1、2014届北京市房山区九年级上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 抛物线 y=(x-1)2+2的顶点坐标是 A (1， -2) B (1， 2) C (-1， 2) D (-1， -2) 答案： B. 试题分析：已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标 由 y=（ x-1） 2+2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（ 1， 2）， 故选 B 考点 : 二次函数的性质 如图， P是边长为 1的正方形 ABCD对角线 AC 上一动点（ P与 A、 C不重合），点 E在射线 BC 上，且 PE=PB设 AP=x， PBE的面积为 y则下列图象中，能表示 y与 x的函数关系的图象大致是（
2、） 答案： D. 试题分析：过点 P作 PF BC 于 F，若要求 PBE的面积，则需要求出 BE， PF的值，利用已知条件和正方形的性质以及勾股定理可求出 BE， PF的值再利用三角形的面积公式得到 y与 x的关系式，此时还要考虑到自变量 x的取值范围和 y的取值范围 过点 P作 PF BC 于 F， PE=PB， BF=EF， 正方形 ABCD的边长是 1， AC= ， AP=x， PC= -x， PF=FC= （ -x） =1- ， BF=FE=1-FC= x， S PBE= BE PF= x（ 1- ） =- x2+ ， 即 y=- x2+ ，（ 0 x ）， y是 x的二次函数（ 0
3、 x ）， 故选 D 考点 : 动点问题的函数图象 如图，已知第一象限内的点 A在反比例函数 的图象上，第二象限内的点 B在反比例函数 y = 的图象上，且 OA OB， tanA= ，则 k的值为 A -3 B C -6 D 答案： C. 试题分析：过点 A作 AE x轴于点 E，过点 B作 BF x轴于点 F，设点 A的坐标为（ a， ），点 B的坐标为（ b， ）， AOE+ BOF=90， OBF+ BOF=90， AOE= OBF， 又 BFO= OEA=90， OBF AOE， 即： 则： 得： k=-6. 故选 C. 考点 : 反比例函数综合题 如图， AB为 O 的直径，弦 C
4、DAB，垂足为点 E，连接 OC，若 OC=5，AE=2，则 CD等于 A 3 B 4 C 6 D 8 答案： D. 试题分析：先根据 AB为圆 O 的直径，弦 CD AB可知 CD=2CE，再根据OC=5， AE=2可求出 OE的长，利用勾股定理可求出 CE的长，进而可求出答案： AB为圆 O 的直径，弦 CD AB， CD=2CE， OC=5， AE=2， OA=5， OE=OA-AE=5-2=3， CE= CD=2CE=8 故选 D 考点 :1. 垂径定理； 2.勾股定理 小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1到 6的点数，则向上的一面的点数小于 3的概率为 A B
5、C D 答案： A. 试题分析：让骰子中小大于 3的数的个数除以数的总个数即为所求的概率 根据等可能条件下的概率的公式可得：小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1到 6的点数，则向上的一面的点数小于 3的概率为 故选 A 考点 : 概率公式 如图， P是反比例函数图象上第二象限内的一 点，若矩形 PEOF的面积为 3，则反比例函数的式是 A B C D 答案： B. 试题分析：因为过双曲线上任意一点引 x轴、 y轴垂线，所得矩形面积 S是个定值，即 S=|k|，再根据反比例函数的图象所在的象限确定 k的值，即可求出反比例函数的式 由图象上的点所构成的矩形 PEOF的面积为
6、3可知， S=|k|=3， k=3 又由于反比例函数的图象在第二、四象限， k 0， 则 k=-3，所以反比例函数的式为 故选： B 考点 : 反比例函数系数 k的几何意义 在 Rt ABC中， C=90， sinA= ，则 tanA等于 A B C D 答案： A. 试题分析：根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答 解答：解：由 sinA= 知，可设 a=3x，则 c=5x， b=4x tanA= 故选 A. 考点 : 同角三角函数的关系 如图， O 是 ABC的外接圆，若 ABC 40，则 AOC等于 A 20 B 40 C
7、60 D 80 答案： D. 试题分析：由 O 是 ABC的外接圆，若 ABC=40，根据圆周角定理，即可求得答案： O 是 ABC的外接圆， ABC=40， AOC=2 ABC=80 故选 D 考点 : 圆周角定理 填空题 如图，已知 ABC的面积 S ABC=1. 在图（ 1）中，若 , 则 ; 在图（ 2）中，若 , 则 ; 在图（ 3）中，若 , 则 ; 按此规律，若 , 则 若 , 则 . 答案： ； . 试题分析：求得三角形 ABC的面积 S与对应边的比值之间的函数关系，然后代入比值求函数值即可 设函数关系为 S=ax2+bx+c， 若 ，则 S A1B1C1= ;若 ，则 S A
8、1B1C1=; 若 ，则 S A1B1C1= ; 解得： a=3， b=-3， c=1 S=3x2-3x+1 若 ，则 S A1B1C1=3（ ） 2-3 +1= ； 若 ，则 S A1B1C1=3（ ） 2-3 +1= . 考点 : 1.规律型：图形的变化类； 2.三角形的面积 如图，点 A是半圆上一个三等分点，点 B是 的中点，点 P是直径 MN 上一动点，若 O 的半径为 1，则 AP BP 的最小值是 答案： . 试题分析：本题是要在 MN 上找一点 P，使 PA+PB的值最小，设 A是 A关于MN 的对称点，连接 AB，与 MN 的交点即为点 P此时 PA+PB=AB是最小值，可证
9、OAB是等腰直角三角形，从而得出结果 试题：作点 A关于 MN 的对称点 A，连接 AB，交 MN 于点 P，则 PA+PB最小， 连接 OA， AA 点 A与 A关于 MN 对称，点 A是半圆上的一个三等分点， AON= AON=60， PA=PA， 点 B是弧 AN的中点， BON=30， AOB= AON+ BON=90， 又 OA=OA=1， AB= PA+PB=PA+PB=AB= 考点 : 1.垂径定理； 2.勾股定理； 3.圆心角、弧、弦的关系； 4.轴对称 -最短路线问题 若扇形的半径为 9，圆心角为 120，则它的弧长为 _. 答案： 试题分析：根据弧长公式可得 扇形的弧长为
10、故答案：为 6 考点 : 弧长的计算 若把代数式 化为 的形式，其中 、 为常数，则 = . 答案： . 试题分析：根据完全平方公式的结构，按照要求 x2-4x+2=（ x-2） 2-2，可知m=2 k=-2，则 m+k=0 试题： x2-4x+2=x2-4x+4-2=（ x-2） 2-2， m=2， k=-2， m+k=0 故填 0 考点 : 配方法的应用 解答题 抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x轴于点 A(3,0)，交 y轴于点 B. (1)求此抛物线的式； (2)抛物线上是否存在点 P,使 ,若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由 . 答案： (1)y=-x2+2x+3；
11、 (2) P坐标为（ , ）、（ ,）；（ , ）； （ , ） 试题分析：（ 1）设出抛物线的顶点形式为 y=a（ x-1） 2+4，将 A坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线式； （ 2）存在，设出 P（ a， -a2+2a+3），直线 AB式为 y=kx+b，将 A与 B坐标代入求出 k与 b的值，确定出直线 AB式，根据三角形 ABP面积为三角形 ABC面积的一半，由两三角形都以 AB为底边，得到 C到直线 AB的距离为 P到直线 AB距离的 2倍，利用点到直线的距离公式列出关于 a的方程，求出方程的解得到 a的值，即可确定出满足题意 P的坐标 试题：（ 1）设抛物线的顶点形式为 y=
12、a（ x-1） 2+4， 将 A（ 3， 0）代入得： 0=4a+4，即 a=-1， 则抛物线式为 y=-（ x-1） 2+4=-x2+2x+3； （ 2）存在这样的 P点， 设 P（ a， -a2+2a+3）， 设直线 AB式为 y=kx+b， 将 A（ 3， 0）， B（ 0， 3）代入得： ， 解得： ， 直线 AB式为 y=-x+3， S ABP= S ABC，且两三角形都以 AB为底边， P到直线 AB的距离等于 C到直线 AB距离的 ， C（ 1， 4）到直线 AB的距离 d= ， P到直线 AB的距离 d= ， 即 |-a2+3a|=1， 整理得： a2-3a-1=0或 a2-3
13、a+1=0， 解得： a= 或 a= 当 a= 时， -a2+2a+3=- ； 当 a= 时， -a2+2a+3=- ； 当 a= 时， -a2+2a+3=- ； 当 a= 时， -a2+2a+3=- . 则满足题意的 P坐标为（ , ）、（ , ）；（ ,）； （ , ） 考点 : 1.待定系数法求二次函数式； 2.二次函数的性质 已知二次函数 y=ax2-4x+c的图象过点（ -1， 0）和点（ 2， -9） （ 1）求该二次函数的式并写出其对称轴； （ 2）已知点 P（ 2， -2），连结 OP，在 x轴上找一点 M，使 OPM是等腰三角形，请直接写出点 M的坐标（不写求解过程） 答案：
14、 (1) y=x2-4x-5， x=2;（ 2） M1（ 4， 0）； M2（ -2 ， 0） M3（ 2 ，0）； M4（ 2， 0） 试题分析：（ 1）把（ -1， 0）和点（ 2， -9）代入 y=ax2-4x+c，得到一个二元一次方程组，求出方程组的解，即可得到该二次函数的式，进一步得到其对称轴； （ 2）根据等腰三角形的判定分 OP=PM， OP=OM， PM=OM三种情况即可求出x轴上所有点 M的坐标 试题 :（ 1）根据题意，得 ， 解得 ， 二次函数的表达式为 y=x2-4x-5， y=x2-4x-5=（ x-2） 2-9， 对称轴是 x=2； （ 2）当 OP=PM时，符合条
15、件的坐标 M1（ 4， 0）； 当 OP=OM时，符合条件的坐标 M2（ -2 ， 0） M3（ 2 ， 0）； 当 PM=OM时，符合条件的坐标 M4（ 2， 0） 考点 : 二次函数综合题 . 如图，在 中，以 为直径的 交 于点 ，点 为 的中点，连结 交 于点 ，且 . （ 1）判断直线 与 O 的位置关系，并证明你的结论； （ 2）若 的半径为 2, ,求 的长 . 答案：（ 1） BC 与 O 相切 ,证明见；（ 2） . 试题分析：（ 1）连接 AE，求出 EAD+ AFE=90，推出 BCE= BFC， EAD= ACE，求出 BCE+ ACE=90，根据切线的判定推出即可 （
16、 2）根据 AC=4， cosB= 求出 BC=3， AB=5， BF=3， AF=2，根据 EAD= ACE， E= E证 AEF CEA，推出 EC=2EA，设 EA=x，EC=2x，由勾股定理得出 x2+4x2=16，求出即可 试题 :（ 1） BC 与 O 相切 证明：连接 AE， AC 是 O 的直径 E=90， EAD+ AFE=90， BF=BC， BCE= BFC， E为弧 AD中点， EAD= ACE， BCE+ ACE=90， AC BC， AC 为直径， BC 是 O 的切线 （ 2） O 的半为 AC=4， cosB= ， BC=3， AB=5， BF=3， AF=5-
17、3=2， EAD= ACE， E= E， AEF CEA， ， EC=2EA， 设 EA=x， EC=2x， 由勾股定理得： x2+4x2=16， x= （负数舍去）， 即 CE= 考点 : 1.切线的判定； 2.勾股定理； 3.相似三角形的判定与性质 如图 ,已知二次函数 y=x -4x+3的图象交 x轴于 A， B两点（点 A在点 B的左侧）， 交 y轴于点 C. （ 1）求直线 BC 的式； （ 2）点 D 是在直线 BC 下方的抛物线上的一个动点，当 BCD 的面积最大时，求 D点坐标 . 答案： (1) y=-x+3； (2) （ , ） 试题分析：（ 1）利用 y=x2-4x+3的
18、图象交 x轴于 A、 B两点（点 A在点 B的左侧），抛物线 y=x2-4x+3交 y轴于点 C，即可得出 A， B， C点的坐标，将 B，C点的坐标分别代入 y=kx+b（ k0），即可得出式； （ 2）设过 D点的直线与直线 BC 平行，且抛物线只有一个交点时， BCD的面积最大 试题 :（ 1）设直线 BC 的式为： y=kx+b（ k0） 令 x2-4x+3=0， 解得： x1=1， x2=3， 则 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）， C（ 0， 3）， 将 B（ 3， 0）， C（ 0， 3），代入 y=kx+b（ k0），得 ， 解得： k=-1， b=3， BC 所在直线为：
19、 y=-x+3； （ 2）设过 D点的直线与直线 BC 平行，且抛物线只有一个交点时， BCD的面积最大 直线 BC 为 y=-x+3， 设过 D点的直线为 y=-x+b， ， x2-3x+3-b=0， =9-4（ 3-b） =0， 解得 b= ， ， 解得， ， 则点 D的坐标为：（ , ） 考点 : 1.抛物线与 x轴的交点； 2.待定系数法求一次函数式； 3.二次函数图象上点的坐标特征 如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A的坐标为（ 2， 0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到 OBD （ 1） AOC沿 x轴向右平移得到 OBD，则平移的距离是 个单位长度； （ 2
20、） AOC与 BOD关于直线对称，则对称轴是 ； （ 3） AOC绕原点 O 顺时针旋转可以得到 DOB，则旋转角度是 度，在此旋转过程中， AOC扫过的图形的面积是 答案：（ 1） 2；（ 2） y轴；（ 3） 120, 2 试题分析：（ 1）根据平移的性质可以得出 AOC沿 x轴向右平移得到 OBD的距离； （ 2） AOC与 BOD关于直线对称，就可以得出 AOC BOD，就有AO=BO，由对称轴的性质就可以得出结论； （ 3）根据旋转的性质就可以得出点 A与点 D是对应点，就可以得出 AOD就是旋转角， AOC扫过的面积实际上就是以 OA为半径的半圆的面积，由圆的面积公式就可以求出结论
21、 试题：（ 1） A（ -2， 0）， OA=2 AOC沿 x轴向右平移 得到 OBD， AOC OBD， AO=OB， OB=2， 平移的距离是 2个单位长度 （ 2） AOC 与 BOD关于直线对称， AOC BOD， AO=BO y轴是 AB的垂直平分线， 对称轴是 y轴， （ 3） AOC 和 OBD都是等边三角形， AOC= DOB=60， AO=120， 旋转角度是 120 AOC扫过的图形的面积是 22 =2 考点 : 1.旋转的性质； 2.坐标与图形性质； 3.轴对称的性质； 4.平移的性质 已知关于 x的一元二次方程 （ 1）求证：无论 k取何值，方程总有两个实数根； （ 2
22、）若二次函数 的图象与 轴两个交点的横坐标均为整数，且 k为整数，求 k的值 答案：（ 1）证明见；（ 2） 1 试题分析：（ 1）先计算判别式得值得到 =（ 3k+1） 2-4k3=（ 3k-1） 2，然后根据非负数的性质得到 0，则根据判别式的意义即可得到结论； （ 2）先理由求根公式得到 kx2+（ 3k+1） x+3=0（ k0）的解为 x1= ， x2=3，则二次函数 y=kx2+（ 3k+1） x+3的图象与 x轴两个交点的横坐标分别为 和 3，然后根据整数的整除性可确定整数 k的值 试题：（ 1）证明： =（ 3k+1） 2-4k3=（ 3k-1） 2， （ 3k-1） 2， 0
23、， 0， 无论 k取何值，方程总有两个实数根； （ 2）解： kx2+（ 3k+1） x+3=0（ k0） x= ， x1= ， x2=3， 所以二次函数 y=kx2+（ 3k+1） x+3的图象与 x轴两个交点的横坐标分别为 和3， 根据题意得 为整数， 所以整数 k为 1 考点 : 1.根的判别式； 2.抛物线与 x轴的交点 如图，在平面直角坐标系 中， 的外接圆与 轴交于点 ，求 的长 答案： . 试题分析：连接 AB，由圆周角定理知 AB必过圆心， Rt ABO 中，易知 BAO= OCB=60，已知了 OA= ，即可求得 OB的长；过 B作 BD OC，通过解直角三角形即可求得 OD
24、、 BD、 CD的长，进而由 OC=OD+CD求出 OC的长 试题：连接 AB OCB=60， A= OCB=60 A(0， )， OA 在 Rt AOB中， tan BAO ， OB tan60 过点 B作 BD OC于 D， CDB= BDO=90 COB=45， DBO= COB=45， OD=BD； 在 Rt DOB中，由勾股定理得 OD BD 在 Rt BCD中， tanC ， C 60， CD OC OD+DC 考点 : 1.圆周角定理； 2.坐标与图形性质； 3.解直角三角形 如图，一次函数 y=3x的图象与反比例函数 的图象的一个交点为A(1,m) （ 1）求反比例函数 的式；
25、 （ 2）若点 P在直线 OA上，且满足 PA=2OA，直接写出点 的坐标 (不写求解过程 ) 答案：（ 1） ；（ 2） P（ 3， 9）或（ -1， -3） 试题分析：（ 1）把 A的坐标代入函数式即可求得 m的值，即可得到反比例函数式； （ 2） PA=2OA，则 P在以 A为圆心，以 2OA为半径的圆上或 P在以 A点为圆心，以 2OA为半径的圆上，圆与直线 OA的交点就是 P 试题：（ 1） 点 A（ 1， m）在一次函数 y=3x的图象上， m=3 点 A的坐标为（ 1， 3） 点 A（ 1， 3）在反比例函数 的图象上， k=3 反比例函数的式为 （ 2）点 P的坐标为 P （
26、3， 9）或 P （ -1， -3） 考点 : 反比例函数与一次函数的交点问题 如图，在四边形 ABCD中， A 45， C 90， ABD 75， DBC 30， AB 求 BC 的长 答案： . 试题分析：作 BE AD于 E，就可以得出 ABE为等腰直角三角形，由勾股定理就由求出 BE的值，由 BDE BDC就可以得出 BC=BE得出结论 试题：作 BE AD于 E， BEA= BED=90 A=45， ABE=45 ABD=75， EBD=30 DBC=30， DBE= DBC C=90， BED= C 在 BDE和 BDC中， ， BDE BDC（ AAS）， BE=BC 在 Rt
27、ABE中， AB=2 ，由勾股定理，得 BE=2 BC=2 考点 : 1.全等三角形的判定与性质； 2.角平分线的性质； 3.等腰直角三角形 已知：如图，在 ABC中， AC 10， 求 AB的长 答案： . 试题分析：过 A作 AD垂直于 BC，交 BC 于点 D，在直角三角形 ACD中，由AC 与 sinC的值，利用正弦函数定义求出 AD的长，在直角三角形 ABD中，由AD与 sinB的值，利用正弦函数定义即可求出 AB的长 试题：作 AD BC 于 D点，如图所示， 在 Rt ADC 中， AC=10， sinC= ， AD=ACsinC=10 =8， 在 Rt ABD中， sinB=
28、， AD=8， 则 AB= 考点 : 解直角三角形 已知：如图，在 O 中，弦 交于点 ， 求证： 答案：证明见 . 试题分析：由圆周角定理可得 ADE= CBE，从而利用 AAS 可证明 ADE CBE，继而可得出结论 试题：由圆周角定理可得： ADE= CBE， 在 ADE和 CBE中， ， ADE CBE（ AAS）， AE=CE 考点 : 1.圆周角定理； 2.等腰三角形的判定与性质； 3.圆心角、弧、弦的关系 计算： 答案： 试题分析：根据二次根式、特殊角三角函数值、零次幂、负整数指数幂的意义进行计算即可 . 试题： 考点 : 实数的混合运算 . 如图，在平面直角坐标系 xOy中，
29、AB在 x轴上，以 AB为直径的半 O与y轴正半轴交于点 C，连接 BC， AC CD是半 O的切线， AD CD于点 D （ 1）求证： CAD = CAB； （ 2）已知抛物线 过 A、 B、 C三点， AB=10， tan CAD= 求抛物线的式； 判断抛物线的顶点 E是否在直线 CD上，并说明理由； 在抛物线上是否存在一点 P，使四边形 PBCA是直角梯形若存在，直接写出点 P的坐标 (不写求解过程 )；若不存在，请说明理由 答案： (1)证明见；（ 2） y=- x2- x+4；顶点 E是否在直线 CD上，理由见；P1（ -10， -6）， P2（ 10， -36） 试题分析：（ 1
30、）连接 OC，由 CD是 O 的切线，可得 OC CD，则可证得OC AD，又由 OA=OC，则可证得 CAD= CAB； （ 2） 首先证得 CAO BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OA OB，又由 tan CAO=tan CAD= ，则可求得 CO， AO， BO 的长 ，然后利用待定系数法即可求得二次函数的式； 首先证得 FOC FAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到 F的坐标，求得直线 DC 的式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案：； 根据题意分别从 PA BC 与 PB AC 去分析求解即可求得答案：，小心漏解 试题 :（ 1）证明：连接 OC， C
31、D是 O的切线， OC CD， AD CD， OC AD， OCA= CAD， OA=OC， CAB= OCA， CAD= CAB； （ 2）解： AB是 O的直径， ACB=90， OC AB， CAB= OCB， CAO BCO， ， 即 OC2=OA OB， tan CAO=tan CAD= ， AO=2CO， 又 AB=10， OC2=2CO（ 10-2CO）， 解得 CO1=4， CO2=0（舍去）， CO=4， AO=8， BO=2 CO 0， CO=4， AO=8， BO=2， A（ -8， 0）， B（ 2， 0）， C（ 0， 4）， 抛物线 y=ax2+bx+c过点 A，
32、B， C三点， c=4， 由题意得： ， 解得： ， 抛物线的式为： y=- x2- x+4； 设直线 DC 交 x轴于点 F， AOC ADC， AD=AO=8， OC AD， FOC FAD， ， OF AD=OC AF， 8（ BF+5） =5（ BF+10）， BF= ， F（ ， 0）； 设直线 DC 的式为 y=kx+m， 则 ， 解得： ， 直线 DC 的式为 y=- x+4， 由 y=- x2- x+4=- （ x+3） 2+ 得顶点 E的坐标为（ -3， ）， 将 E（ -3， ）代入直线 DC 的式 y=- x+4中， 右边 =- （ -3） +4= =左边， 抛物线顶点
33、E在直线 CD上； （ 3）存在， P1（ -10， -6）， P2（ 10， -36） A（ -8， 0）， C（ 0， 4）， 过 A、 C两点的直线式为 y= x+4， 设过点 B 且与直线 AC 平行的直线式为： y= x+b，把 B（ 2， 0）代入得 b=-1， 直线 PB的式为 y= x-1， ， 解得 , （舍去）， P1（ -10， -6） 求 P2的方法应为过点 A作与 BC 平行的直线， 可求出 BC 式，进而求出与之平行的直线的式， 与求 P1同法，可求出 x1=-8， y1=0（舍去）； x2=10， y2=-36 P2的坐标（ 10， -36） 考点 : 二次函数综合题
