1、2013届北京四中九年级上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 一元二次方程 的解是（ ） A B C 或 D 或 答案： C 试题分析： 解： 有题意分析则有： 故选 C 考点：本题考查了一元二次方程的解法 点评：此类试题属于难度一般的试题，考生在解答此类试题时一定要注意分析一元二次方程的基本解法 如图 (甲 )，扇形 OAB的半径 OA=6，圆心角 AOB=90， C是 上不同于A、 B的动点，过点 C作 CD OA于点 D，作 CE OB于点 E，连结 DE，点 H在线段 DE上，且 EH= DE设 EC 的长为 x， CEH的面积为 y，图 (乙 )中表示 y与 x的函数关系式
2、的图象可能是（ ） 答案： A 试题分析：连接 OC， 四边形 ODCE是矩形， DE=OC=6， EH=4，再定性分析即可 .得出是 A 考点：本题考查了函数图象 点评：此类试题属于难度很小的试题，考生在解答此类试题时一定要注意分析函数的基本图像问题 如图 O 过点 B、 C，圆心 O 在等腰 Rt ABC的内部， BAC=90， OA=1，BC=6则 O 的半径为（ ） A 6 B 13 C D 答案： C 试题分析：由题意则有： 设为 R， 考点：本题考查了圆的基本性质定理 点评：此类试题属于难度较小的试题，考生在解答此类试题时一定要注意分析圆的基本性质和直角等腰梯形的判定定理 如图，
3、A、 B、 C三点在正方形网格线的交点处，若将 ACB绕 着点 A逆时针旋转得到 ACB，则 tanB的值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：过 C点作 CD AB，垂足为 D，根据旋转性质可知， B= B，把求 tanB的问题，转化为在 Rt BCD中求 tanB解：过 C点作 CD AB，垂足为 D根 据旋转性质可知， B= B在 Rt BCD中， tanB= ， tanB=tanB= 故选 B 考点：本题考查了锐角三角函数 点评：此类试题属于难度很大的试题，考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求 如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与
4、环城路垂直如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ） A 700m B 500m C 400m D 300m 答案： B 试题分析： 由于 BC AD，那么有 DAE= ACB，由 题意可知 ABC= DEA=90， BA=ED，利用 AAS可证 ABC DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求 AC，即可求 CE，根据图可知从 B到 E的走法有两种，分别计算比较即可 解： BC AD， DAE= ACB， 又 BC AB， DE AC， ABC= DEA=90， 又 AB=DE=400m， ABC DEA， EA=BC=300m， 在 R
5、t ABC中， AC=500m， CE=AC-AE=200， 从 B到 E有两种走法： BA+AE=700m； BC+CE=500m， 最近的路程是 500m故选 B 考点：本题考查了勾股定理 点评：此类试题属于难度很小的试题，本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理解题的关键是证明 ABC DEA，并能比较从 B到 E有两种走法 如图， O 是 ABC的外接圆， OCB 40，则 A的度数等于（ ） A 60 B 30 C 40 D 50 答案： D 试题分析： 由题意分析得出 A= BOC 考点：本题考查了圆心角和圆周角的关系 点评：此类试题属于难度很小但是常考的知识点，考
6、生在解答此类试题时一定要注意分析圆心角和圆周角的关系 如图， PA、 PB是 O 的切线，切点是 A、 B，已知 P 60，则 AOB的度数为（ ） A 60 B 120 C 30 D 90 答案： B 试题分析： 解： 四边形 AOBP中， OAP= OBP=90， P 60， AOB=360-90-90-60=120 考点：本题考查了圆心角和圆周角的关系 点评：此类试题属于难度很小但是常考的知识点，考生在解答此类试题时一定要注意分析圆心角 和圆周角的关系 如图所示： ABC中， DE BC， AD=5， BD=10， AE=3，则 CE的值为（ ） A 9 B 6 C 3 D 4 答案：
7、B 试题分析： 解： 有题分析有： 考点：本题考查了三角形比例应运算 点评：此类试题属于难度较小的试题，考生在解答此类试题时一定要注意分析成比例的基本性质定理 填空题 已知 O 的周长等于 6 cm，则它的内接正六边形 ABCDEF的边长为_cm 答案： 试题分析： 由题意分析得出：周长 L= 考点：本题考查了圆周的基本性质 点评：此类试题属于难度很小的试题，考生在解答此类试题时只需对内街正六边形的基本性质熟练把握即可 如图，以点 O 为位似中心，将五边形 ABCDE放大后得到五边形 ABCDE，已知 OA=10cm， OA=20cm，则五边形 ABCDE的周长与五边形 ABCDE的周长的比值
8、是 _ 答案： 试题分析：解： 五边形 ABCDE与五边形 ABCDE位似， OA=10cm，OA=20cm， 五边形 ABCDE 五边形 ABCDE，且相似比为： OA： OA=10： 20=1： 2， 五边形 ABCDE的周长与五边形 ABCDE的周长的比为： OA： OA=1： 2 故答案：为： 1： 2 考点：本题考查了位似变换 点评：此类试题属于难度很小的试题，考查了多边形位似的知识注意位似是相似的特殊形式与相似多边形的周长的比等于其相似比知识的应用 如图，圆 A、圆 B的半径分别为 4、 2，且 AB=12若作一圆 C使得三圆的圆心在同一直线上，且圆 C与另两个圆一个外切、一个内切
9、，则圆 C的半径长可能为 _ 答案：或 7 试题分析：解：当圆 C和两圆都外切时，根据题意我们可知圆 C的半径 r=3，当圆 C和圆 A外切和圆 B相内切时，圆 C的半径 r=5故圆 C与圆 A外切，圆 C与圆 B相交于两点，圆 C的半径 7， 考点：本题考查了圆与圆的基本位置关系 点评：此类试题属于难度较小的试题，考生在解答此类试题时一定要注意分析圆和圆的基本位置关系 如图，已知 ABC为等腰直角三角形， BAC=90， AC=2，以点 C为圆心，1为半径作圆，点 P为 C上一动点，连结 AP，并绕点 A顺时针旋转 90得到AP，连结 CP，则 CP的取值范围是 _ 答案： CP 试题分析：
10、解：如图，连接 CP、 BP，易证 APC APB则 PC=PB=1， 在等腰 Rt ABC中， AC=2， BC=2 ， 在 BCP中，有 CP ， 当三点共线时取到等号，此时不是三角形，但符合题意 . 所以： CP 考点：本题考查了全等三角形的性质 点评：此类试题属于难度较大的试题，考生在解答此类试题时一定要注意分析全等三角形的基本性质和判定定理 计算题 计算： 答案： 试题分析： 解：原式 = 考点：本题考查了实数的应运算 点评：此类试题属于难度较大的试题，考生在解答此类试题时要注意分析本题中 0次幂的基本性质定理 解答题 解关于 x的方程： x2+4x-2=0 答案： 试题分析： 解：
11、 考点：本题考查了一元二次方程的解 点评：此类试题属于难度一般的试题，考生只需利用配方法即可解题 在 ABC中，点 D在线段 AC 上，点 E在 BC 上，且 DE AB将 CDE绕点 C按顺时针方向旋转得到 （使 180），连接 、 ，设直线 与 AC 交于点 O （ 1）如图 ，当 AC=BC时， : 的值为 _； （ 2）如图 ，当 AC=5， BC=4时，求 : 的值； （ 3）在（ 2）的条件下，若 ACB=60，且 E为 BC 的中点，求 OAB面积的最小值 答案：（ 1） 1（ 2） 5:4（ 3） 试题分析： （ 1） 1； 提示： ACD BCE. （ 2）解： DE AB，
12、 CDE CAB 由旋转图形的性质得， , , 即 . （ 3）解：作 BM AC 于点 M，则 BM=BC sin60=2 E为 BC 中点， CE= BC=2 CDE旋转时，点 在以点 C为圆心、 CE长为半径的圆上运动 CO随着 的增大而增大， 当 与 C相切时，即 =90时 最大， 则 CO最大 此时 =30， = BC=2=CE 点 在 AC 上，即点 与点 O 重合 CO= =2 又 CO最大时， AO 最小，且 AO=AC-CO=3 考点：本题考查了图形的旋转，三角形面积求法 点评：此类试题属于难度很大的综合性试题，考生在解答此类试题时要注意掌握好一些基本知识 已知关于 x的方程
13、 （ k为常数，且 k 0） （ 1）证明：此方程总有两个不等的实数根 、 ； （ 2）设此方程的两个实数根为 、 ，若 ，求 k的值 答案：（ 1）见（ 2） k=2 试题分析： （ 1）证明： = k 0， =4k2 0 此方程总有两个不等的实数根 （ 2）解：方程 的解为 x2 = - ， x1 = 解得， k=2 考点：本题考查了不等式的判定 点评：此类试题属于难度较大的试题，考生在解答此类试题时一定要分析不等式的判定和实数根的求法 如图，等腰梯形 MNPQ 的上底长为 2，腰长为 3，一个底角为 60正方形ABCD的边长为 1，它的一边 AD在 MN 上，且顶点 A与 M重合现将正方
14、形ABCD在梯形的外面沿边 MN、 NP、 PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与 Q 重合即停止滚 动 （ 1）请在所给的图中，画出点 A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图； （ 2）求正方形在整个翻滚过程中点 A 所经过的路线与梯形 MNPQ 的三边 MN、NP、 PQ所围成图形的面积 S （ 3）若把正方形放在直线 上，让纸片 ABCD按上述方法旋转， 请直接写出 经过多少次旋转，顶点 A经过的路程是 答案：（ 1）见图（ 2） （ 3） 81次 试题分析： （ 1）如图所示 （ 2） （ 3） 81次 考点：本题考查了图形规律的查找 点评：此类试题属于难度较大的综合性试题，考生在解答时一定
15、要注意分析图形基本规律的查找和推理 如图， ABC内接于 O， AD是 O 直径， E是 CB延长线上一点，且 BAE= C. （ 1）求证：直线 AE是 O 的切线； （ 2）若 EB=AB， ， AE=24，求 EB的长及 O 的半径 答案：（ 1）见（ 2） 15， , 试题分析： （ 1）证明：连结 BD. AD是 O 的直径， ABD=90. 1+ D=90. C= D， C= BAE， D= BAE. 1+ BAE=90. 即 DAE=90. AD是 O 的直径， 直线 AE是 O 的切线 . （ 2）解 : 过点 B作 BF AE于点 F, 则 BFE=90. EB=AB, E=
16、 BAE, BFE=90, AB=15. 由（ 1） D= BAE，又 E= BAE, D= E. ABD=90, 设 BD=4k，则 AD 5k. 在 Rt ABD中 , 由勾股定理得 AB =3k=15, k=5. O 的半径为 . 考点：本题考查了勾股定理和圆的基本知识 点评：此类试题属于难度较大的试题也是圆的基本知识的常考题，考生在解答此类试题时一定要注意分析 一副直角三角板如图放置，点 C在 FD的延长线上， AB CF， F= ACB=90, E=45, A=60， AC=10，试求 CD的长。 答案： 试题分析：解：过点 B作 BM FD于点 M 在 ACB中， ACB=90,
17、A=60,AC=10, ABC=30, BC=ACtan60=10 , AB CF， BCM=30 在 EFD中， F=90, E=45, EDF=45, 考点：本题考查了特殊三角函数 点评：此类试题属于难度较大的试题，考生在解答此类试题时一定要注意分析特殊角的三角函数 如图，在单位长度为 1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点 A、 B、C以点 O 为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系设该圆弧所在圆的圆心为点 D，连结 AD、 CD 请完成下列问题： (1)出点 D的坐标： D_； (2)D的半径 =_（结果保留根号）； (3)若扇形 DAC 是一
18、个圆锥的侧面展开图，则 该圆锥的底面面积为 _（结果保留 ）； (4)若 E（ 7， 0），试判断直线 EC 与 D的位置关系并说明你的理由 答案：（ 1） D（ 2， 0） （ 2） （ 3） （ 4）相切 试题分析：（ 1） D（ 2， 0） （ 2） . （ 3） .设圆锥的底面半径为 r，则 ， r= ， 圆锥的底面面积为 （ 4）相切 . 理由： CD= ， CE= ， DE=5 CD2+CE2=25=DE2 DCE=90即 CE CD CE与 D相切。 考点：本题考查了圆锥的综合知识 点评：此类试题属于难度较大的一类试题，考生在解答此类试题时一定要注意分析圆锥的底面半径和圆的基本位
19、置关系等基础知识的把握 如图，在平行四边形 ABCD中过点 A作 AE BC，垂足为 E，连接 DE， F为线段 DE上一点且 AFE B (1)求证： ADF DEC (2)若 AB 4,AD 3 ,AE 3,求 AF 的长 答案：（ 1）见 （ 2） 试题分析： （ 1）证明： 四边形 ABCD是平行四边形， AD BC， AB CD， ADF= CED ， B+ C=180， AFE+ AFD=180， AFE= B， AFD= C， ADF DEC. （ 2）解： 四边形 ABCD是平行四边形， AD BC， CD=AB=4， 又 AE BC ， AE AD 在 Rt ADE中， DE
20、= ， ADF DEC， ， ， AF= . 考点：本题考查了三角形相似和三角形全等 点评：此类试题属于难度较大的试题，需要考生对三角形全等和三角形相似的基本性质定理和判定定理熟练把握 如图，在四边形 ABCD中，点 E、 F分别是 AB、 AD的中点，若 EF=2，BC=5， CD=3，求 tanC的值 答案： 试题分析： 解：连接 BD，则 EF 是 ABD的中位线， 所以 BD=4，在 BCD中， ， BCD是以 D点为直角顶点的直角三角形， tanC= . 考点：本题考查了直角三角函数的性质 点评：此类试题属于难度较小的一类试题，考生在解答此类试题时一定要注意分析直角三角形的基本性质定
21、理 请利用直尺和圆规，过定点 A作 O 的切线，不写作法，保留尺规作图的痕迹 答案：见 试题分析 考点：本题考查了切线的画法 点评：此类试题属于难度一般的试题，考生只需掌握好切线的基本画法即可解题，同时要注意分 析切线的基本性质和判定定理 丁丁要制作一个形状如图 1的风筝，想在一个矩形材料中裁剪出如图 2 阴影所示的梯形翅膀，请你根据图 2中的数据帮助丁丁计算出 BE， CD的长度（精确到个位， ） 图 1 图 2 答案： CD=13cm， BE=30cm 试题分析：解：在 Rt BEC中， BCE=30o,EC=51， BE= 30， AE=64=CF, 在 Rt AFD中， FAD=45o
22、,FD=FA=51， CD=645113 ， CD=13cm， BE=30cm. 考点：特殊角的三角函数 点评：此类试题属于难度较大的试题，考生在解答此类试题时一定要注意分析特殊角的三角函数 如图，已知点 A（ 0， 6）， B（ 4， -2）， C（ 7， ），过点 B作 x轴的垂线，交直线 AC 于点 E，点 F与点 E关于点 B对称 （ 1）求证： CFE= AFE； （ 2）在 y轴上是否存在这样的点 P，使 AFP与 FBC相似，若有，请求出所有符合条件的点 P的坐标；若没有，请说明理由 答案：（ 1）见（ 2）是 P （ 0， -2）， P （ 0， - ） 试题分析： （ 1）过
23、点 A作 AM x轴，交 FC于点 M，交 BE于点 N. AN=4. 设直线 AC 的式为 , 则有 ，解得 . 直线 AC 的式为 当 x=4时， 点 E的坐标为（ 4， 4）， 点 F与 E关于点 D对称，则点 F的坐标为（ 4， -8） 设直线 FC的式为 , 则有 ，解得 . 直线 FC的式为 AM与 x轴平行，则点 M的纵坐标为 6. 当 y=6时，则有 解得 x=8. AM=8, MN=AMMN=4 ， AN=MN， FN AM， ANF= MNF， 又 NF=NF， ANF MNF， CFE= AFE. （ 2） C的坐标为（ 7， ）， F坐标为（ 4， -8） 又 A的坐标为（ 0， 6），则 ， 又 BF=6， EF AO，则有 PAF= AFE， 又由（ 2）可知 BFC= AFE， PAF= BFC. AFP FCB， 则 ,即 ,解得 P A=8. OP =8-6=2， P 的坐标为（ 0， -2） . 若 AFP FBC， 则 ,即 ,解得 P A= . OP = -6= ， P 的坐标为（ 0， - ） . 所以符合条件的点 P的坐标有两个，分别是 P （ 0， -2）， P （ 0， - ） . 考点：本题考查了三角形全等 点评： 此类试题属于难度很大的综合性试题，考生在解答此类试题时要注意掌握好一些基本知识
