2014届北京市昌平区九年级第一学期期末考试数学试卷与答案（带解析）.doc

1、2014届北京市昌平区九年级第一学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 O1和 O2的半径分别为 3和 5，如果 O1O2=8，那么 O1和 O2的位置关系是 A外切 B相交 C内切 D内含 答案： A. 试题分析：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法设两圆的半径分别为 R和 r，且 Rr，圆心距为 P：外离 P R+r；外切 P=R+r；相交 R-r P R+r；内切 P=R-r；内含 P R-r本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案： O1与 O2的半径分别为 3和 5，圆心距 O1O2=8， 3+5=8，所以选 A. 考

2、点：圆与圆的位置关系 已知：如图，在半径为 4的 O 中， AB为直径，以弦 （非直径）为对称轴将 折叠后与 相交于点 ，如果 ，那么 的长为 A B C D 答案： A. 试题分析：如图， AC 为折叠线，把折叠线看作对称轴，折叠后得到的弧 AC 所在的 P与 O 关于 AC 对称，如图，连接 DF,CF,BC,根据直径所对的圆周角是直角，可知 :点 B、 C、 F三点共线，即 ABF是等腰三角形，且 AC BF，FD AB，由 AO=4， AD=3DB可得： AD=6， BD=2， AB=8，由轴对称可知：AF=8，所以 ， ；根据可以求出 ,故选 A. 考点： 1、轴对称的性质； 2、圆

3、周角定理； 3、勾股定理 . 课外活动小组测量学校旗杆的高度如图，当太阳光线与地面成 30角时，测得旗杆 AB在地面上的影长 BC 为 24米，那么旗杆 AB的高度约是 A 米 B 米 C 米 D 米 答案： B. 试题分析：此题考查的是解直角三角形的应用，正确选择三角函数关系式是解答此类题的关键在 Rt ABC中，已知了直角边 BC=24米，及 ACB=30，可 根据 ACB的正切函数求出 AB=BC tan30= 米 .故选 B. 考点：解直角三角形的应用 当二次函数 取最小值时， 的值为 A B C D 答案： A. 试题分析：因为 ，所以当 时， 有最小值 5.故选A. 考点：二次函数

4、的性质 . 如图，在 中，点 分别在 边上， ，若， ，则 等于 A B C D 答案： D. 试题分析：因为 DE/BC，根据平行线分线段成比例定理可知： ，所以 ，所以 AC=243=8.故选 D. 考点：平行线分线段成比例定理 . 在方格纸中，选择标有序号 中的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形构成中心对称图形，该小正方形的序号是 A B C D 答案： B. 试题分析：本题考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，要知道，一个图形绕端点旋转 180所形成的图形叫中心对称图形如图，把标有序号 的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形故答案：为： 选

5、B. 考点：利用旋转设计图案 如图， O 的直径 AB=4，点 C在 O 上，如果 ABC=30，那么 AC 的长是 A 1 B C D 2 答案： D. 试题分析：由直径所对的圆周角是直角可知： ACB=90，又 ABC=30, AB=2AC，即 AC=2.故选 D. 考点： 1、圆周角定理； 2、含 30的直角三角形的性质 . 在不透明的布袋中装有 2个白球， 3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是 A B C D 答案： C. 试题分析：本题考查了概率的求法：如果一个事件有 n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A出现 m种结果，那么事件 A

6、的概率 P（ A） = ，难度适中： 一共有 5球在袋中，其中 2个红球， 从口袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 故选 C 考点：概率公式 填空题 在平面直角坐标系 中，直线 和抛物线 在第一象限交于点 A, 过 A作 轴于点 .如果 取 1， 2， 3， ， n时对应的 的面积为，那么 _； _ 答案：； 2n(n+1). 试题分析：把 代入 得 ，则直线 和抛物线 在第一象限交点 A的坐标为（ 2,4） ,易求 ；分别把 、 代入 中，可求得点 A的坐标分别是（ 2,8）、（ 2,12）；可求 、 ；观察 可以发现 ，所以 . 考点： 1、二次函数的性质； 2、找规律 . 在 12的正

7、方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，如果第三枚棋子随机放在其它格点上，那么以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为 . 答案： . 试题分析：此题考查了概率公式的应用注意概率 =所求情况数与总情况数之比显然第三枚棋子随机放在其他格点上构成三角形，共有 4 种等可能的结果，且以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的有 3种情况，所以以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为 故填 考点：概率公式 . 如果一个圆锥的母线长为 4，底面半径为 1，那么这个圆锥的侧面积为 答案： . 试题分析：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧

8、面积的计算方法根据圆锥的侧面积 = 底面周长 母线长计算所以 .故填 . 考点：圆锥的侧面积 如果 ，那么锐角 的度数为 . 答案： 0. 试题分析：本题考查特殊角的三角函数值的记忆情况，在中考中经常出现，要熟练掌握： cos30= ， ，所以 A=30 考点：特殊角的三角函数值 计算题 计算： 答案： . 试题分析：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，首先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后根据实数运算法则进行计算得出答案： 试题： 解：原式 = = = 考点： 1、特殊角的三角函数值； 2、实数的综合运算 . 解答题 已知二次

9、函数 y=x2kx+k1（ k 2） . （ 1）求证：抛物线 y=x2kx+k-1（ k 2）与 x轴必有两个交点； （ 2）抛物线与 x轴交于 A、 B两点（点 A在点 B的左侧），与 y轴交于点 C,若 ，求抛物线的表达式； （ 3） 以（ 2）中的抛物线上一点 P（ m,n）为圆心， 1为半径作圆，直接写出：当 m取何值时， x轴与 相离、相切、相交 . 答案：（ 1）证明详见；（ 2） ；（ 3）当 或时， x轴与 相离 .； 当 或 或 时， x轴与 相切； 当 或时， x轴与 相交 . 试题分析：（ 1）令 y=0，得到一个关于字母 x的一元二次方程，求出此方程的判别式的值为 ，

10、根据 k2，可得 ，即可得到答案： . （ 2）令 ，有 ；解得： . 根据 k的取值以及点A、 B的位置确定 ；由抛物线与 y轴交于点 C得： ；根据 Rt 中 OAC 的正切值求得 k 的取值，进而可得抛物线的表达式 .（ 3）根据直线与圆的位置关系是由圆心到直线的距离和圆的半径确定的，当 P与 x轴相切时，即 y=1；根据相切时 m的取值即可作出判断，注意分类讨论 . 试题： （ 1）证明： ， 又 ， . 即 . 抛物线 y = x2 kx + k - 1与 x轴必有两个交点 . (2) 解： 抛物线 y = x2 kx + k -1与 x轴交于 A、 B两点， 令 ，有 . 解得：

11、. ，点 A在点 B的左侧， . 抛物线与 y轴交于点 C, . 在 Rt 中 , , , 解得 . 抛物线的表达式为 . （ 3）解：当 或 时， x轴与 相离 . 当 或 或 时， x轴与 相切 . 当 或 时， x轴与 相交 . 考点： 1、根的判别式； 2、求二次函数的式； 3、直线与圆的位置关系 . 由于 2013年第 30号强台风 “海燕 ”的侵袭，致使多个城市受到影响 . 如图所示， A市位于台风中心 M北偏东 15的方向上，距离 千米， B市位于台风中心 M正东方向 千米处 . 台风中心以每小时 30千米的速度沿 MF向北偏东60的方向移动（假设台风在移动的过程中的风速保持不变

12、），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强烈台风的影响 . （ 1） A市、 B市是否会受到此次台风的影响？说明理由 . （ 2）如果受到此次台风影响 ,该城市受到台风影响的持续时间为多少小时 答案：（ 1） A市不会受到此次台风影响， B市会受到此次台风影响；（ 2）2小时 . 试题分析：（ 1）如图 1，过点 A作 AC MF于点 C, 过点 B作 BD MF于点D只要求出 AC、 BD的长度与台风的影响半径相比较即可求解 .（ 2）如图 2，以点 B为圆心，以 60千米为半径作 交 MF于 P、 Q 两点，图中的 PQ表示台风位于 PQ时， B市会受到影响，求 B市受台风影 响的

13、持续时间可先求出 PQ的距离，再根据台风的速度即可求解 . 试题： 解：（ 1）如图 1，过点 A作 AC MF于点 C, 过点 B作 BD MF于点 D依题意得： AME=15， EMD=60， , ， AMC=45， BMD=30 ， 台风影响半径为 60千米，而 ， ， A市不会受到此次台风影响， B市会受到此次台风影响 . 如图 2，以点 B为圆心，以 60千米为半径作 交 MF于 P、 Q 两点，连接 PB. ，台风影响半径为 60千米， . BD PQ， PQ=2PD=60. 台风移动速度为 30千米 /小时， 台风通过 PQ的时间为 小时 . 即 B市受台风影响的持续时间为 小时

14、 . 考点：解三角形的实际应用 阅读下面的材料： 小明遇到一个问题：如图（ 1），在 ABCD中，点 E是边 BC 的中点，点 F是线段 AE上一点， BF 的延长线交射线 CD于点 G. 如果 ，求 的值 . 他的做法是：过点 E作 EH AB交 BG于点 H，则可以得到 BAF HEF. 请你回答：（ 1） AB和 EH的数量关系为 ， CG和 EH的数量关系为 ， 的值为 . （ 2）如图（ 2），在原题的其他条件不变的情况下，如果 ，那么的值为 （用含 a的代数式表示） . （ 3）请你参考小明的方法继续探究：如图（ 3），在四边形 ABCD中，DC AB，点 E是 BC 延长线上一点

15、， AE和 BD相交于点 F. 如果，那么 的值为 （用含 m， n的代数式表示） . 答案：（ 1） , , ；（ 2） ；（ 3） . 试题分析：本题的设计独具匠心：由平行四边形中的一个特殊的例子出发（第1问），推广到平行四边形中的一般情形（第 2问），最后再通过类比、转化到梯形中去（第 3问）各种图形虽然形式不一，但运用的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造相似三角形，得到线段之间的比 例关系，这个比例关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便地求出线段的比值本题体现了初中数学的类比、转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三（ 1）根据 BAF HEF, 可知两

16、三角形的相似比是 3:1，所以 AB=3EH；由 EH AB、 CD AB可得 EH CD，故 BCG BEH，而E为 BC 的中点，所以两三角形的相似比为 2:1，所以 CG=2EH；由平行四边形对边相等得， AB=CD,所以 . 根据（ 1）的分析，易得 .（ 3）本问体现 “类比 ”与 “转化 ”的情形，将（ 1）（ 2）问中的解题方法 推广转化到梯形中，如下图所示 试题： 解：（ 1）依题意，过点 E作 EH AB交 BG于点 H，如右图 1所示则有 ABF HEF， ,即 AB=3EH EH AB、 CD AB可得 EH CD， BCG BEH， 又 E为 BC 的中点， CG=2E

17、H； 故填空依次为： , , . 同理根据（ 1）可以发现： ， ； 故填空为 . 如上图所示，过点 E作 EH/AB交 BD的延长线于点 H，则有 EH/AB/CD EH/CD BCD BEF, ,即 又 EH/AB ABF EHF 故填空为： . 考点： 1、相似形综合题； 2、平行四边形的性质； 3、梯形； 4、相似三角形的判定与性质 已知：如图，在 ABC 中， AB=AC，以 AC 为直径的 O 与 BC 交于点 D，DE AB，垂足为 E， ED的延长线与 AC 的延长线交于点 F. （ 1）求证： DE是 O 的切线； （ 2）若 O 的半径为 4， BE=2，求 F的度数 .

18、答案：（ 1）证明详见；（ 2） . 试题分析：如图，（ 1）求证 DE是 O 的切线，可连接 OD证明 OD ED即可 .可由 AB=AC、 OD=OC 得到 ，进而可得 平行线 ；此时易证 ；（ 2）连接 AD.由 AC 为 O 的直径得 ，可证 Rt Rt ，进而得到： ；由 O 的半径为 4，可求出. 在 Rt 中，由 ，所以 ；进而得到等边三角形 ，所以 . 试题： （ 1）证明：连接 OD. AB=AC, . OD=OC, . . . . DE AB, . . . DE是 O 的切线 . （ 2）解：连接 AD. AC 为 O 的直径， . 又 DE AB, Rt Rt . . .

19、 O 的半径为 4， AB=AC=8. . . 在 Rt 中， ， . 又 AB=AC, 是等边三角形 . . 考点： 1、切线的判定； 2、相似三角形的判定与性质； 3、三角函数； 4、等边三角形的判定 . （ 1）已知二次函数 ，请你化成 的形式，并在直角坐标系中画出 的图象； （ 2）如果 ， 是（ 1）中图象上的两点，且 ，请直接写出 、 的大小关系； （ 3）利用（ 1）中的图象表示出方程 的根来，要求保留画图痕迹，说明结果 答案：（ 1） ，图象见；（ 2） ；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）首先由 “ ”想到应化为 ，此时比原来多了 “1”，因此再减去 1，据此将原函数式变形

20、；画函数图象应确定几个基本点后，描点连线即可；（ 2）由图象可直接判断，得出结果；（ 3）由式可知将原图象向上平移两个单位即得到新的函数图象，其与 x轴的交点即为所求的根 . 试题： 解：（ 1） . 画图象，如图所示 （ 2） （ 3）如图所示，将抛物线 向上平移两个单位后得到抛物线，抛物线 与 x轴交于点 A、 B，则 A、 B两点的横坐标即为方程 的根 . 考点：二次函数的综合运用 . 如图，在平面直角坐标系 中， A与 y轴相切于点 ，与 x轴相交于 M、 N 两点 .如果点 M的坐标为 ，求点 N 的坐标 . 答案： 试题分析：如图，连接 AB、 AM，过点 A作 AC MN 于点

21、C此时易得四边形 BOCA为矩形由垂径定理可得： MC=CN，在 Rt AMC中，设 AM=r.根据勾股定理得： .即 ，求得 r= 即 A的半径为 .进而根据 MC=CN 求得点 N 的坐标 . 试题： 解：连接 AB、 AM，过点 A作 AC MN 于点 C A与 y轴相切于点 B(0， )， AB y轴 . 又 AC MN， x 轴 y轴， 四边形 BOCA为矩形 AC=OB= ， OC=BA AC MN， ACM= 90， MC=CN M( ， 0)， OM= 在 Rt AMC中，设 AM=r. 根据勾股定理得： . 即 ，求得 r= A的半径为 即 AM=CO=AB = MC=CN=

22、2 . N( ， 0) . 考点： 1、切线的性质； 2、矩形的判定与性质； 3、勾股定理 . 如图，在 ABC中， ABC=2 C， BD平分 ABC，且 ，求 AB的值 . 答案： . 试题分析：本题考查了相似三角形的判定与性质 .一般地，在几何图形的解题中求线段的长度要用到的知识点有勾股定理、三角函数、相似三角形，前两者都必需在直角三角形中才能使用，后者在任意三角形中均可使用 .由 ABC=2 C，BD平分 ABC，易求证 ABD ACB. 进而利用 求解 . 试题： 解：如图： BD平分 ABC， ABC=2 1=2 2. ABC=2 C， C= 1= 2. . . 又 A= A, A

23、BD ACB. . . （舍负） . 考点：相似三角形的判定与性质 . 已知抛物线与 x轴相交于两点 A(1， 0)， B(-3， 0)，与 y轴相交于点 C(0， 3) (1)求此抛物线的函数表达式； (2)如果点 是抛物线上的一点，求 ABD的面积 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）设抛物线的式为 . 将 A、 B两点坐标代入抛物线的式中，即可求出待定系数的值，从而确定该二次函数的式； （ 2）将 D点横坐标代入抛物线的式中，即可求出 m的值；以 AB为底， D点纵坐标的绝对值为高，即可求出 ABD的面积 试题： 解： (1) 抛物线与 y轴相交于点 C(0， 3), 设抛

24、物线的式为 . 抛物线与 x轴相交于两点 ， 解 得： 抛物线的函数表达式为： . （ 2） 点 是抛物线上一点， . . 考点：二次函数综合题 如图，从热气球 C处测得地面 A、 B两处的俯角分别为 30、 45，如果此时热气球 C处的高度 CD为 100米，点 A、 D、 B在同一直线上，求 AB两处的距离 . 答案： 米 . 试题分析：本题考查的是解直角三角形的应用 -仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键先根据从热气球 C处测得地面 A、 B两点的俯角分别为 30、 45可求出 BCD与 ACD的度数，再由直角三角形的性质求出AD与 BD的长，根据 AB=AD+BD即可得

25、出结论 试题： 解：依题意，可知： CAB=300， CBA=450， CD AB,CD=100米 . CD AB CDA= CDB=900 BD=CD=100 ， 在 Rt ADC 中， AB两处的距离为 米 . 考点：解直角三角形的应用 -仰角俯角问题 现有三个自愿献血者，两人血型为 O 型，一人血型为 A型 .若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所献血的血型均为 O 型的概率 (要求：用列表或画树状图的方法解答 ) 答案： . 试题分析：如果一个事件有 n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现 m种结果，那么事件 A的概率 ，注意本题是放回

26、实验，找到两次所抽血的血型均为 O 型的情况数是关键列举出所有情况，看两次所抽血的血型均为 O 型的情况占总情况的多少即可求解 试题： 解：列表如下： O1 O2 A O1 (O1， O1) (O1， O2) (O1， A) O2 (O2， O1) (O2， O2) (O2， A) A (A， O1) (A， O2) (A， A) 所以，两次所献血型均为 O 型的概率为 . 考点：列表法与树状图法 如图 1，正方形 ABCD是一个 6 6网格的示意图，其中每个小正方形的边长为 1，位于 AD中点处的点 P按图 2的程序移动 （ 1）请在图中画出点 P经过的路径； （ 2）求点 P经过的路径总长

27、 答案：（ 1）详见；（ 2） . 试题分析：按图 2中的程序旋转一一找到对应点，第一次是绕点 A顺时针旋转90，得到对应点，再绕点 B顺时针旋转 90，得到对应点再绕点 C顺时针旋转 90，得到对应点，再绕点 D顺时针旋转 90，得到对应点即可，从中可以看出它的路线长是 4段弧长，根据弧长公式计算即可求出点 P所经过的路径总长 . 试题： 解：（ 1）如图所示： （ 2）由题意得 ,点 P经过的路径总长为： 考点： 1、弧长的计算； 2、旋转的性质 已知：四边形 ABCD中， AD BC， AD=AB=CD， BAD=120，点 E是射线 CD上的一个动点（与 C、 D不重合），将 ADE绕

28、点 A顺时针旋转 120后，得到 ABE，连接 EE. （ 1）如图 1， AEE= ； （ 2）如图 2，如果将直线 AE绕点 A顺时针旋转 30后交直线 BC 于点 F，过点E作 EM AD交直线 AF 于点 M，写出线段 DE、 BF、 ME之间的数量关系； （ 3）如图 3，在（ 2）的条件下，如果 CE=2， AE= ，求 ME的长 . 答案：（ 1） 30； （ 2）当点 E在线段 CD上时， ；当点 E在 CD的延长线上 ,时， ； 时， ；时， ； （ 3） . 试题分析：（ 1）根据旋转地的性质易得到 ADE ABE/, EAE/=120，所以 AEE/=30. 由于点 E是

29、射线 CD上一动点，其位置不确定，故应分情况讨论：一是当点 E在线段 CD上时：此时易得 ；二是点 E在 CD的延长线上时，仍需考虑多种情况，可以知道，当 EAD=300时， AE旋转后的直线与 BC 平行，当 EAD=900时， AE旋转后的直线与 AB共线，而 EAD不可能为 1200，所以应再次细分为三种情况：即当 时；当 时；当时 . (3）如图，作 于点 G, 作 于点 H.易知四边形 AGHD是矩形和两个全等的直角三角形 ； 点 、 B、 C在一条直线上 .继续作于 Q. 于点 P. 多次利用勾股定理可得 ， ；继而证明 Rt AG E Rt FA E，根据相似三角形性质可求解 .

30、 试题： 解： (1) 30. 当点 E在线段 CD上时， ； 当点 E在 CD的延长线上， 时， ； 时， ； 时， . (3)作 于点 G, 作 于点 H. 由 AD BC， AD=AB=CD， BAD=120，得 ABC= DCB=60， 易知四边形 AGHD是矩形和两个全等的直角三角形 .则 GH=AD , BG=CH. , 点 、 B、 C在一条直线上 .设 AD=AB=CD=x,则 GH=x,BG=CH= ,. 作 于 Q.在 Rt EQC中， CE=2, , , . EQ= . 作 于点 P. ADE绕点 A顺时针旋转 120后，得到 ABE. A EE是等腰三角形， . 在 Rt AP E中， EP= . EE=2 EP= . 在 Rt EQ E中， EQ= . . . ， . 在 Rt EAF中 , Rt AG E Rt FA E. . . 由（ 2）知： . . 考点： 1、全等三角形的判定； 2、相似三角形的判定与性质； 3、勾股定理 .