1、2014届北京市万寿寺中学九年级上学期期末统一检测数学试卷与答案（带解析） 选择题 抛物线 的顶点坐标是 ( ) A（ 2， 1） B（ -2， -1） C（ -2， 1） D（ 2， -1） 答案： A. 试题分析：由二次函数的顶点式 直接写出顶点坐标是（ 2， 1） .故选 A. 考点：二次函数的性质 . 下列图形中，是中心对称图形的是 ( ) A B C D 答案： C. 试题分析：中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180度后与原图重合，因此符合的是选项 C.故选 C. 考点：中心对称图形 . 如图，在 ABC中，若 DE BC， AD=5， BD=10， DE=4，则 BC的值为 (
2、) A 8 B 9 C 10 D 12 答案： D. 试题分析：由 DE BC可推出 ADE ABC，所以 . 因为 AD=5， BD=10， DE=4，所以 ，解得 BC=12 故选 D. 考点：相似三角形的判定与性质 如图，若 AB是 O的直径， CD是 O的弦， ABD=58，则 C的度数为 ( ) A 116 B 58 C 42 D 32 答案： D 试题分析： AB是 O的直径， ADB=90. ABD=58， A=32. C=32 故选 D 考点： 1.圆周角定理； 2.直角三角形的性质 已知 x=1是方程 的一个根，那么此方程的另一个根为 ( ) A -2 B -1 C 1 D
3、2 答案： A. 试题分析： x=1是方程 的一个根， . 设方程的另一根为 y，则 . 故选 A. 考点：一元二次方程的根和根与系数的关系 . 如图，直径 AB为 6的半圆 O，绕 A点逆时针旋转 60，此时点 B 到了点 ，则图中阴影部分的面积为 ( ) A 6 B 5 C 4 D 3 答案： A. 试题分析：从图中可以看出阴影部分的面积 =扇形 ABB面积 +半圆 AB面积 -半圆 AB面积，根据旋转的性质有半圆 AB面积 =半圆 AB面积，从而阴影部分的面积等于扇形 ABB面积，依扇形的面积公式计算，得阴影部分的面积 =.故选 A. 考点： 1.旋转的性质； 2.扇形面积的计算； 3.
4、转换思想的应用 已知二次函数 的图象如图所示，那么一次函数与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： 二次函数图象开口向上， a 0. 对称轴为直线 ， b=-a 0. 当 x=-1时， a-b+c 0， -b-b+c 0，即 c-2b 0. 抛物线与 x轴有两个交点， b2-4ac 0. 一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象经过第一、三象限 故选 B 考点： 1.一次函数、反比例函数和二次函数图象； 2.数形结合思想的应用 . 填空题 如图，在 Rt ABC中， ACB=90， ABC=30，直角 MON的顶点 O在 AB上， OM、
5、 ON分别交 CA、 CB于点 P、 Q， MON绕点 O任意旋转当 时 , 的值为 ；当 时， 为 .(用含 n的式子表示 ) 答案： ； . 试题分析：如图，过点 O作 OH AC于 H， OG BC于 G， OHP= OGQ=90. ACB=90， 四边形 HCGO为矩形 . HOG=90. HOP= GOQ. PHO QGO. 又 AHO OGB, 当 时 ，由 ABC=30，设 AH=x,则 OA=2x， OH= ，OB=4x,OG=2x, 当 时 ，由 ABC=30，设 AH=x,则 OA=2x， OH= ，OB=4nx,OG=2nx, 考点： 1.相似三角形的判定和性质； 2.含
6、 30 度角的直角三角形； 3.旋转的性质 如图， O是 ABC的外接圆， BAC=60,若 O的半径 OC为 2，则弦BC的长为 答案： . 试题分析： BAC=60， BOC=2 BAC=260=120. 如图，过点 O作 OD BC于点 D， OD过圆心， 由垂径定理可知 CD= BC， DOC= BOC=60. CD=OCsin60=2 = . BC=2CD=2 . 考点： 1.圆周角定理； 2.垂径定理； 3.解直角三角形 将抛物线 向左平移 2个单位，再向上平移 1个单位后，得到的抛物线的式为 答案： . 试题分析： 将抛物线 向左平移 2个单位，再向上平移 1个单位， 抛物线 的
7、顶点（ 0， 0）也同样向左平移 2个单位，再向上平移 1个单位，得到新 抛物线的的顶点（ -2， 1） . 平移后得到的抛物线的式为 . 考点： 1.平移的性质； 2.二次函数的性质 . 已知关于 x的一元二次方程有一个根为 0请你写出一个符合条件的一元二次方程是 答案： （答案：不唯一） . 试题分析： 关于 x的一元二次方程有一个根为 0， 符合条件的一元二次方程为 . 符合条件的一元二次方程可以为 ，即 . 考点： 1.开放型； 2.一元二次方程的根 . 解答题 已知 ABC和 ADE是等腰直角三角形， ACB= ADE=90，点 F为 BE中点，连结 DF、 CF. （ 1）如图 1
8、,当点 D在 AB上，点 E在 AC上，请直接写出此时线段 DF、 CF的数量关系和位置关系（不用证明）； （ 2）如图 2，在（ 1）的条件下将 ADE绕点 A顺时针旋转 45时，请你判断此时（ 1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断； （ 3）如图 3，在（ 1）的条件下将 ADE绕点 A顺时针旋转 90时，若 AD=1，AC= ，求此时线段 CF的长 (直接写出结 果 ). 答案：（ 1） DF=CF，且 DF CF；（ 2）（ 1）中的结论仍然成立，证明见；（ 3） . 试题分析：（ 1）根据 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ”可知 DF=BF，根据 DFE=2 DCF， B
9、FE=2 BCF，得到 EFD+ EFB=2 DCB=90，DF BF； （ 2）延长 DF交 BC于点 G，先证明 DEF GCF，得到 DE=CG， DF=FG，根据 AD=DE， AB=BC，得到 BD=BG又因为 ABC=90，所以 DF=CF且DF BF； （ 3）延长 DF交 BA于点 H，先证明 DEF HBF，得到 DE=BH， DF=FH，根据旋转条件可以 ADH为直角三角形，由 ABC和 ADE是等腰直角三角形， AC= ，可以求出 AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出 DH，再求出 DF，由 DF=BF，求出得 CF的值 试题：（ 1） ACB= ADE=90，点 F为
10、 BE中点， DF= BE， CF= BE. DF=CF ABC和 ADE是等腰直角三角形， ABC=45. BF=DF， DBF= BDF. DFE= ABE+ BDF， DFE=2 DBF. 同理得： CFE=2 CBF， EFD+ EFC=2 DBF+2 CBF=2 ABC=90. DF=CF，且 DF CF （ 2）（ 1）中的结论仍然成立证明如下： 如图，此时点 D落在 AC上，延长 DF交 BC于点 G ADE= ACB=90， DE BC DEF= GBF， EDF= BGF F为 BE中点， EF=BF DEF GBF DE=GB， DF=GF AD=DE， AD=GB. AC
11、=BC， AC-AD=BC-GB. DC=GC ACB=90， DCG是等腰直角三角形 . DF=GF， DF=CF， DF CF （ 3）如图，延长 DF交 BA于点 H， ABC和 ADE是等腰直角三角形， AC=BC， AD=DE AED= ABC=45. 由旋转可以得出， CAE= BAD=90， AE BC， AEB= CBE. DEF= HBF F是 BE的中点， EF=BF. DEF HBF. ED=HB. AC= ，在 Rt ABC中，由勾股定理，得 AB=4. AD=1， ED=BH=1. AH=3. 在 Rt HAD中，由勾股定理，得 DH= ， DF= ， CF= . 线
12、段 CF的长为 . 考点： 1.等腰直角三角形的性质； 2.全等三角形的判定和性质； 3.勾股定理 已知：关于 的方程 . （ 1）当 a取何值时，方程 有两个不相等的实数根； （ 2）当整数 a取何值时，方程 的根都是正整数 . 答案：（ 1） a1且 a3；（ 2） 1， 2， 3. 试题分析：（ 1）根据关于 x的方程 有两个不相等的实数根，则 0，且二次项系数不为 0，列出不等式组，即可求出 a的取值范围 （ 2）分 a-1=0和 a-10两种情况讨论， 当 a-1=0时，即 a=1时，原方程变为 -2x+2=0方程 的解为 x=1； 根据方程有实数根，得出判别式 0，再利用公式法求出
13、方程的根，根据方程 都是正整数根，得出 a的取值范围，即可得出答案： 试题：（ 1） 方程 有两个不相等的实数根， ，即 ，即 ，即 . 当 a1且 a3时，方程 有两个不相等的实数根 （ 2） 当 a-1=0时，即 a=1时，原方程变为 -2x+2=0 方程的解为 x=1. 当 a-10时，原方程为一元二次方程 ，解得 x1=1， . 方程 都是正整数根， 只需 为正整数 当 a-1=1时，即 a=2时， x2=2； 当 a-1=2时，即 a=3时， x2=1. a取 1， 2， 3时，方程 的根都是正整数 考点： 1. 一元二次方程根的判别式； 2.解一元二次方程 -公式法； 3.配方法的
14、应用； 4.分类思想的应用 李经理在某地以 10元 /千克的批发价收购了 2 000千克核桃，并借一仓库储存在存放过程中，平均每天有 6千克的核桃损耗掉，而且仓库允许存放时间最多为 60天若核桃的市场价格在批发价的基础上每天每千克上涨 0.5元。 （ 1）存放 x天后，将这批核桃一次性出售，如果这批核桃的销售总金额为 y元，试求出 y与 x之间的函数关系式； （ 2）如果 仓库存放这批核桃每天需要支出各种费用合计 340元，李经理要想获得利润 22 500元，需将这批核桃存放多少天后出售？（利润销售总金额 -收购成本 -各种费用） 答案：（ 1） y=-3x2+940x+20000（ 1x60
15、，且 x为整数）；（ 2） 50. 试题分析：（ 1）根据原价为 10，每天每千克上涨 0.5元，以及平均每天有 6千克的核桃损耗掉，即可得出销售总金额为 y元与 x的关系； （ 2）根据（ 1）中关系式进而去掉成本和每天需要支出各种费用合计 340元，即可得出利润 试题：（ 1）由题意得 y与 x之间的函数关系式为 y=（ 10+0.5x）（ 2000-6x） =-3x2+940x+20000（ 1x60，且 x为整数） （ 2）由题意得： -3x2+940x+20000-102000-340x=22500 解方程得： x1=50， x2=150（不合题意，舍去） 答：李经理想获得利润 22
16、500元需将这批核桃存放 50天后出售 考点： 1.二次函数的应用； 2.解一元二次方程 -因式分解法 如图，已知直线 PA交 O于 A、 B两点， AE是 O的直径 ,点 C为 O上一点，且 AC平分 PAE，过 C作 CD PA，垂足为 D. （ 1）求证： CD为 O的切线； （ 2）若 CD=2AD， O的直径为 10，求线段 AC的长 . 答案：（ 1）证明见；（ 2） 6. 试题分析：（ 1）要证 CD为 O的切线，只要证 CD垂直于对切点的半径，故作辅助线：连接 OC，由三角形三个内角和为 180的性质和等腰三角形的判定和性质，即能证出 DCO =90，从而得证； （ 2）要求
17、AB 的长，就要考虑它是三角形中的线段或与三角形中的线段有关系，根据垂径定理，只要作 OF AB，即有 AB=2AF，故只要求出 AF即可，由勾股定理和等量代换即可求得 . 试题：（ 1）如图，连接 OC, 点 C在 O上， OA=OC, OCA= OAC. CD PA， CDA=90. CAD+ DCA=90. AC平分 PAE， DAC= CAO. DCO= DCA+ ACO= DCA+ CAO= DCA+ DAC=90. 又 点 C在 O上， OC为 O的半径， CD为 O的切线 . （ 2）如图，过 O作 OF AB，垂足为 F， OCA= CDA= OFD=90. 四边形 OCDF为
18、矩形， OC=FD， OF=CD. CD=2AD，设 AD=x，则 OF=CD=2x， O的直径为 10， DF=OC=5， AF=5-x. 在 Rt AOF中，由勾股定理得 . 即 ，化简得： ，解得 或 （舍去） . AD=2, AF=5-2=3. OF AB，由垂径定理知， F为 AB的中点， AB=2AF=6. 考点： 1.三角形内角和定理； 2.等腰三角形的判定和性质； 3.圆的切线的判定；4.矩形的判定和性质； 5.勾股定理； 6.等量代换； 7.解一元二次方程； 8.垂径定理 . 如图，邻边不等的矩形花圃 ABCD，它的一边 AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是 6m
19、若矩形的面积为 4m2，请你计算 AB的长度（可利用 的围墙长度超过 6m） 答案： m 试题分析：根据栅栏的总长度是 6m， AB=xm，则 BC=（ 6-2x） m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可 试题：设 AB=xm，则 BC=（ 6-2x） m 根据题意可得， x（ 6-2x） =4 解得 x1=1， x2=2（舍去） . 答： AB的长为 1m 考点：一元二次方程的应用（几何问题） 为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案 .已知测量同学眼睛 A、标杆顶端 F、树的顶端 E在同一直线上，此同学眼睛距地面 1.6米，标杆
20、为 3.1米，且 BC=1米， CD=5米，请你根据所给出的数据求树高 ED. 答案： .6米 . 试题分析：首先做出辅助线，得出 AHF AGE，进而求出 GE的长，进而求出 ED的长 试题：如图，过点 A作 AG DE于点 G，交 CF于点 H 由题意可得 四边形 ABCH、 ABDG、 CDGH都是矩形， AB CF DE AHF AGE . 由题意可得 AH=BC=1， AG=BD=6， FH=FC-HC=FC-AB=3.1-1.6=1.5 GE=9 ED=GE+DG=GE+AB=9+1.6=10.6 答：树高 ED为 10.6米 考点：相似三角形的应用 已知二次函数 y=x2+bx+
21、c中，函数 y与自变量 x的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 4 y 8 3 0 -1 0 3 （ 1）求该二次函数的式； （ 2）当 x为何值时， y有最小值，最小值是多少？ （ 3）若 A（ m,y1） ,B(m+2,y2)两点都在该函数的图象上，计算当 m 取何值时，？ 答案：（ 1） y=x2-4x+3；（ 2）当 x=2时， ymin=-1；（ 3） m 1 试题分析：（ 1）由表格得到二次函数与 x轴的两交点坐标，设出二次函数的两根式方程，将（ 0， 3）代入求出 a的值，即可确定出二次函数式； （ 2）将（ 1）得出的函数式配方后，根据完全平方式大于等于 0，即可求出
22、 y的最小值，以及此时 x的值； （ 3）将 A点坐标代入二次函数式中表示出 y1， B坐标代入表示出 y2，由 y1 y2列出关于 m的不等式，求出不等式的解集即可得到 m的范围 试题：（ 1）由表格得：二次函数与 x轴的两交点分别为（ 1， 0），（ 3， 0）， 设二次函数式为 y=a（ x-1）（ x-3）， 将 x=0， y=3代入得： 3=3a，即 a=1， 则二次函数式为 y=（ x-1）（ x-3） =x2-4x+3. （ 2）由（ 1） y=x2-4x+3=（ x-2） 2-1， 则当 x=2时， ymin=-1. 将 A坐标代入二次函数式得： y1=m2-4m+3； B坐标
23、代入二次函数式得： y2=（ m+2） 2-4（ m+2） +3=m2-1， 若 y1 y2，则 m2-4m+3 m2-1， 解得： m 1 考点： 1.待定系数法求二次函数式； 2.二次函数图象上点的坐标特征； 3.二次函数的最值 在平面直角坐标系 xoy中，已知 ABC三个顶点的坐标分别为. （ 1）画出 ABC； （ 2）画出 ABC绕点 A顺时针旋转 后得到的 AB1C1，并求出 CC1的长 . 答案：（ 1）作图见；（ 2）作图见， 10. 试题分析：（ 1）根据平面直角坐标系以及网格结构的特点找出点 A、 B、 C的位置，然后顺次连接即可； （ 2）找出点 B、 C绕点 A顺时针旋
24、转 90的位置，然后顺次连接即可，根据网格结构，利用勾股定理列式进行计算即可求解 试题：（ 1）如图所示， ABC即为所求； 如图所示， AB1C1即为所求，根据网格结构以及勾股定理，得. 考点： 1.作图 -旋转变换； 2.坐标与图形性质； 3.勾股定理 如图，在 ABC中，点 D在边 AB上，满足且 ACD= ABC，若 AC=2，AD=1，求 DB的长 . 答案： . 试题分析：根据 ACD= ABC， A是公共角，得出 ACD ABC，再利用相似三角形的性质进而得出 AB的长，求出答案：即可 试题： ACD= ABC， BAC= CAD， ADC ACB. . AC=2， AD=1，
25、. DB=AB-AD=3. 考点：相似三角形的判定和性质 . 已知排水管的截面为如图所示的圆 O,半径为 10，圆心 O 到水面的距离是 6，求水面宽 AB. 答案： . 试题分析：过 O点作 OC AB，连接 OB，由垂径定理可得出 AB=2BC，在Rt OBC中利用勾股定理即可得出 BC的长，进而可得出 AB的长 试题：如图，过 O点作 OC AB，连接 OB， 根据垂径定理得出 AB=2BC，再根据勾股定理求出 BC= ，从而求得 AB=2BC=28=16. 考点： 1.垂径定理； 2.勾股定理 . 解方程： . 答案： . 试题分析：直接应用公式法解一元二次方程 . 试题： ， . 原
26、方程的解为 . 考点：解一元二次方程 . 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 与 x轴交于 A、 B两点（点 A在点 B的左侧），与 y轴交于点 C（ 0,4）， D为 OC的中点 . （ 1）求 m的值； （ 2）抛物线的对称轴与 x轴交于点 E，在直线 AD上是否存在点 F，使得以点A、 B、 F为顶点的三角形与 ADE 相似？若存在，请求出点 F的坐标，若不存在，请说明理由； （ 3）在抛物线的对称轴上是否存在点 G，使 GBC中 BC边上的高为 ？若存在，求出点 G的坐标；若不存在请说明理由 答案：（ 1） -1；（ 2）（ 1， 4）或（ ， 5）；（ 3）（ ， ）或（ ，） 试题
27、分析：（ 1）由抛物线 与 y轴交于点 C（ 0， 4），把 C点的坐标代入式建立方程，求出方程的解，就可以求出 m的值； （ 2）先求出抛物线与 x轴的交点坐标，根据抛物线的对称性求出 E点的坐标，然后根据对应角不同的情况就可以求出 F的不同坐标； （ 3）先由待定系数法求出直线 BC的式，然后由题目的条件求出与直线 BC平行且距离为 的直线的式，再由抛物线的对称轴与这些与 BC平行的直线的式构建方程组求出其解，就可以求出 G的坐标 试题：（ 1）抛物线 与 y轴交于点 C（ 0， 4）， 5+m=4 m=-1 （ 2）抛物线的式为 y=-x2+3x+4 可求抛物线与 x轴的交点 A（ -1
28、， 0）， B（ 4， 0） 可求点 E的坐标 ( ， 0) 由图知，点 F在 x轴下方的直线 AD上时， ABF是钝角三角形，不可能与 ADE相似，所以点 F一定在 x轴上方 此时 ABF与 ADE有一个公共角，两个三角形相似存在两种情况： 当 时，由于 E为 AB的中点，此时 D为 AF的中点，可求 F点坐标为（ 1， 4） 当 时， ，解得： . 如图（ 2）过 F点作 FH x轴，垂足为 H D是 OC的中点， OD=2. 由勾股定理得： . , 解得 . 由勾股定理得： ， F的坐标为（ ， 5） . （ 3）在抛物线的对称轴上存在符合题意的点 G 由题意，可知 OBC为等腰直角三角形，直线 BC为 y=-x+4 如图（ 3）， MQ BC， QP= ， 由勾股定理，得 CQ=5. 可求与直线 BC平行且距离为 的直线为 y=-x+9或 y=-x-1 点 G在直线 y=-x+9或 y=-x-1上 抛物线的对称轴是直线 x ， 或 ，解得： 或 . 点 G的坐标为（ ， ）或（ ， ） 考点： 1.二次函数综合题； 2.两条直线相交或平行问题； 3.待定系数法求二次函数式； 4.等腰直角三角形的性质； 5.相似三角形的判定和性质； 6.分类思想的应用
