1、2013届北京市三十一中学初三上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）答案： A 试题分析 :在平面内，一个图形绕某个点旋转 180，如果旋转前后的图形能互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。 B是轴对称图形，有四条对称轴； C是轴对称图形，有 5条对称轴； D是轴对称图形，有 3条对称轴；只有 A符合要求。故选 A。 考点：本题考查中心对称图形及轴对称图形。 点评：此类试题比较基础，考生只需掌握并理解中心对称图形及轴对称图形的 定义即可解
2、答。 如图，点 A在半径为 3的 O内， OA= ， P为 O上一点，当 OPA取最大值时，PA的长等于（ ） A B C B 答案： B 试题分析 :当 PA OA时， PA取最小值， OPA取得最大值，然后在直角三角形 OPA中利用勾股定理求 PA的值即可 解：在 OPA中，当 OPA取最大值时， OA取最大值， PA取最小值， 又 OA、 OP是 定值， PA OA时， PA取最小值； 在直角三角形 OPA中，有 所以， 考点：本题考查圆与三角形的综合知识。 点评：解答本题的关键是找出 OPA取最大值时， O、 A、 P三点之间的关系，从而构成几何模型求解。 如图所示，实线部分是半径为
3、9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ） A 12 m B 18 m C 20 m D 24 m 答案： D 试题分析 :圆的周长 = = 。 本题中游泳池的周长为两圆的周长减去中间虚线的长度，设四分之一虚线长度为 d，则 设游泳池的周长为 ，则 ，故选 D。 考点：本题考查圆的应用知识。 点评：圆是中考常考内容，本题属于圆的应用范畴。解答此题时，需要考生利用题中的半径相等且经过彼此圆心的条件，巧妙构造等边三角形，同时灵活运用图形的拼接。 如图，在 44的正方形网格中， MNP绕某点旋转一定的角度，得到 M1N1P1则其旋转中心一定是点 （ ）
4、A A点 B B点 C C点 D D点 答案： B 试题分析 :旋转对称图形是指：把一个图形绕着某一定点旋转一个角度 360/n(n为大于 1的正整数 )后，与初始的图形重合，这种图形就叫旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。按照定义的要求旋转角度 =360/n。 A选项中旋转的角度是 0，不成立； B项旋转角度是 90，则 n=4，所以符合题目，故选 B； C选项中，旋转不成立； D项旋转角度得出 n不为整数，所以也不成立。 考点：本题考查旋转对称图形，要掌握图形变换的知识。 点评：本题难度较大，主要是空间立体要求严格。 如图， ABCD中， EF AB， DE E
5、A = 2 3， EF = 4，则 CD的长为（ ） A B 8 C 10 D 16 答案： C 试题分析 :平行四边形是两对边平行且相等。在平行四边形 ABCD中， AB/CD且AB=CD, 因为 EF/AB，所以， ED:AE=DF:FB, 所以， DE:DA=EF:AB， 所以， 2:5=4： AB， 所以， AB=10.故 CD= AB =10，故选 C. 考点：本题主要考查了平行四边形的基本知识和三角形的两边成比例。 点评：本题是基本知识考点，只需掌握平行四边形基本知识即可。 若圆锥的侧面展开 图是一个半径为 a的半圆，则圆锥的高为 ( ) A a B a C 3a D a 答案：
6、D 试题分析 :设圆锥底面圆的周长为 L，半径为 r，侧面展开图的弧长为 d,依据圆锥底面周长与侧面展开圆弧的弧长相等，可得 L=d= = = = 。 所以 再设圆锥的高为 h，则 h与 r与 a构成直角三角形， 所以 ，故选 D。 考点：本题考查圆锥及其侧面展开图的相关知识。 点评：解答此题时，考生须灵活掌握圆锥 、圆锥侧面展开图及其圆锥高、底面半径、侧棱构成的直角三角形之间的关系。 正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为 ( ) A 3 2 1 B 4 3 2 C 4 2 1 D 6 4 3 答案： A 试题分析 :正三角形就是等边三角形，三条边相等。设等边三角形的边长为 a，则该三角形的
7、高 h= = a，外接圆半径则为：，边心距为： 。三者比例 h： R： r= a ： ： =3 2 1，故选 A。 考点：本题考查了等边三角形和圆的半径的基本关系。 点评：本题考察的知识点较难，主要是计算起来很麻烦，也是考生容易忽略的知识点。因此考生在解答该类题型时务必细心。 若两圆的半径分别是 2cm和 3cm，圆心距为 5cm，则这两圆的位置关系是 ( ) A内切 B相交 C外切 D外离 答案： C 试题分析 :两圆的位置关系有三种：相切、相交和相离。设两圆半径分别为 R和 r圆心距 1 2=d，则 (1)两圆外离 dR+r； (2)两圆外切 d=R+r； (3)两圆相交 R-rdR+r(
8、Rr)； (4)两圆内切 d=R-r； (5)两圆内含 0dR-r. 本题中，两圆半径相加 =2+3=5，符合条件 (2)。所以两圆外切。 A.B.D均不符合要求，故选 C。 考点：本题考查两圆的位置关系。 点评：此类试题属于比较基础的，但是需要对知识点把握牢靠，尤其是外切和内切要多注意。 填空题 如图， +1个边长为 2的等边三角形有一条边在同一直线上，设 的面积为 ， 的面积为 ， ， 的面积为 ，则 = ； =_ （用含 的式子表示） 答案： 试题分析 : n+1个边长为 2的等边三角形有一条边在同一直线上， SAB1C1= ， 连接 B1、 B2、 B3、 B4、 B5点，显然它们共线
9、且平行于 AC1 B1C1B2=60 A1B1 B2C1 B1C1B2是等边 ，且边长 =2， B1B2D1 C1AD1， B1D1： D1C1=1： 1， S1= ， 同理： B2B3： AC2=1： 2， B2D2： D2C2=1： 2， S2= ，同理： B3B4： AC3=1： 3， B3D3： D3C3=1： 3， S3= ， S4= S5= 由以上规律可得出 . 考点：本题考查相似三角形的应用知识。 点评：本题偏难，属于应用性的综合知识考查，要求学生熟练掌握相似三角形的性质，同时善于观察规律，对于解答此题也是必要的。 如图，正方形 ABCD的边长 为 2， AE=EB， MN=1，
10、线段 MN的两端在 CB、 CD上滑动，当 CM= 时， AED与 N， M， C为顶点的三角形相似 . 答案： 试题分析 :设 CM的长为 x 在 RtMNC中 MN=1， NC= ， RtAED RtCMN时， 则 AE/CM =AD/CN ， 即 1/x =2 / ， 解得 x= 或 x=- （不合题意，舍去）， 当 RtAED RtCNM时， 则 AE/CN =AD/CM ， 即 1 / =2/x ， 解得 x= 或 - （不合题意，舍去）， 综上所述， CM= 或 时， AED与以 M， N， C为顶点的三角形相似 考点：本题考查相似三角形的性质 。 点评：本题属于相似三角形的应用范
11、畴，解答时，需要注意题中要求 AED与 N， M，C为顶点的三角形相似，并未指明对应边，所以一定要分情况讨论，很多学生可能会出现漏写的错误。 如图， PA， PB是 O是切线， A， B为切点， AC是 O的直径，若 BAC=25，则 P= _度 . 答案： 试题分析 : 因为 PA， PB是 O是切线， A， B为切点 所以 所以 考点：本 题考查圆的切线的性质。 点评：解答本题时，学生只要掌握圆的切线的性质，即连接圆心与切点的半径与切线垂直的定理，然后代入数据求解即可。 如图，已知图中的每个小方格都是边长为 1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点若 ABC与 A1B1C1是位似图形，且顶
12、点都在格点上，则位似中心的坐标是_ 答案：（ 9， 0） 试题分析 :如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线）， 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。所以本题中，连接 ， ，延长线焦点即为位似中心，由图知，所以 ， 延长线交予 ，即位似中心的坐标是 。 考点：本题考查位似图形和位似中心。 点评：本题属于识记型试题，学生只要牢记位似图形和位似中心的定义即可解答此题。 解答题 如图， C是以 AB为直径的 O上一点，过 O作 OE AC于点 E，过点 A作 O的切线交OE的延长线于点 F，连接 CF并延长交 BA的延长线于点 P
13、（ 1）求证： PC是 O的切线 （ 2）若 AF=1， OA= ，求 PC的长 答案： PC= 试题分析 :连结 OC-1分 证出切线 -3分 求出 BC= -5 求出 PC= -7 考点：本题考查了圆的切线和相似三角形的性质定理。 点评：本题看似简单，实际上考查的知识点还是很难的，考生必须把题目中隐藏的信息挖掘出来转化成本题所要考察的外切线的性质定理，以此推出相似三角形的定理。所以，此类问题一定要把前后分清楚，这样问题的解决才会简单清晰、明了。 如图， ABC和 DEF是两个全等的等腰直角三角形， BAC= EDF=90， DEF的顶点 E与 ABC的斜边 BC的中点重合将 DEF绕点 E
14、旋转，旋转过程中，线段 DE与线段 AB相交于点 P，线段 EF与射线 CA相交于点 Q （ 1）如图 ，当点 Q在线段 AC上，且 AP=AQ时，求证： BPE CQE； （ 2）如图 ，当点 Q在线段 CA的延长线上时，求证： BPE CEQ；并求当 BP= ，CQ= 时， P、 Q两点间的距离 (用含 的代数式表示 ) 答案： 试题分析 :（ 1）证明： ABC是等腰直角三角形， B= C=45， AB=AC， AP=AQ， BP=CQ， E是 BC的中点， BE=CE， 在 BPE和 CQE中， ， BPE CQE（ SAS）； 2分 （ 2）解： ABC和 DEF是两个全等的等腰直角
15、三角形， B= C= DEF=45， BEQ= EQC+ C， 即 BEP+ DEF= EQC+ C， BEP+45= EQC+45， BEP= EQC， BPE CEQ， 4分 ， BP=a， CQ= a， BE=CE， BE=CE= a， BC=3 a， AB=AC=BC sin45=3a， AQ=CQAC= a， PA=ABBP=2a， 连接 PQ， 在 RtAPQ中， PQ= = a 7分 考点：本题主要考查三角形全等的判定定理的应用。 点评：这类试题比较简单，只是比较繁琐，考生一定要细心地观察才可以，首先要求学生牢记三角形全等的判定定理，本题采用了 “角边角 ”的条件进行求解。 问题
16、：如图 1，在正方形 ABCD内有一点 P， PA= ， PB= ， PC=1，求 BPC的度数小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将 BPC绕点 B逆时针旋转 90，得到了 BPA（如图 2），然后连结 PP 请你参考小明同学的思路，解决下列问题： (1) 图 2中 BPC的度数为 ； (2) 如图 3，若在正六边形 ABCDEF内有一点 P，且 PA= ， PB=4， PC=2，则 BPC的度数为 ，正六边形 ABCDEF的边长为 答案： (1)135 (2) 120 试题分析 :解：（ 1）135； 2分 （ 2） 120； 3分 5分
17、考点：本题考察了图形转换的知识。 点评：解答此题的关键，是进行巧妙地旋转变换。让每一点 P绕一固定点 (固定轴线 )旋转一个定角，变成另一点 P，如此产生的变换称为平面上 (空间中 )的旋转变换，它是欧氏几何中的一种重要变换，是解答几何数学题的一种重要思想。 已知：如图，在 ABC中，点 D在 AC上，点 E在 CB的延长线上，且 AD=BE，求证： 答案：见 试题分析 :辅助线；作 DG/EB,交 AF于 G点 1分 转化一组比；由 DG/EB，故 DG:EB=DF:EF且 DG/BC,故 DG:BC=AD:AC 2分 转化二组比；由于， AD=BE,所以， 3分 考点：本题主要考察了等量代
18、换在解题中的应用。 点评：本题有一定的难度，所求的各边直角似乎没有很大的关系，因此需要 学生巧妙地利用已知条件 AD=BE，进行转换，从而将所求四边建立关联，解答此类试题一定要学会特殊辅助线的做法。 已知：如图，等腰 ABC中， AB= BC， AE BC 于 E， EF AB于 F， ， （）当 E=4时，求长 （）若 CE=2求 EF的长 . 答案： 试题分析 :解：（ 1）求出 BE=2.4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分 AE BC， EF AB， 1+ 2=90， B+ 2=90. 1= B . ， RtABE中，
19、 . 设 BE =4k，则 AB=BC=5k， . BE =8. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4分 RtBEF中， .- - - - - - - - - - - - - - - - - - -6分 考点：本题主要考察了直角三角形的基本知识。 点评：本题的难度不大，主要是把握已知条件中给出的等腰三角形和两组垂直的应用，要求学生灵活运用直角三角形的三角函数知识。 如图：学校旗杆附近有一斜坡小明准备测量学校旗杆 AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆 AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地
20、面上的影长 BC=20米，斜坡坡面上的影长 CD=8米，太阳光线 AD与水平地面成 30角，斜坡 CD与水平地面 BC成 30的角，求旗杆 AB的高度（结果保留根号） 答案： 试题分析 :画出求法示意图 -1分 求出 CE= -2分 求出 BF=20+ （或 DF=20+ ） -4分 求出 AB= -6分 考点：本题考查相似三角形的应用。 点评：相似三角形是中考常考知识点，要求学生掌握相似三角形的定义、 性质定理以及判定定理，这样解答此类应用性试题时才能灵活运用。 已知：如图， MAN=45， B为 AM上的一个定点， 若点 P在射线 AN上，以 P为圆心， PA为半径的圆与射线 AN的另一个
21、交点为 C，请确定 P的位置，使 BC恰与 P相切 . （ 1）画出图形（不要求尺规作图，不要求写画法）； （ 2）连结 BP并填空： ABC= ； 比较大小： ABP CBP.（用 “ ”、 “ ”或 “=”连接） 答案： 试题分析 :解：（ 1）图形见右 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分 （ 2） ABC= 45 ； - - - - - - -3分 ABP CBP . - - - - - - 4分 考点：本题考查尺规作图。 点评：尺规作图考查的是学生的动手操作能力，仍然是圆的相关知识，要求学生细心正确使用尺规，同时掌握圆的 相关性质。 如图
22、,RtABC的斜边 AB=4， O是 AB的中点，以 O为圆心的半圆分别与两直角边相切于点 D、 E， （ 1）求证 A= B. （ 2）求图中阴影部分的面积 . 答案： - 试题分析 :（ 1）连结 OD、 OE-1分 证出 A= B-2分 （ 2）求出扇形半径 -3分 S阴 =2- -6分 考点：本题考查圆与直线的相关知识。 点评：圆的知识属于中考常考知识点，考查范畴较为广泛，学生不仅需要掌握圆的基础知识，牢记定义以及性质，还需要灵活运用，只有这样才能很好地解答圆的综合知识。 如图，在 ABC中， AB=AC，以 AB为直径的 O分别交 BC、 AC于点 D、 E，连结 EB交 OD于点
23、F （ 1）求证： OD BE； （ 2）若 DE= ， AB= ，求 AE的长 答案：证明见 AE=1.5 试题分析 :（ 1）连结 AD 因为 AC=AB,且 , 所以， D是 BC的中点， 所以 OD/AC， 所以， OF/AE,且 , 证出 OD BE （ 2）因为 OD/AE,所以， ,且 , , 所以 , ，所以 CED EBA 又 DE= ， AB= ，所以 CE= =1 所以 AE=1.5 考点：本题考查相似三角形性质。 点评：解答此题时，学生需要牢记相似三角形的性质，并熟练应用。 如图，在平行四边形 ABCD中，过点 A作 AE BC，垂足为 E，连接 DE， F为线段 DE
24、上一点，且 AFE B. 求证： ADF DEC； 若 AB 4， AD 3 ， AE 3，求 ED， AF的长 . 答案：证明见 , 试题分析 :因为四边形 ABCD是平行四边形， 所以 , 所以 , 因为 AFE B，所以 又 ,所以 所以 ADF DEC 因为 AE BC，所以在直角三角形 AED中， 由 ADF DEC得， 所以 考点：本题考查相似三角形的判定及性质。 点评：要想解答此题，首先要明确三角形相似的判定定理，本题采用两角相等得证；同时需要掌握三角形相似的性质定理，属于基础题。 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点， ABC的顶
25、点均在格点上， O、 M也在格点上 （ 1）画出 ABC关于直线 OM对称的 A1B1C1； （ 2）画出 ABC绕点 O按顺时针方向旋转 90后所得的 A2B2C2； （ 3） A1B1C1与 A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴 答案： (1)（ 2）见（ 3）是 试题分析 :（ 1） （ 2） （ 3） A1B1C1与 A2B2C2组成的图形是轴对称图形，对称轴如下： 考点：本题考查轴对称图形。 点评：轴对称的知识虽然是偏基础的，但是要求学生不仅能够辨认识别并判断轴对称图形，还要求学生能够画出已知图形的轴对称图形以及相应的对称轴。 计算： 答案： 试题分析
26、 :解： ， ， 所以 . 考点：本题考查三角函数的运算。 点评：本题较为基础，解答时，要求学生牢记 特殊角的三角函数值， ， ， ， 。 已知： 中， ， 中， , . 连接、 点 、 分别为 、 、 的中点 . (1) 如图 1，若 、 、 三点在同一直线上，且 ，则 的形状是_，此时 _； (2) 如图 2，若 、 、 三点在同一 直线上，且 ，证明 ，并计算 的值（用含 的式子表示）； (3) 在图 2中，固定 ，将 绕点 旋转，直接写出 的最大值 . 答案 ： (1)等边三角形， 1 (2) (3) 试题分析 :解： (1)等边三角形， 1； (每空 1分 ) -2分 （ 2）证明：
27、连接 、 . 由题意，得 ， , . 、 、 三点在同一直线上， 、 、 三点在同一直线上 . . 为 中点， 在 Rt 中， . 在 Rt 中， . .-3分 、 、 、 四点都在以 为圆心， 为半径的圆上 . . 又 ， . . -4分 . 由题意， ，又 . .-5分 . 在 Rt 中， . ， . .-6分 （ 3） .-7分 考点：本题考查了和相似三角形的基本性质。 点评：这类问题很复杂，对于学有余力的学生来说可以深钻，解答这类试题的关键就在于巧妙地作出辅助线，辅助线找 出来以后，试题便可迎刃而解。另外这类试题涉及的角度一般都是常见的特殊角，需要考生牢记，或者可以直接约分，所以一般不需在计算上出难题。
