1、2014届江苏南京市玄武区九年级第一学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知函数 ,则自变量 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：函数 有意义 ,则有 即 : . 故选 D 考点：函数自变量的取值 如图 ,正三角形 ABC的边长为 3cm,动点 P从点 A出发 ,以每秒 的速度 ,沿ABC 的方向运动 ,到达点 C时停止设运动时间为 （秒） , PC2,则 关于 的函数图象大致为（ ） 答案： C 试题分析：需要分类讨论： 当 0x3,即点 P在线段 AB上时 ,根据余弦定理知cosA= ,所以将相关线段的长度代入该等式 ,即可求得 y与 x的函数关系式 y=x
2、23x+9,然后根据函数关系式确定该函数的图象 当 3 x6,即点 P在线段 BC上时 ,y与 x的函数关系式是 y=（ 6x） 2=（ x6） 2（ 3x6） ,根据该函数关系式可以确定该函数的图象 故选 C 考点：动点问题的函数图象 根据下列表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 判断方程 ax2+bx+c=0（ a0,a.b.c为常数）的一个解 x的范围是 ( ) . A 3.22 x 3.23 B 3.23 x 3.24 C 3.24 x 3.25 D 3.25 x 3.26 答案： C 试题分析：函数
3、 y=ax2+bx+c的图象与 x轴的交点就是方程 ax2+bx+c=0的根 , 函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴的交点的纵坐标为 0; 由表中数据可知： y=0在 y=0.02与 y=0.03之间 , 对应的 x的值在 3.24与 3.25之间即 3.24 x 3.25 故选 C 考点：图象法求一元二次方程的近似根 在平面直角坐标系中 ,将函数 y=2x2的图象先向右平移 1个单位 ,再向上平移5个单位得到图象的函数关系式是（ ） A y=2(x-1)2-5 B y=2(x-1)2+5 C y=2(x+1)2-5 D y=2(x+1)2+5 答案： B 试题分析： 函数 y=2x2的
4、图象先向右平移 1个单位 ,再向上平移 5个单位 , 平移后的抛物线的顶点坐标为（ 1,5） , 平移后得到的函数关系式为 y=2（ x1） 2+5 故选 B 考点：二次函数图象 对甲 .乙两同学 100米短跑进行 5次测试 ,通过计算 ,他们成绩的平均数相等 ,方差 , ,下列说法正确的是（ ） A甲短跑成绩比乙好 B乙短跑成绩比甲好 C甲比乙短跑成绩稳定 D乙比甲短跑成绩稳定 答案： C 试题分析：根据方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小 ,方差越大 ,波动性越大 ,反之也成立观察数据可知甲队的方差小 ,故甲比乙短跑成绩稳定 故选 C 考点：方差 下列二次根式中 ,与 是同类二次根式的
5、是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： A. =3,与 的被开方数不同 ,故不是同类二次根式 ; B. 与 的被开方数不同 ,故不是同类二次根式 ; C. =2 ,与 的被开方数相同 ,故是同类二次根式 ; D. ,与 的被开方数不同 ,故不是同类二次根式 . 故选 C 考点：同类二次根式 填空题 如图 ,直径分别为 CD.CE的两个半圆相切于点 C,大半圆 M的弦与小半圆 N相切于点 F,且 AB CD,AB=10,设弧 CD.弧 CE的长分别为 . ,线段 ED的长为,则 的值为 答案： 试题分析：过 M作 MG AB于 G,连 MB,NF,如图 , 而 AB=10, BG=AG
6、=5, MB2MG2=52=25, 又 大半圆 M的弦与小半圆 N相切于点 F, NF AB, AB CD, MG=NF, 设 M, N的半径分别为 R,r, z（ x+y） =（ CDCE）（ R+ r） , =（ 2R2r）（ R+r） , =（ R2r2） 2, =25 2, =50 故答案：是 50 考点：切线的性质 如果抛物线 与抛物线 关于 轴对称 ,则 = , = 答案： ,-3 试题分析：抛物线 y=4x2+3的顶点坐标为（ 0,3） ,抛物线 y=ax2+k的顶点坐标为（ 0,k） , 两抛物线关于 x轴对称 , a=4,k=3 故答案：是 4,-3 考点：二次函数图象与几何
7、变换 如图 ,四边形 OABC为菱形 ,点 A.B在以 O为圆心的 上 ,若 OA=1, 1= 2,则扇形 ODE的面积为 答案： 试题分析：连接 OB,根据等边三角形的性质可以求得 AOC=120,再结合 1= 2,即可求得 DOE=120, 根据扇形的面积公式得：扇形 ODE的面积为 故答案：是 考点：扇形面积 如果关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ,那么 的取值范围是 答案： k 且 k0 试题分析：根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 k20且 =（ 2k+1） 24k2 0,解得 k 且 k0 故答案：是 k 且 k0 考点：根的判别式 若两圆相切 ,圆心距是 7,
8、其中一圆的半径为 10,则另一圆的半径为 答案：或 17 试题分析：两圆相切 ,因为圆心距小于一圆的半径 ,两圆不可能外切 ,内切时 ,设另一个圆的半径为 R,则有： |10R|=7所以 R=3或 17 故答案：是 3或 17 考点：圆与圆的位置关系 如图 ,在 O中 ,直径 AB 弦 CD于点 M,AB=26,OM=5,则 CD的长为 _ _ 答案： 试题分析：连接 OC由垂径定理得到 OM OC,CD=2CM所以在直角 COM中 ,由勾股定理可以求得 CM=12, 所以 CD=2CM=24 故答案：是 24 考点：垂径定理 如图 , O中 , AOB 110,点 C.D是 上任两点 ,则
9、C D的度数是_ 答案： 试题分析：根据圆周角定理得到 C= D= AOB=55,然后求它们的和 C+ D=110 故答案：是 110 考点：圆周角定理 圆锥的底面半径为 5cm,母线长为 12cm,其侧面积为 cm2 答案： 试题分析：圆锥的侧面积 =25122=60 故答案：是 60 考点：圆锥的计算 在同一坐标系中 ,二次函数 和 的图象都具有的特征是 （只写一条） 答案：顶点（ 0,0） 试题分析：二次函数 和 的图象都具有的特征是：对称轴是 y轴所在直线 .顶点（ 0,0）等 故答案：是顶点（ 0,0） 考点：二次函数的性质 样本数据 3,6, ,4,2,则这个样本的极差是 答案：
10、试题分析：直接根据极差的定义求解 6（ 1） =7 故答案：是 7 考点：极差 计算题 计算： 答案： 试题分析：先化成最简二次根式 ,再进行运算 试题：原式 = = 考点：二次根式的化 简 解答题 阅读下列材料： 小华遇到这样一个问题 ,如图 1, ABC中 , ACB=30o,BC=6,AC=5,在 ABC内部有一点 P,连接 PA.PB.PC,求 PA+PB+PC的最小值 小华是这样思考的：要解决这个问题 ,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离 ,然后再将它们连接成一条折线 ,并让折线的两个端点为定点 ,这样依据“两点之间 ,线段最短 ”,就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝
11、试了翻折 .旋转 .平移的方法 ,发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是 ,如图 2,将 APC绕点 C顺时针旋转 60o,得到 EDC,连接 PD.BE,则 BE的长即为所求 （ 1）请你写出图 2中 ,PA+PB+PC的最小值为 ; （ 2）参考小华的思考问题的方法 ,解决下列问题： 如图 3,菱形 ABCD中 , ABC=60o,在菱形 ABCD内部有一点 P,请在图 3中画出并指明长度等于 PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹 ,画出一条即可） ; 若 中菱形 ABCD的边长为 4,请直接写出当 PA+PB+PC值最小时 PB的长 答案： (1)PA+PB+PC的最小值为 ; (
12、2) 图形见 ; 当 PA+PB+PC值最小时 PB的长为 试题分析：（ 1）先由旋转的性质得出 APC EDC,则 ACP= ECD,AC=EC=5, PCD=60,再证明 BCE=90,然后在 Rt BCE中 ,由勾股定理求出 BE的长度 ,即为 PA+PB+PC的最小值 ; （ 2） 将 APC绕点 C顺时针旋转 60,得到 DEC,连接 PE.DE,则线段 BD即为 PA+PB+PC最小值的线段 ; 当 B.P.E.D四点共线时 ,PA+PB+PC值最小 ,最小值为 BD先由旋转的性质得出 APC DEC,则 CP=CE,再证明 PCE是等边三角形 ,得到 PE=CE=CP,然后根据菱
13、形 .三角形外 角的性质 ,等腰三角形的判定得出 BP=CP,同理 ,得出 DE=CE,则 BP=PE=ED= BD 试题：（ 1）如图 2 将 APC绕点 C顺时针旋转 60,得到 EDC, APC EDC, ACP= ECD,AC=EC=5, PCD=60, ACP+ PCB= ECD+ PCB, ECD+ PCB= ACB=30, BCE= ECD+ PCB+ PCD=30+60=90 在 Rt BCE中 , BCE=90,BC=6,CE=5, , 即 PA+PB+PC的最小值为 ; （ 2） 将 APC绕点 C顺时针旋转 60,得到 DEC,连接 PE.DE,则线段 BD等于 PA+P
14、B+PC最小值的线段 ; 当 B.P.E.D四点共线时 ,PA+PB+PC值最小 ,最小值为 BD 将 APC绕点 C顺时针旋转 60,得到 DEC, APC DEC, CP=CE, PCE=60, PCE是等边三角形 , PE=CE=CP, EPC= CEP=60 菱形 ABCD中 , ABP= CBP= ABC=30, PCB= EPC CBP=60 30=30, PCB= CBP=30, BP=CP, 同理 ,DE=CE, BP=PE=ED 连接 AC,交 BD于点 O,则 AC BD 在 Rt BOC中 , BOC=90, OBC=30,BC=4, BO=BC cos OBC= , B
15、D=2BO= , BP= BD= 即当 PA+PB+PC值最小时 PB的长为 考点：几何变换综合题 如图 ,在矩形 ABCD中 ,点 O是边 AD上的中点 ,点 E是边 BC上的一个动点 ,延长 EO 到 F,使得 OE=OF. （ 1）当点 E运动到什么位置时 ,四边形 AEDF是菱形？（直接写出答案：） （ 2）若矩形 ABCD的周长为 20,四边形 AEDF的面积是否存在最大值？如果存在 ,请求出最大值 ;如果不存在 ,请说明理由 （ 3）若 AB= ,BC= ,当 . 满足什么条件时 ,四边形 AEDF能成为一个矩形？（不必说明理由） 答案：（ 1）当点 E运动到 BC的中点时 ,四边
16、形 AEDF是菱形 ; （ 2）存在 .当 时 ,四边形 AEDF的面积最大为 25; （ 3）当 m n时 ,四边形 AEDF能成为一个矩形 试题分析：（ 1）根据矩形的性质得出 AB=CD, B= C=90,求出四边形是平行四边形 ,根据勾股定理求出 AE=DE,即可得出答案： ; （ 2）求出 S 四边形 AEDF=2S AED=S 矩形 ABCD,设 AB=x,则 BC=10x,四边形 AEDF的面积为 y,求出 y=x（ 10x） ,求出二次函数的最值即可 ; （ 3）根据矩形能推出 BAE CED,得出比例式 ,代入得出方程 ,求出方程的判别式 ,即可得出答案： 试题：（ 1）当点
17、 E运动到 BC的中点时 ,四边形 AEDF是菱形 , 理由是： 四边形 ABCD是矩形 , AB=CD, B= C=90, E为 BC中点 , BE=CE, 由勾股定理得： AE=DE, 点 O是边 AD上的中点 ,OE=OF, 四边形 AEDF是平行四边形 , 平行四边形 AEDF是菱形 ; （ 2）存在 . 点 O是 AD的中点 , AO=DO , OE=OF, 四边形 AEDF是平行四边形 , , 设 AB= ,则 BC= ,四边形 AEDF的面积为 , 当 时 ,四边形 AEDF的面积最大为 25; （ 3）当 m n时 ,四边形 AEDF能成为一个矩形 , 理由是：设 BE=z,则
18、 CE=nz, 当四边形 AEDF是矩形时 , AED=90, B= C=90, BAE+ BEA=90, BEA+ DEC=90, BAE= DEC, BAE CED, , , z2nz+m2=0, 当判别式 =（ n） 24m20时 ,方程有根 ,即四边形 AEDF是矩形 , 解得： m n, 当 m n时 ,四边形 AEDF能成为一个矩形 考点：四边形综合题 某批发商以每件 50元的价格购进 400件 T恤若以单价 70元销售 ,预计可售出 200件批发商的销售策略是：第一个月为增加销售量 ,降价销售 ,经过市场调查 ,单价每降低 0.5元 ,可多售出 5件 ,但最低单价不低于购进的价格
19、 ;第一个月结束后 ,将剩余的 T恤一次性清仓销售 ,清仓时单价为 40元设第一个月单价降低 x元 （ 1）根据题意 ,完成下表： 每件 T恤的利润（元） 销售量（件） 第一个月 清仓时 （ 2） T恤的销售单价定为多少元时 ,该批发商可获得最大利润？最大利润为多少？ 答案：（ 1）图表见 ; （ 2） T恤的销售单价定为 45元时该批发商可获得最大利润 ,最大利润为 2250元 试题分析：（ 1）根据已知首先表示出销量以及每件利润即可 ; （ 2）首先表示出单价与利润的关系 ,进而利用二次函数最值求法求出即可 试题：（ 1） 每件 T恤的利润（元） 销售量（件） 第一个月 清仓时 （ 2）
20、设批发商可获得利润 元 , 当 时 , 售价为： 50-5=45（元） , 答： T恤的销售单价定为 45元时该批发商可获得最大利润 ,最大利润为2250元 考点：二次函数的应用 如图 ,已知 ABC内接于 O,点 D在 OC的延长线上 , B CAD 30. （ 1） AD是 O的切线吗？为什么？ （ 2）若 OD AB,BC=5,求 O的半径 . 答案： (1)证明见 ;（ 2） O的半径为 5 试题分析：（ 1）理解 OA,根据圆周角定理求出 O,求出 OAC,即可求出 OAD=90,根据切线的判定推出即可 （ 2）求出等边三角形 OAC,求出 AC,即可求出答案： 试题：（ 1） AD
21、是 O的切线 ,理由如下：连接 OA, B=30, O=60, OA=OC, OAC=60, CAD=30, OAD=90, 又 点 A在 O 上 , AD是 O的切线 ; （ 2） OAC= O=60, OCA=60, AOC是等边三角形 , OD AB, OD垂直平分 AB, AC=BC=5, OA=5, 即 O的半径为 5 考点：切线的判定 随着青奥会的临近 ,青奥特许商品销售逐渐火爆甲 .乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为 10万元和 15万元 ,三月份销售额甲店比乙店多 10万元已知甲店二 .三月份销售额的月平均增长率是乙店二 .三月份月平均增长率的 2倍 (1)若设乙店二 .三
22、月份销售额的月平均增长率为 ,则甲店三月份的销售额为 万元 ,乙店三月份的销售额为 万元（用含 的代数式表示） (2)甲店 .乙店这两个月销售额的月平均增长率各是多少？ 答案： (1) 10（ 1+2x） 2,15（ 1+x） 2;(2) 甲 .乙两店这两个月的月平均增 长率分别是 120%.60% 试题分析：（ 1）设乙店销售额月平均增长率为 x,分别表示出每个月的销售额 ;（ 2）根据等量关系 “三月份销售额甲店比乙店多 10万元列出方程即可求解 试题：（ 1）设乙店二 .三月份销售额的月平均增长率为 x, 则甲店三月份的销售额为 10（ 1+2x） 2万元 , 乙店三月份的销售额为 15
23、（ 1+x） 2万元 ; 故答案：为： 10（ 1+2x） 2,15（ 1+x） 2; （ 2） 10（ 1+2x） 215（ 1+x） 2=10, 解得 x1=60%,x2=1（舍去） , 2x=120%, 答：甲 .乙两店这两个月的月平均增长率分别是 120%.60% 考点：一元二次方程的应用 如图 ,在梯形 中 , , 点 , , 分别在边 , ,上 , （ 1）求证：四边形 是平行四边形 ; （ 2）当 时 ,求证：四边形 是矩形 答案：证明见 试题分析：（ 1）要证明该四边形是平行四边形 ,只需证明 AE FG根据对边对等角 GFC= C,和等腰梯形的性质得到 B= C则 B= GF
24、C,得到AE FG （ 2）在平行四边形的基础上要证明是矩形 ,只需证明有一个角是直角根据三角形 FGC的内角和是 180,结合 FGC=2 EFB和 GFC= C,得到 BFE+ GFC=90则 EFG=90 试题：（ 1） 在梯形 ABCD中 ,AB=DC, B= C GF=GC, C= GFC, AB GF,即 AE GF AE=GF, 四边形 AEFG是平行四边形 ; （ 2） FGC+ GFC+ C=180, GFC= C, FGC=2 EFB, 2 GFC+2 EFB=180, BFE+ GFC=90 EFG=90 四边形 AEFG是平行四边形 , 四边形 AEFG是矩形 考点：
25、1.梯形 ,2.平行四边形的判定 ,3.矩形的判定 已知二次函数 （ 1）证明：不论 取何值 ,该函数图象与 轴总有两个公共点 ; （ 2）若该函数的图象与 轴交于点 (0,5),求出顶点坐标 ,并画出该函数图象 答案：（ 1）证明见 ;（ 2）顶点坐标：（ , ） ,图像见 试题分析：（ 1）证明对应的一元二次方程 x2+（ m3） x+m=0的根的判别式大于 0,即可作出判断 ; （ 2）把 x=0,y=5代入抛物线的式 ,即可得到一个关于 m的方程 ,从而求得 m的值 ,得到函数的式 ,然后把式化成顶点式的形式 ,即可求解 试题：（ 1）令 , , , = = , （ m-1） 20 （
26、 m-1） 2+8 0 b2-4ac 0 不论 取何值 ,该函数图象与 轴总有两个公共点 ; （ 2）把 , 代入 = 顶点坐标：（ , ） 函数图象： 考点：二次函数的图象 解下列一元二次方程： （ 1） （ 2） 答案：（ 1） ;（ 2） x1= ,x2= 试题分析：（ 1）利用配方法解方程 ;（ 2）先移项 ,再用提公因式法解方程 试题：（ 1） , , , ; （ 2） , , 或 , x1= ,x2= 考点：解一元二次方程 化简： （ 0, 0） 答案： 试题分析：化简时 ,要注意化成最简的形式 试题：原式 = 考点：二次根式的化简 （ 1）如图 1,OC平分 AOB,点 P在 O
27、C上 ,若 P与 OA相切 ,那么 P与 OB位置关系是 （ 2）如图 2, O的半径为 2, AOB=120, 若点 P是 O上的一个动点 ,当 PA=PB时 ,是否存在 Q,同时与射线 PA.PB相切且与 O相切 ,如果存在 ,求出 Q的半径 ; 如果不存在 ,请说明理由 若点 P在 BO的延长线上 ,且满足 PA PB,是否存在 Q,同时 与射线 PA.PB相切且与 O相切 ,如果存在 ,请直接写出 Q的半径 ; 如果不存在 ,请说明理由 答案：（ 1）相切 ;（ 2） 存在 ,半径可以为 ,4 , , ; 存在其半径可以为 1, 试题分析：（ 1）作 PD OA于 A,PE OB于 B
28、,则根据角平分线定义得到PD=PE,根据切线的性质由 P与 OA相切得到 PD为 P的半径 ,然后根据切线的判定定理可得到 OB为 P的切线 ; （ 2） 由 PA=PB得到点 P为 AOB的平分线或反向延长线与 O的交点 ,分类讨论：当 P点在优弧 AB上时 ,当 P点在劣弧 AB上时 ,然后解四个方程 即可得到满足条件的 Q的半径 ; 作 QH PB于 H,由 PA PB得 APB=90,由 Q与射线 PA.PB相切 ,根据切线的性质得 PQ平分 APB,即 QPH=45,所以 QH=PH,在 Rt POA中易得OP=1,设 Q的半径为 r,即 PH=QH=r,则 OH=PHOP=r1,在
29、 Rt OQH中 ,根据勾股定理得 OQ2=OH2+QH2=（ r1） 2+r2, 若 Q与 O内切时 ,OQ=2r,得到（ 2r） 2=（ r1） 2+r2,若 Q与 O外切时 ,OQ=2+r,得到（ 2+r） 2=（ r1） 2+r2,然后解两个方程即可得到满足条件的 Q的半径 试题：（ 1）作 PD OA于 A,PE OB于 B,如图 1, OC平分 AOB, PD=PE, P与 OA相切 , PD为 P的半径 , PE为 的半径 , 而 PE OB, OB为 P的切线 ; 故 P与 OB位置关系是相切 ; （ 2） 存在 PA=PB, 点 P为 AOB的平分线或反向延长线与 O的交点
30、, 如图 2, 当 P点在优弧 AB上时 , 设 Q的半径为 , 若 Q与 O内切 ,可得 ,解得 , 若 Q与 O外切 ,可得 , 解得 , 当 P点在劣弧 AB上时 , 同理 可得： x= ,x= , 综上所述 ,存在 Q,半径可以为 ,4 , , ; 存在作 QH PB于 H,如图 3, PA PB, APB=90, Q与射线 PA.PB相切 , PQ平分 APB, QPH=45, QHP为等腰直角三角形 , QH=PH, 在 Rt POA中 , AOP=60,OA=2, OP=1, 设 Q的半径为 r,即 PH=QH=r,则 OH=PHOP=r1, 在 Rt OQH中 ,OQ2=OH2+QH2=（ r1） 2+r2, 若 Q与 O内切时 ,OQ=2r,则（ 2r） 2=（ r1） 2+r2,解得 r1=1,r2=3（舍去） ; 若 Q与 O外切时 ,OQ=2+r,则（ 2+r） 2=（ r1） 2+r2,解得 r1= ,r2=（舍去） ; 综上所述 ,存在 Q,其半径可以为 1, 考点：圆的综合题
