD，理由如下： 如图，过 O 作 OE AB于 E， OA=OB， OE AB于 E， AE=BE，又 CD是 O 的弦， OE CD， CE=DE， AECE=BEDE， 即 AC=BD 考点： 1垂径定理； 2等腰三角形的性质 解下列方程：（每小题 6分，共 12分） （ 1） （ 2） 答案：（ 1） ， ；（ 2） ， 试题分析：（ 1） ， ， ， ， ； （ 2） ， ， ， 考点： 1、解一元二次方程 -配方法； 2、解一元二次方程 -因式分解法 （ 14分）如图，抛物线 交 x
23、轴于点 A（ -3， 0），点 B（ 1，0），交 y轴于点 E（ 0， -3）点 C是点 A关于点 B的对称点，点 F是线段BC 的中点，直线 l过点 F且与 y轴平行直线 过点 C，交 y轴于 D点 （ 1）求抛物线的函数表达式；（ 3分） （ 2）点 K 为线段 AB上一动点，过点 K 作 x轴的垂线与直线 CD交于点 H，与抛物线交于点 G，求线段 HG长度的最大值；（ 4分） （ 3）在直线 l上取点 M，在抛物线上取点 N，使以点 A， C， M， N 为顶点的四边形是平行四边形，求点 N 的坐标（ 7分） 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） N(-5， 12)或 (11， 1
24、40)或 (-1，-4) 试题分析：（ 1）把点 E， A、 B的坐标代入函数表达式，即可求出 a、 b、 c的值； （ 2）根据 C点的坐标求出直线 CD的式，然后结合图形设出 K 点的坐标（ t，0），表达出 H点和 G点的坐标，列出 HG关于 t的表达式，根据二次函数的性质求出最大值； （ 3）需要讨论解决， 若线段 AC 是以点 A、 C， M、 N 为顶点的平行四边形的边，当点 N 在点 M的左 侧时， MN=3n；当点 N 在点 M的右侧时，MN=n3，然后根据已知条件在求 n的坐标就容易了 若线段 AC 是以点 A、 C， M、 N 为顶点的平行四边形的对角线时，由 “点 C与点
25、 A关于点 B中心对称 ”知：点 M与点 N 关于点 B中心对称，取点 F关于点B的对称点 P，则 P点坐标为（ 1， 0），过 P点作 NP x轴，交抛物线于点N，结合已知条件再求 n的坐标就容易了 试题：（ 1）设抛物线的函数表达式为 ， 抛物线交 y轴于点 E（ 0， 3），将该点坐标代入上式，得 a=1， 所求函数表达式为 ，即 ； （ 2） 点 C是点 A关于点 B的对称点，点 A坐标（ 3， 0），点 B坐标（ 1，0）， 点 C坐标（ 5， 0）， 将点 C坐标代入 ，得 m=5， 直线 CD的函数表达式为 ， 设 K 点的坐标为（ ， 0），则 H 点的坐标为（ ， ）， G
26、点的坐标为（ ，）， 点 K 为线段 AB上一动点， 3t1， HG=（ ） （ ） =， 3 1， 当 时，线段 HG的长度有最大值 ； （ 3） 点 F是线段 BC 的中点，点 B（ 1， 0），点 C（ 5， 0）， 点 F的坐标为（ 3， 0）， 直线 l过点 F且与 y轴平行， 直线 l的函数表达式为 x=3， 点 M在直线 l上， 点 N 在抛物线上， 设点 M的坐标为（ 3， m），点 N 的坐标为（ n， ）， 点 A（ 3， 0），点 C（ 5， 0）， AC=8， 分情况讨论： 若线段 AC 是以点 A、 C， M、 N 为顶点的平行四边形的边，则需 MN AC，且 MN=
27、AC=8 当点 N 在点 M的左侧时， MN=3n， 3n=8，解得 n=5， N 点的坐标为（ 5， 12）， 当点 N 在点 M的右侧时， MN=n3， n3=8，解得 n=11， N 点的坐标为（ 11， 140）， 若线段 AC 是以点 A、 C， M、 N 为顶点的平行四边形的对角线，由 “点 C与点 A关于点 B中心对称 ”知：点 M与点 N 关于点 B中心对称，取点 F关于点 B的对称点 P，则 P点坐标为（ 1， 0） 过 P 点作 NP x 轴，交抛物线于点 N，将 代入 ，得 y=4， 过点 N 作直线 NM交直线 l于点 M， 在 BPN 和 BFM中， NBP= MBF， BF=BP， BPN= BFM=90， BPN BFM， NB=MB， 四边形 ANCM为平行四边形， 坐标（ 1， 4）的点 N 符合条件， 当 N 的坐标为（ 5， 12），（ 11， 140），（ 1， 4）时，以点 A、 C、 M、N 为顶点的四边形为平行四边形 考点：二次函数综合题
