1、2014届浙江宁波城区五校联考初三第一学期 12月月考数学试卷与答案（带解析） 选择题 点 P（ 1， 3）在反比例函数 的图象上，则 k的值是（ ） A B C D 答案： C. 试题分析：根据点在曲线图上点的坐标满足方程的关系，把 P（ 1， 3）代入，得 ，即 .故选 C. 考点：曲线上点的坐标与方程的关系 . 如图，将弧 BC 沿弦 BC 折叠交直径 AB于点 D，若 AD 6， DB 7，则BC 的长是（ ） A B C D 答案： D. 试题分析：如图，连接 CA、 CD， 根据折叠的性质，得： ， CAB= CBD+ BCD. CDA= CBD+ BCD（三角形的一个外角等于和它
2、不相邻的两个内角的和）， CAD= CDA，即 CAD是等腰三角形 . 过 C作 CE AB于 E，则由 AD 6得 AE=DE=3. BE=BD+DE=10. 在 Rt ACB中， CE AB，根据射影定理，得： BC2=BE AB=1013=130. BC= . 故选 D. 考点： 1. 折叠的性质； 2.垂径定理； 3.勾股定理； 4.圆周角定理； 5. 射影定理 如图，水平地面上有一面积为 30p 的灰色扇形 OAB，其中 OA的长度 为 6 ，且 OA与地面垂直 .若在没有滑动的情况下，将图 (甲 )的扇形向右滚动至点 A再一次接触地面，如图 (乙 )所示，则 O 点移动了（ ） A
3、 11p B 12p C 10p + D 11p + 答案： A. 试题分析：图 (甲 )的扇形向右滚动至点 A再一次接触地面，可分为两个过程： 第一过程，如图，图 (甲 )的扇形向右滚动至图（ 1）的位置， O 点移动的距离等于弧长 ，根据已知和扇形面积公式有 ； 第二过程，从图（ 1）的位置向右滚动至图（乙）的位置， O 点移动的距离等于弧长 ，根据已知和扇 形面积公式有优角 BOA= ，从而锐角 BOA=60， ABC=30，根据弧长公式有 . 因此， O 点共移动了 11pcm.故选 A. 考点： 1.弧长的计算； 2.面动问题； 3.分类思想的应用 . 如图， AC 是菱形 ABCD
4、的对角线， AE=EF=FC，则 S BMN ： S 菱形 ABCD的值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：如图，连接 BD， 四边形 ABCD是菱形， S BCD=S ABD= S 菱形 ABCD， AD BC. AEM BEC， AFM CFN. . AE=EF=FC， . CN= BC. BN= BC. S BMN= S BCD= S 菱形 ABCD S BMN： S 菱形 ABCD= . 故选 C 考点： 1.菱形的性质； 2.相似三角形的判定与性质 如图，用一块直径为 a的圆桌布平铺在对角线长为 a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度 x为（ ）
5、 A B C D 答案： B 试题分析：作出图象，把实际问题转化成数学问题，求出弦心距，再用半径减弦心距即可： 如图，正方形 ABCD是圆内接正方形， BD=a，点 O 是圆心，也是正方形的对角线的交点，则 OB= ， BOC是等腰直角三角形， 作 OF BC，垂足为 F，由垂径定理知，点 F是 BC 的中点， OF=OBsin45=. .故选 B 考点： 1.垂径定理的应用； 2.等腰直角三角形的判定和性质； 3.正方形的性质；4.特殊角的三角函数值 图中给出的直线 和反比例函数 的图像，判断下列结论正确的个数有（ ） ； 直线 与坐标轴围成的 ABO 的面积是 4； 方程组 的解为， ；
6、当 -6 x 2时，有 . A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： C 试题分析： 反比例函数 的图象经过点（ 2， 3）， k2=23=6. 反比例函数为 . 直线 经过点（ 2， 3）和点（ -6， -1）， . . 正确 . 直线为 ， 当 y=0， x=-4 点 A的坐标是（ -4， 0）；当 x=0时， y=2 点 B的坐标是（ 0， 2） ABO 的面积是 42=4，正确 . 观察图象，发现直线 和反比例函数 的图象交于点（ -6， -1），（ 2， 3），则方程组 的解为 ，正确 . 观察图象，可知当 -6 x 0或 x 2时，有 ，错误 故选 C 考点：反比例函数与一次
7、函数的交点问题 从长度分别为 3、 6、 7、 9的 4条线段中任取 3条作三角形的边，能组成三角形的概率为（ ） A B C D 答案： A. 试题分析：根据概率的求法，找准两点： 全部等可能情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。因此， 从长度分别为 3、 6、 7、 9 的四条线段中任取三条的可能结果有： 3、 6、 7； 3、6、 9； 3、 7、 9； 6、 7、 9；能组成三角形的有： 3、 6、 7； 3、 7、 9； 6、 7、 9， 能组成三角形的概率为： . 故选 A. 试题： 考点： 1.概率； 2.三角形的构成条件 . 如图，直角坐标系中，两条抛物
8、线有相同的对称轴，下列关系式中不正确的是（ ） A h=m B n h C k n D h 0， k 0 答案： B. 试题分析：根据图象可知，两抛物线对称轴相同，且在 y轴右侧，因此， h=m 0； 由图象知，二次函数式确定抛物线的顶点坐标分别为（ h， k），（ m， n），且点（ h， k）在点（ m， n）的上方，且一条在 x轴上方，一条在 x轴下方因此，k 0 n. 综上所述，不正确的是 n h. 故选 B. 考点：二次函数的图象和性质 . 如图所示，给出下列条件 ： B= ACD； ADC= ACB； ； AC2=AD AB其中单独能够判定 ABC ACD的有（ ） A B C D
9、 答案： C 试题分析：由图可知 ABC与 ACD中 A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答： B= ACD，再加上 A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； ADC= ACB，再加上 A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； 中 A不是已知的比例线段的夹角，不正确； 可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定 . 单独能够判定 ABC ACD的有 . 故选 C 考点：相似三角形的判定 某市气象局预报称：明天本市的降水概率为 80%，这句话指的是（ ） A明天本市 80%的时间下雨， 20%的时间不下雨 B明
10、天本市一定下雨 C明天本市 80%的地区下雨， 20%的地区不下雨 D明天本市不下雨的可能性只有 20% 答案： D. 试题分析：根据概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生。因此，明天本市的降水概率为80%，这句话指的是明天本市下雨的可能性是 80%不下雨的可能性只有 20%. 故选 D. 考点：概率的意义 . 抛物线 y=3(x-2)2+1图象上平移 2个单位，再向左平移 2个单位所得的式为 （ ） A y=3x2+3 B y=3x2-1 C y=3(x-4)2+3 D y=3(x-4)2-1 答案： A. 试题分析：抛物线的平移，实际上
11、就是顶点的平移，先求出原抛物线对顶点坐标，根据平移规律求新抛物线的顶点坐标，确定新抛物线的式： y=3(x-2)2+1的顶点坐标为（ 2， 1）， 把抛物线向上平移 2个单位，再向左平移 2个单位，得新抛物线顶点坐标为（ 0， 3） . 平移不改变抛物线的二次项系数， 平移后的抛物线的式是 y=3（ x-0） 2+3，即 y=3x2+3故选 A. 考点：二次函数图象与平移变换 如图， ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则 cos ABC等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析：找到 ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得 ABC的邻边与斜边之比即可： 由格点可得 A
12、BC所在的直角三角形的两条直角边为 2， 4， 斜边为 故选 B 考点： 1. 网格型； 2. 勾股定理； 3.锐角三角函数的定义 填空题 如图，等腰 Rt ABC的直角边 BC 在 x轴上，斜边 AC 上的中线 BD交 y轴于点 E,双曲线 的图象经过点 A.若 BEC的面积为 ，则 k的值为 答案： 试题分析：先根据题意证明 BOE CBA，根据相似比及面积公式得出BOAB的值即为 |k|的值，再由函数所在的象限确定 k的值： BD为 Rt ABC的斜边 AC 上的中线， BD=DC， DBC= ACB. 又 DBC= EBO， EBO= ACB. 又 BOE= CBA=90， BOE C
13、BA. ，即 BCOE=BOAB 又 S BEC= ， BC EO= ，即 BCOE= =BOAB=|k| 又由于反比例函数图象在第一象限， k 0，所以 k等于 考点： 1.反比例函数系数 k的几何意义； 2.直角三角形的性质； 3.相似三角形的判定和性质 如图，在面积为 24的菱形 ABCD中， E、 F分别是边 AD、 BC 的中点，点G、 H在 DC 边上，且 GH = DC则图中阴影部分面积为 答案： 试题分析：连接 EF、 EH、 GF，判断出四边形 EFCD是平行四边形， SEFCG=12，结合 ，可分别得出 S HOG=s，则 S EFO=4s， S EOH=2s，S OFG=
14、2s，从而求出 s的值，代入即可得出阴影部分的面积： 如图，连接 EF、 EH、 GF，则四边形 EFCD是平行四边形， SEFCG=12， 由题意得， ， 设 S HOG=s，则 S EFO=4s， S EOH=2s， S OFG=2s， HG=DH+CG， S EHG=S EDH+S FCG=3s， 综上可得： S EDH+S FCG+S HOG+S EFO+S OFG+S EOH=12，即 12s=12，解得： s=1， 阴影部分的面积为： 7s=7 考点： 1.面积及等积变换； 2.菱形的性质； 3. 平行四边形的判定和性质； 4.相似三角形的判定和性质 如图，坡面 CD的坡比为 ，坡
15、顶的平地 BC 上有一棵小树 AB，当太阳光线与水平线夹角成 60时，测得小树的在坡顶平地上的树影 BC 是 3米，斜坡上的树影 CD是 米，则小树 AB的高是 米 . 答案： . 试题分析：由已知得 Rt AFD， Rt CED，如图，且得： ADF=60， FE=BC，BF=CE， 在 Rt CED中，设 CE=x，由坡面 CD的坡比为 ，得： DE= x， 则根据勾股定理得： ， 不合题意舍去 . CE= 米，则， ED= 米 . FD=FE+ED=BC+ED=3+ = （米） . 在 Rt AFD中，由三角函数得：（米）， （米） . 考点： 1.解直角三角形的应用（坡度坡角问题）；
16、2. 锐角三角函数定义； 3.特殊角的三角函数值 如图，在以 AB为直径的 O 中，点 C是 O 上一点，弦 AC 长 6 cm， BC长 8 cm， ACB的平分线交 AB于 E，交 O 于 D则弦 AD的长是 cm. 答案： 试题分析：如图，连接 BD， AB为 O 的直径， BCA=90. AC=6 cm， BC=8 cm， 根据勾股定理，得 AB=10cm. CD平分 ACB， ACD=45. ABD=45. ABD为等腰直角三角形 . AD2+BD2=AB2. AB=10cm， AD= cm 考点： 1.圆周角定理； 2.勾股定理 把底面直径为 6，高为 4的空心无盖圆锥纸筒剪开摊平
17、在桌面上，摊平后它能遮住的桌面面积是 2 答案： . 试题分析：利用勾股定理可求得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积 =底面周长 母线长 2 ： 直径为 6m，则底面周长 =6cm，底面半径 =3cm，高为 4cm， 由勾股定理得，母线长 =5cm， 侧面面积 = 65=15cm2 考点： 1.圆锥的计算； 2. 勾股定理； 3. 圆的周长公式； 4.扇形面积公式 . 在围棋盒中有 6颗黑色棋子和 a颗白色棋子，随机地取出一颗棋子，如果它是白色棋子的概率是 ，则 a= . 答案： . 试题分析： 围 棋盒中有 6颗黑色棋子和 a颗白色棋子， 棋子的总个数为 6+a. 从中随机摸出一个棋子，摸到白色
18、棋子的概率为 ， 由概率公式，得 ，解并检验得， a=9. 考点：分式方程的应用（概率问题） . 解答题 如图，在边长为 24cm的正方形纸片 ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（ A、 B、 C、 D四个顶点正好重合于上底面上一点）。已知 E、 F在边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=BF=x(cm). （ 1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积 V； （ 2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积 S最大，试问 x应取何值？S最大值是多少？ 答案：（ 1） 432 cm3；（ 2
19、）当 x=8时， S取得最大值 384cm2. 试题分析：（ 1）根据已知得出这个正方体的底面边长 a= x， EF= a=2x，再利用 AB=24cm，求出 x即可得出这个包装盒的体积 V； （ 2）利用已知表示出包装盒的表面，从而利用函数最值求出即可 . 试题：（ 1）根据题意，知这个正方体的底面边长 a= x， EF= a=2x， x+2x+x=24，解得： x=6. 则 a=6 . V=a3=（ 6 ） 3=432 （ cm3） . （ 2）设包装盒的底面边长为 acm，高为 hcm，则 a= x， S=4ah+a2= . 0 x 12， 当 x=8时， S取得最大值 384cm2.
20、考点：二次函数的应用 . 如图， BC 是 O 的弦， OD BC 于 E，交 于 D，点 A是优弧 上的动点 (不与 B、 C重合 )， BC= ， ED=2 （ 1）求 O 的半径； （ 2）求 cos A的值及图中阴影部分面积的最大值 . 答案：（ 1） 4；（ 2） ， . 试题分析：（ 1）连接 OB，利用垂径定 理易得 BE的长，在 Rt OBE中，设半径为 R，利用勾股定理得到关于 R的方程，解方程即可求得半径长； （ 2）在 Rt BOE中，根据锐角三角函数定义可求得 ，根据圆周角定理可得 ，从而求得 cos A的值；因为弓形 BD的面积不变，所以当 ABD的面积最大时，阴影部
21、分的面积最大，即点 A在线段 BD的中垂线上时阴影部分面积的最大，从而连接 BD，过 O 作 MN BD，垂足为 N，交优弧于点 M，连接 MB、 MD，根据 即可求得图中阴影部分面积的最大值 . 试题：（ 1）如图，连接 OB. OD BC， . 设 O 的半径为 R，则 ， 在 Rt OEB中， OB2=OE2+BE2，即 ，解得 R=4. （ 2）在 Rt BOE中， ， . . 连接 BD，过 O 作 MN BD，垂足为 N，交优弧 于点 M，连接 MB、 MD. 当点 A运动到点 M时，阴影部分的面积最大 . ， BOD是等边三角形 . BD=4. 又 ON BD， . ， . 考点
22、： 1. 动点形成的最值问题； 2.垂径定理； 3. 勾股定理； 4.垂径定理； 5.锐角三角函数定义； 6.特殊角的三角函数值； 7.圆周角定理； 8.扇形面积的计算； 9.转换思想的应用 如 图，已知斜坡 AB长 60米，坡角（即 BAC）为 30， BC AC，现计划在斜坡中点 D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线 CA的平台 DE和一条新的斜坡 BE （ 1）若修建的斜坡 BE的坡角（即 BEF）不大于 45，则平台 DE的长最多为多少米？ （ 2）一座建筑物 GH距离坡角 A点 27米远（即 AG=27米），小明在 D点测得建筑物顶部 H的仰角（即 DHM）为 30，点
23、 B、 C、 A、 G、 H在同一个平面内，点 C、 A、 G在同一条直线上，且 HG CG，问建筑物 GH高为多少米？ 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分 析：（ 1）根据题意得出， BEF 最大为 45，当 BEF=45时， EF 最短，此时 ED最长，从而得出 EF 的长，即可得出答案：； （ 2）利用在 Rt DPA中， DP= AD，以及 PA=AD cos30，从而得出 DM的长，利用 HM=DM tan30得出即可 . 试题：（ 1） 修建的斜坡 BE的坡角（即 BEF）不大于 45， BEF最大为 45. 当 BEF=45时， EF 最短，此时 ED最长 . DAC= BD
24、F=30， AD=BD=30， BF=EF= BD=15， DF= . DE=DF-EF= . 平台 DE的长最多为 米 . （ 2）如图，过点 D作 DP AC，垂足为 P. 在 Rt DPA中， DP= AD= 30=15， PA=AD cos30= 30 . 在矩形 DPGM中， MG=DP=15， DM=PG=PA AG= +27。 在 Rt DMH中， HM=DM tan30=（ +27） ， GH=HM MG=15+ . 答：建筑物 GH高为 米 . 考点： 1.解直角三角形的应用（坡度坡角问题）； 2.锐角三角函数定义； 3.特殊角的三角函数值 . 如图，点 E是矩形 ABCD中
25、 CD边上一点， BCE沿 BE折叠为 BFE,点F落在 AD上 . (1)求证： ABF DFE (2)若 BEF也与 ABF相似，请求出 的值 . 答案：（ 1）证明见；（ 2） . 试题分析：（ 1）在 ABF与 DFE中的对应角 A= D=90， 2= 1，易证 ABF DFE； （ 2）需要分类讨论： ABF FBE； ABF FEB时求出 的值 试题：（ 1） 四边形 ABCD是矩形， A= D= C=90. BCE沿 BE折叠为 BFE， BFE= C=90. AFB+ DFE=180 BFE=90. 又 AFB+ ABF=90， ABF= DFE。 ABE DFE. （ 2）
26、当 ABF FBE时， 2= 4 4= 5， 2+ 4+ 5=90， 2= 4= 5=30. 设 CE=EF=x，则 BC= x， DE= x. DC= x. . 当 ABF FEB时， 2= 6， 4+ 6=90， 2+ 4=90，这与 2+ 4+ 5=90相矛盾 . ABF FEB不成立 综上所述， 的值是 . 考点： 1.翻折变换（折叠问题）； 2.矩形的性质； 3.相似三角形的判定和性质；4.解直角三角形； 5.分类思想的应用 . 如图所示的转盘，分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到一个数（指针指向两个扇形的交线时
27、，视为无效，重新转动一次转盘），此过程称为一次操作 (1)求事件 “一次操作，得到的数恰好是 0”发生的概率； (2)用树状图或列表法，求事件 “两次操作，第一次操作得到的数与第二次操作得到的数绝对值相等 ”发生的概率 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）看 0的情况占总数的多少即可； （ 2）列举出所有情况，看转动两次，第一次得到的数与第二次得到的数，它们的绝对值相等的情况占总情况的多少即可 试题：（ 1）共有 3个数， 0的情况只有 1种，所以概率是 . （ 2）画树状图法如下： 共有 9种情况，转动两次，第一次得到的数与第二次得到的数，它们的绝对值相等的情况有 5种， 所以概率
28、是 考点： 1.列表法或树状图法； 2.概率； 3.绝对值 已知图中的曲线是函数 (m为常数 )图象的一支 . （ 1）求常数 m的取值范围； （ 2）若该函数的图象与正比例函数 图象在第一象限的交点为 A（ 2， n），求 点 A的坐标及反比例函数的式 . 答案：（ 1） m 5；（ 2）点 A的坐标为 (2， 4)；反比例函数的式为 . 试题分析：（ 1）曲线函数 （ m为常数）图象的一支在第一象限，则比例系数 m-5一定大于 0，即可求得 m的范围； （ 2）把 A的坐标代入正比例函数式，即可求得 A的坐标，再代入反比例函数式即可求得反比例函数式 . 试题：（ 1） 函数 (m为常数 )
29、图象的一支在第一象限， m-5 0，解得 m 5. （ 2） 函数 的图象与正比例函数 的图象在第一象限的交点为A(2， n)， ，解得 . 点 A的坐标为 (2， 4)；反比例函数的式为 . 考点： 1.反比例函数和正比例函数的图象交点问题； 2.曲线上点的坐标与方程的关系； 3.反比例函数的性质 . （ 1）已知 ，求 的值 . （ 2）已知 是锐角 ABC的三个内角，且满足，求 的度数 . 答案：（ 1） ；（ 2） 75. 试题分析：（ 1）根据等比的性质，设 ，把 a、 b、 c分别用 k表示，代入所求代数式即可得出结果； （ 2）根据偶次幂和二次根式的非负数性质求出 ，从而求得 A
30、=60, B=45，根据三角形内角和定理即可求得 的度数 . 试题：（ 1）设 ，则 ， . （ 2）由 得 ，即， A=60, B=45. . 考点： 1.代数式求值； 2.等比的性质； 3.偶次幂和二次根式的非负数性质； 4. 特殊角的三角函数值； 5.三角形内角和定理 . 如图 1，已知抛物线 y=ax2+bx（ a0）经过 A（ 3， 0）、 B（ 4， 4）、 D(2, n)三点 （ 1）求抛物线的式及点 D坐标； （ 2）点 M 是抛物线对称轴上一动点，求使 BM-AM 的值最大时的点 M 的坐标； （ 3）如图 2，将射线 BA沿 BO 翻折，交 y轴于点 C，交抛物线于点 N，
31、求点N 的坐标； (4)在（ 3）的条件下，连结 ON,OD，如图 2，请求出所有满足 POD NOB的点 P坐标（点 P、 O、 D分别与点 N、 O、 B对应） 答案：（ 1） y=x23x；（ 2， 2）；（ 2）（ ，）；（ 3）（ ）；（ 4）（ ）或（ ） 试题分析：（ 1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，将（ 3， 0）、 B（ 4， 4）代入 y=ax2+bx即可求得抛物线的式，令 x=2，即可求得点 D坐标； （ 2）抛物线对称轴上使 BM-AM的值最大时的点 M即直线 AB与抛物线对称轴的交点，从而应用待定系数法求出直线 AB的式，即可求得点 M的坐标； （ 3）用待定系数
32、法求出直线 CB的式，由点 N 在直线 CB和抛物线 y=x23x上，即可求出 N 点的坐标； （ 4）应用对称或旋转的性质即可求得点 P的坐标 . 试题：（ 1） 抛物线 y=ax2+bx（ a0）经过 A（ 3， 0）、 B（ 4， 4）， 抛物线的式是 y=x23x D点的坐标为（ 2， 2） （ 2）设直线 AB式为： y=kx+m, 将 A（ 3， 0）、 B（ 4， 4）代人得 ，解得 . 直线 AB式为： . 抛物线对称轴为 ，当 时， ， 当点 M（ ，）时， BM-AM的值最大 . （ 3） 直线 OB的式为 y=x，且 A（ 3， 0）， 根据轴对称性质得出 CBO= AB
33、O， COB= AOB， OB=OB, AOB COB. OC=OA. 点 C（ 0， 3） . 设直线 CB的式为 y=kx+3，过点（ 4， 4）， 直线 CB的式是 . 点 N 在直线 CB上， 设点 N（ n， ） . 又点 N 在抛物线 y=x23x上， ，解得： n1= ， n2=4（不合题意，舍去）。 N 点的坐标为（ ） （ 4）如图，将 NOB沿 x轴翻折，得到 N1OB1，则 N1（ ）， B1（ 4，4）， O、 D、 B1都在直线 y=x上 P1OD NOB， NOB N1OB1， P1OD N1OB1. . 点 P1的坐标为（ ） . 将 OP1D沿直线 y=x翻折，可得另一个满足条件的点 P2（ ） . 综上所述，点 P的坐标是（ ）或（ ） 考点： 1.单动点和翻折问题； 2. 待定系数法的应用， 3. 曲线上点的坐标与方程的关系； 4.二次函数的性质； 5.相似三角形的判定和性质， 6.分类思想的应用 .
