1、2014届北京市东城区初三第一学期期末统一测试数学试卷与答案（带解析） 选择题 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是 答案： C. 试题分析：根据中心图形的定义，结合所给图形进行判断即可： 不是中心对称图形，所以本项错误； 不是中心对称图形，所以本项错误； 是中心对称图形，所以本项正确； 不是中心对称图形，所以本项错误 . 考点：中心对称图形 . 如图，正方形 ABCD中， AB 8cm，对角线 AC， BD相交于点 O，点 E，F分别从 B， C两点同时出发，以 1cm/s的速度沿 BC， CD运动，到点 C， D时停止运动设运动时间为 t(s)， OEF的面积为
2、 S(cm2)，则 S(cm2)与 t(s)的函数关系可用图象表示为（ ） A. B. C. D. 答案： B. 试题分析：由点 E， F分别从 B， C两点同时出发，以 1cm/s的速度沿 BC， CD运动，得到 BE=CF=t，则 CE=8-t，再根据正方形的性质的 OB=OC， OBC= OCD=45，然后根据 “SAS”可判断 OBE OCF，所以 S OBE=S OCF，这样 S 四边形 OECF=S OBC=16，于是 S=S 四边形 OECF-S CEF=16- （ 8-t） t，然后配方得到S= （ t-4） 2+8（ 0t8），最后利用式和二次函数的性质对各选项进行判断 根据
3、题意 BE=CF=t， CE=8-t， 四边形 ABCD为正方形， OB=OC， OBC= OCD=45， 在 OBE和 OCF中 ， OBE OCF（ SAS）， S OBE=S OCF， S 四边形 OECF=S OBC= 8 2=16， S=S 四边形 OECF-S CEF=16- （ 8-t） t= t2-4t+16= （ t-4） 2+8（ 0t8）， s（ cm2）与 t（ s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（ 4， 8），自变量为0t8 故选 B 考点：动点问题的函数图象 . 如图，四边形 ABCD是菱形， A=60， AB=2，扇形 BEF的半径为 2，圆心角为 60，则图中
4、阴影部分的面积是 A - B - C - D - 答案： A. 试题分析：根据菱形的性质得出 DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出 ABG DBH，得出四边形 GBFD的面积等于 ABD的面积，进而求出即可 连接 BD， 四边形 ABCD是菱形， A=60， ADC=120， 1= 2=60， DAB是等边三角形， AB=2， ABD的高为 3， 扇形 BEF的半径为 2，圆心角为 60， 4+ 5=60， 3+ 5=60， 3= 4， 设 AD、 BE相交于点 G，设 BF、 DC 相交于点 H， 在 ABG和 DBH中， ， ABG DBH（ ASA）， 四边形 GBFD的面积
5、等于 ABD的面积， 图中阴影部分的面积是： S 扇形 EBF-S ABD= 故选： B 考点： 1.扇形面积的计算； 2.全等三角形的判定与性质； 3.菱形的性质 二次函数 y=ax2+bx+c（ a0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是 A a 0 B当 -1 x 3时， y 0 C c 0 D当 x1时， y随 x的增大而增大 答案： B. 试题分析：由抛物线的开口方向判断 a与 0的关系，由抛物线与 y轴的交点判断 c与 0的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 A、抛物线的开口方向向下，则 a 0故本选项错误； B、根据图示知，抛物线的对称轴
6、为 x=1，抛物线与 x 轴的一交点的横坐标是 -1，则抛物线与 x轴的另一交点的横坐标是 3， 所以当 -1 x 3时， y 0故本选项正确； C、根据图示知，该抛物线与 y轴交与正半轴，则 c 0故本选项错误； D、根据图示知，当 x1时， y随 x的增大而减小，故本选项错误 故选 B 考点：二次函数图象与系数的关系 如图，电线杆上的路灯距离地面 8米，身高 1.6米的小明 (AB)站在距离电线杆的底部（点 O） 20米的 A处， 则小明的影子 AM长为 A 4米 B 5米 C 6米 D 8米 答案： B. 试题分析：易得： ABM OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长 根据题意
7、，易得 MBA MCO， 根据相似三角形的性质可知 ，即 ， 解得 AM=5m则小明的影长为 5米 考点：相似三角形的应用 如图，已知 O 是 ABD的外接圆， AB是 O 的直径， CD是 O 的弦， ABD=58，则 BCD等于 A 116 B 64 C 58 D 32 答案： D. 试题分析：由 AB是 O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得 ADB=90，继而求得 A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案： AB是 O 的直径， ADB=90， ABD=58， A=90- ABD=32， BCD= A=32 故选 B 考点：圆周角定理 袋子中装有 4
8、 个黑球和 2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球下列是必然事件的是 A摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B摸出的三个球中至少有一个球是白球 C摸出的三个球中至少有两个球是黑球 D摸出的三个球中至少有两个球是白球 答案： A. 试题分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断 A、是必然事件； B、是随机事件，选项错误； C、是随机事件，选项错误； D、是随机事件，选项错误 故选 A 考点：随机事件 用配方法解方程 x2-2x-1=0时，配方后得到的方程为 A B C D 答案： D. 试题分析：将方程常数项移到右边，两边都加上
9、1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到新的方程： x2-2x-1=0， 移项得： x2-2x=1， 配方得： x2-2x+1=2，即（ x-1） 2=2 故答案：为：（ x-1） 2=2. 考点：解一元二次方程 -配方法 填空题 射线 QN与等边 ABC的两边 AB， BC 分别交于点 M， N，且 AC QN，AM=MB=2cm， QM=4cm动点 P从点 Q 出发，沿射线 QN以每秒 1cm的速度向右移动，经过 t秒，以点 P为圆心， cm为半径的圆与 的边相切，请写出 t可取的所有值 答案： t=2或 3t7或 t=8. 试题分析： ABC是等边三角形， AB=AC=BC=AM+MB=
10、4cm， A= C= B=60， QN AC， AM=BM N 为 BC 中点， MN=12AC=2cm， BMN= BNM= C= A=60， 分为三种情况： 如图 1， 当 P切 AB于 M时，连接 PM， 则 PM=3cm， PMM=90， PMM= BMN=60， MM=1cm， PM=2MM=2cm， QP=4cm-2cm=2cm， 即 t=2； 如图 2， 当 P于 AC 切于 A点时，连接 PA， 则 CAP= APM=90， PMA= BMN=60， AP=3cm， PM=1cm， QP=4cm-1cm=3cm， 即 t=3， 当 P于 AC 切于 C点时，连接 PC， 则 C
11、PN= ACP=90， PNC= BNM=60， CP=3cm， PN=1cm， QP=4cm+2cm+1cm=7cm， 即当 3t7时， P和 AC 边相切； 如图 3， 当 P切 BC 于 N时，连接 PN 则 PN=3cm， PNN=90， PNN= BNM=60， NN=1cm， PN=2NN=2cm， QP=4cm+2cm+2cm=8cm， 即 t=8； 故答案：为： t=2或 3t7或 t=8 考点： 1.切线的性质； 2.等边三角形的性质 如图，在 Rt OAB中， B=90 AOB=30，将 OAB绕点 O 逆时针旋转100得到 OA1B1，则 A1OB= 答案： . 试题分析
12、：直接根据图形旋转的性质进行解答即可： 将 OAB绕点 O 逆时针旋转 100得到 OA1B1， AOB=30， OAB OA1B1， A1OB1= AOB=30 A1OB= A1OA- AOB=70 考点：旋转的性质 请写出一个开口向上，并且与 y轴交于点（ 0， -1）的抛物线的式_ 答案： y=x2-1,答案：不唯一 . 试题分析： 开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点（ 0， -1），说明常数项 c=-1 依题意，满足题意的抛物线式为 y=x2-1等，答案： 不唯一 故本题答案：为： y=x2-1等 考点：二次函数的性质 若关于 x的一元二次方程 kx2-2x-1有两个不相等的实
13、数根，则实数 k的取值范围是 答案： k -1且 k0 . 试题分析： 根据一元二次方程的定义和 的意义得到 k0且 0，即（ -2） 2-4k（ -1） 0，然后解不等式即可得到 k的取值范围 关于 x的一元二次方程 kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根， k0且 0，即（ -2） 2-4k（ -1） 0， 解得 k -1且 k0 k的取值范围为 k -1且 k0 考点： 1.根的判别式； 2.一元二次方程的定义 解答题 如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC和 DEC重合放置，其中 C=90o, B= E=30o. （ 1）操作发现 如图 2，固定 ABC，使 DEC绕点 C顺时
14、针旋转当点 D恰好落在 AB边上时，填空： 线段 DE与 AC 的位置关系是 ； 设 BDC的面积为 S1， AEC的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是 ，证明你的结论； 猜想论证 当 DEC绕点 C旋转到图 3所示的位置时，小明猜想（ 1）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 BDC和 AE中 BC， CE边上的高，请你证明小明的猜想 答案： (1) 平行， 相等；（ 2）见 . 试题分析：（ 1） 根据旋转的性质可得 AC=CD,然后求出 ACD是等边三角形 ,根据等边三角形的性质可得 ACD=60o,然后根据内错角相等 ,两直线平行解答 ; 根据等边三角形的性质可
15、得 AC=AD,再根据直角三角形 30o角所对的直角边等于斜边的一半求出 AC= AB,然后求出 AC=BE,再根据等边三角形的性质求出点 C到 AB的距离等于点 D到 AC 的距离 ,然后根据等底等高的三角形的面积相等解答 ; (2)根据旋转的性质可得 BC=CE,AC=CD,再求出 ACN= DCM,然后利用 角角边 证明 ACN 和 DCM全等 ,根据全等三角形对应边相等可得 AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明 ; 试题： （ 1） 线段 DE与 AC 的位置关系是 平行 S1与 S2的数量关系是 相等 证明：如图 2，过 D作 DN AC 交 AC 于点 N，过 E作
16、EM AC 交 AC 延长线于 M，过 C作 CF AB交 AB于点 F 由 可知 ADC 是等边三角形， DE AC， DN=CF,DN=EM CF=EM ACB=90o, B=30o， AB=2AC 又 AD=AC, BD=AC S1= CF BD,S2= AC EM， S1=S2 证明：如图 3，作 DG BC 于点 G， AH CE交 EC 延长线于点 H. DCE= ACB=90o DCG+ ACE=180o 又 ACH+ ACE=180o, ACH= DCG 又 CHA= CGD=90o,AC=CD, AHC DGC AH=DG 又 CE=CB, S1=S2 考点：全等三角形的判定
17、与性质 . 已知二次函数 y=a(x-m)2-2a(x-m)（ a,m为常数 ，且 a0） . （ 1）求证：不论 a与 m为何值，该函数的图象与 x轴总有两个公共点； （ 2）设该函数的图象的顶点为 C，与 x轴交于 A， B两点，当 ABC是等腰直角三角形时，求 a的值 答案：（ 1）见；（ 2） . 试题分析： (1)二次函数和 x轴有两个交点，判别式 0即可； （ 2）先求出顶点坐标，由 ABC是等腰直角三角形，可以得出 AB边上高等于1，即可得出 a的值 . 试题： （ 1）证明： y=a(x-m)2-2a(x-m)=ax2-(2am+2a)x+am2+2am 当 a0时 , =（
18、2am+2a） 2-4a(am2+2am) 不论 a与 m为何值，该函数的图象与 x轴总有两个公共点 （ 2） y=a(x-m)2-2a(x-m)=a(x-m-1)2-a C(m+1,-a) 当 y=0时， 解得 x1=m， x2=m+2. AB=（ m+2） -m=2. 当 ABC是等腰直角三角形时，可求出 AB边上高等于 1 考点：二次函数综合题 . 阅读理解： 如图 1，若在四边形 ABCD的边 AB上任取一点 E（点 E与点 A， B不重合），分别连结 ED， EC，可以把四边形 ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把 E叫做四边形 ABCD的边 AB上的相似点；如
19、果这三个三角形都相似，我们就把 E叫做四边形 ABCD 的边 AB上的强相似点解决问题： （ 1）如图 1，若 A= B= DEC=55，试判断点 E是否是四边形 ABCD的边AB上的相似点，并说明理由； （ 2）如图 2，在矩形 ABCD中， AB=5， BC=2，且 A， B， C， D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为 1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图 2中画出矩形 ABCD的边 AB上的一个强相似点 E； 拓展探究： （ 3）如图 3，将矩形 ABCD沿 CM折叠，使点 D落在 AB边上的点 E处若点E恰好是四边形 ABCM的边 AB上的一个强相似点，请直接写出
20、 的值 图 1 图 2 图 3 答案：（ 1）见；（ 2）见；（ 3） . 试题分析： (1)要证明点 E是四边形 ABCD的边 AB上的相似点 ,只要证明有一组三角形相似就行 ,很容易证明 ADE BEC,所以问题得解 . (2)根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可 . (3)因为点 E是梯形 ABCD的边 AB上的一个强相似点 ,所以就有相似三角形出现 ,根据相似三角形的对应线段成比例 ,可以判断出 BC 和 AB的数量关系 ,从而可求出解 . 试题： （ 1）点 E是四边形 ABCD的边 AB上的相似点 理由： A=55， ADE+ DEA=125 DEC=55， BEC+
21、DEA=125 ADE= BEC A= B， ADE BEC 点 E是四边形 ABCD的 AB边上的相似点 （ 2）作图如下： 图 1 图 2 （ 3） 考点：相似形综合题 . 在 Rt ACB中， C=90，点 O 在 AB上，以 O 为圆心， OA长为半径的圆与 AC， AB分别交于点 D， E，且 CBD= A （ 1）判断直线 BD与 O 的位置关系，并证明你的 结论； （ 2）若 AD AO=8 5， BC=3，求 BD的长 答案： (1)见；（ 2） BD= . 试题分析： (1)要证某线是圆的切线 ,已知此线过圆上某点 ,连接圆心和这点 (即为半径 ),再证垂直即可 ; (2)通
22、过作辅助线 ,根据已知条件求出 CBD的度数 ,在 Rt BCD中求解即可 . 试题： （ 1）直线 BD与 O 的位置关系是相切 证明：连结 OD， DE. C=90， CBD+ CDB=90 A= CBD， A+ CDB=90 OD=OA， A= ADO ADO+ CDB=90 ODB=180-90=90 OD BD OD为半径， BD是 O 切线 （ 2） AD:AO=8:5， = 由勾股定理得 AD:DE:AE=8:6:10 C=90， CBD= A. BCD ADE DC:BC:BD=DE:AD:AE=6:8:10 BC=3， BD= 考点： 1.圆切线的判定； 2.相似三角形的性质
23、 . 在一幅长 8分米，宽 6分米的矩形风景画（如图 ）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图 ）如果要使整个挂图的面积是 80平方分米 ，求金色纸边的宽 答案：金色纸边的宽为 1分米 试题分析：设金色纸边的宽为 x分米 ,则矩形挂图的长为 (2x+8)分米 ,宽为 (2x+6)分米 ,根据等量关系 :矩形挂图的长 宽 =80,列出方程 ,从而可求出解 . 试题： 解：设金色纸边的宽为 x分米 .根据题意得 （ 2x 6） (2x 8) 80. 解得： x1 1， x2 -8（不合题意，舍去） 答：金色纸边的宽为 1分米 考点：一元二次方程的应用 . 如图，有四张背面相同的纸牌 A
24、， B， C， D，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色小明将这 4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余 3张洗匀后再摸出一张 .请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率 . 答案： . 试题分析：根据树状图可以直观的得到共有 12种情况 ,都是黑色情况有 2种 ,进而得到概率 . 试题： （ 1）树状图： 列表法： A B C D A AB AC AD B AB BC BD C AC CB CD D AD DB DC （ 2） P 考点：列表法与树状图法求概率 . 如图， O 的半径 OD 弦 AB于点 C，连结 AO 并延长交 O 于点
25、E，连结 EC若 AB=8， CD=2，求 EC 的长 答案： . 试题分析：先根据垂径定理求出 AC 的长 ,设的 O 半径 x,则 OC=x-2,由勾股定理即可得出 x的值 ,故可得出 AE的长 ,连接 BE,由圆周角定理可知 ABE=90o,在Rt BCE中 ,根据勾股定理即可求出 CE的长 . 试题： OD AB， AC=BC AB 设 AO=x 在 Rt ACO 中， AO2=AC2+OC2 x2=42+(x-2)2 解得 x=5 AE=10， OC=3 连结 BE AE是直径， ABE=90 由 OC是 ABE的中位线可求 BE=2OC=6 在 Rt CBE中， CE2=BC2+B
26、E2 考点： 1.垂径定理； 2.圆周角定理； 3.勾股定理 . 画图： （ 1）如图，已知 ABC和点 O将 ABC绕点 O 顺时针旋转 90得到 A1B1C1，在网格中画出 A1B1C1； （ 2）如图， AB是半圆的直径，图 1中，点 C在半圆外；图 2中，点 C在半圆内，请仅用无刻度的直尺（只能画线）按要求画图 （ ）在图 1中，画出 ABC的三条 高的交点； （ ）在图 2中，画出 ABC中 AB边上的高 答案：见 . 试题分析：（ 1）分别得出 ABC绕点 O 顺时针旋转 90o后的对应点坐标 ,进而得到 ; （ i）连接 BE,AD，交点为 P，根据直径所对的圆周角等于 90o，
27、即可得出BE,AD为三角形的高，所以 P点为所求 . （ ii）与（ i）类似 ,利用圆周角定理画图 . 试题： （ 1） （ 2）（ i）如图 1，点 P就是所求作的点； （ ii）如图 2， CD为 AB边上的高 . 图 1 图 2 考点： 1.旋转； 2.圆周角定理的应用 . 二次函数 的图象与 x轴交于点 A（ -1, 0），与 y轴交于点 C（ 0， -5），且经过点 D（ 3， -8） . （ 1）求此二次函数的式和顶点坐标； （ 2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛物线的式 答案： (1)y=x2-4x-5,(2,-9)； （ 2）先向左平移
28、 2 个单位，再向上平移 9 个单位，得到的抛物线的式为 y = x2 试题分析：（ 1）将 A， C,D点的坐标代入 y=ax2+bx+c,即可得出得出二次函数的式与顶点坐标 . （ 2）要使平移后的抛物线顶点落在原点，根据得出的二次函数的顶点的形式，平移图象即可得出平移后 的图象 . 试题： （ 1）由题意，有 解得 此二次函数的式为 . ，顶点坐标为 (2， -9). （ 2）先向左平移 2 个单位，再向上平移 9 个单位，得到的抛物线的式为 y = x2 考点： 1.二次函数综合题； 2.平移 . 如图，在平行四边形 ABCD中， E为 CD上一点，连结 AE， BD，且 AE，BD交
29、于点 F， S DEF S ABF=4 25，求 DE EC 的值 答案： :3. 试题分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出 DEF BAF，再根据 S DEF： S ABF=4： 10： 25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE:AB 的值，由 AB=CD即可得出结论 试题： 四边形 ABCD是平行四边形， AB CD DEF BAF 又 AB=CD, DE EC=2 3 考点： 1.相似三角形的判定与性质； 2.三角形的面积； 3.平行四边形的性质 如图， ABC和 ABC是两个完全重合的直角三角板， B= B=30o，斜边长为 10cm三角形板 ABC绕直
30、角顶点 C顺时针旋转，当点 A落在 AB边上时，求 CA旋转所构成的扇形的弧长 答案： cm. 试题分析： 根据 Rt ABC中的 30角所对的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及旋转的性质推知 AAC是等边三角形，所以根据等边三角形的性质利用弧长公式来求 CA旋转所构成的扇形的弧长 试题： 由题意可求， ACA=60， CA=5 所以 考点： 1.旋转的性质； 2.弧长的计算 解方程： x2-10x+9=0. 答案： x1=1,x2=9. 试题分析：分解因式后得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 试题： 原式变形为 x2-10x=-9. 配方， x2-10x+25=
31、-9+25. 整理，得 (x-5)2=16. 解得， x1=1,x2=9. 考点：解一元二次方程 -因式分解法 在平面直角坐标系 xOy中，二次函数 y=-x2+(m-1)x+4m的图象与 x轴负半轴交于点 A，与 y轴交于点 B（ 0， 4），已知点 E（ 0， 1） （ 1）求 m的值及点 A的坐标； （ 2）如图，将 AEO 沿 x轴向右平移得到 AEO，连结 AB、 BE 当点 E落在该二次函数的图象上时，求 AA的长； 设 AA=n，其中 0 n 2，试用含 n的式子表示 AB2+BE2，并求出使AB2+BE2取得最小值时点 E的坐标； 当 AB+BE取得最小值时，求点 E的坐标 答
32、案：（ 1） m=1,A(-2,0); (2) , 点 E的坐标是（ 1， 1） , 点 E的坐标是（ ， 1） 试题分析： (1)将点代入式即可求出 m的值，这样写出函数式，求出 A点坐标； （ 2） 将 E点的坐标代入二次函数式，即可求出 AA； 连接 EE，构造直角三角形，利用勾股定理即可求出 AB2+BE2 当 n=1时，其最小时，即可求出 E的坐标； 过点 A 作 AB x轴，并使 AB = BE = 3易证 ABA EBE，当点 B， A， B在同一条直线上时， AB + BA最小，即此时 AB+BE取得最小值易证 ABA OBA，由相似就可求出 E的坐标 试题： 解：（ 1）由题
33、意可知 4m=4， m=1 二次函数的式为 点 A的坐标为（ -2,0） （ 2） 点 E（ 0,1），由题意可知， 解得 AA= 如图，连接 EE 由题设知 AA=n（ 0 n 2），则 AO=2-n 在 RtABO中，由 AB2=AO2+BO2， 得 AB2=(2n)2+42=n2-4n+20 AEO是 AEO 沿 x轴向右平移得到的， EE AA，且 EE=AA BEE=90， EE=n 又 BE=OB-OE=3. 在 RtBEE中， BE2=EE2+BE2=n2+9， AB2+BE2=2n2-4n+29=2(n1)2+27 当 n=1时， AB2+BE2可以取得最小值，此时点 E的坐标是（ 1， 1） 如图，过点 A作 AB x轴，并使 AB=BE=3 易证 ABA EBE， BA=BE， AB+BE=AB+BA 当点 B， A， B在同一条直线上时， AB+BA最小，即此时 AB+BE取得最小值 易证 ABA OBA， ， AA= ， EE=AA= ， 点 E的坐标是（ ， 1） 考点： 1.二次函数综合题； 2.平移 .
