1、2013届北京市西城区（北区）九年级上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 二次函数 的最小值是 A B 1 C D 2 答案： D 试题分析： (x-1)2O (x-1)2+22 当 x=1时， y有最小值， y=2 考点：二次函数的顶点式 点评：要求学生熟练的掌握二次函数的三种表达式，有一般式，两点式，顶点式。属于基础题。 如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点， 绕点 顺时针旋转 90后得到 ，则点 的对应点 坐标为 A（ 3， 4） B（ 7， 4） C（ 7， 3） D（ 3， 7） 答案： C 试题分析： y=- +4 与 x轴 y轴相交 易得 A(3,0) B(0,4
2、) AO=3 BO=4 AOB绕点 A顺时针旋转 90后得到， AOB AOB OAB= OAB 又 BAB=90 BAX= BAO” OAO=90 B= BAX OA OB B(7,3) 考点：一次函数的知识，图形旋转后的性质，三角形全等及等量代换，坐标点的定义。 点评：掌握一次函数的图像与坐标轴的交点求法，旋转后的图形大小形状不变，同角的余角相等，坐标点的简单求法。有点难度，但不大。 某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长 7英寸，宽 5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的 3倍设照片四周外露衬纸的宽度为 英寸（如图
3、），下面所列方程正确的是 A B C D 答案： D 试题分析：由题意得；如图知；矩形的长 =7+2x 宽 =5+2x 矩形衬底的面积=3倍的照片的面积，可得方 程为 (7+2X)(5+2X)=375 考点：列方程 点评：找到题中的等量关系，根据两个矩形的面积 3倍的关系得到方程，注意的是矩形的间距都为等量的，从而得到大矩形的长于宽，用未知数 x的代数式表示，而列出方程，属于基础题。 如图，正方形 ABCD的内切圆和外接圆的圆心为 ， EF与 GH是此外接圆的直径， EF=4， AD GH， EF GH，则图中阴影部分的面积是 A B 2 C 3 D 4 答案： A 试题分析： O为同心圆的圆
4、心 ，正方形 ABCD为两圆的内（外）且圆，由圆的对称性知；用割补法得；阴影的面积 =正方形 OHCF+弓形 CFD的面积和 而弓形 CFD=扇形 COD的面积 -三角形 COD的面积 三角形 COD的面积 =正方形OHCF的面积 阴影的面积 = 22= 考点：同心圆的定义，内（外）切圆的定义，及圆的对称性，扇形面积公式 点评：利用圆的相关性质及公式，用割补法求阴影的面积即是扇形面积公式 =，有一定的难度，关键是抓住各阴影图形之间的关系，找到就很容易得到答案：的。 三角尺在灯泡 的照射下在墙上形成的影子如图所示 .若，则这个三角尺的周长与 它在墙上形成的影子的周长的比是 A 5： 2 B 2：
5、 5 C 4： 25 D 25： 4 答案： B 试题分析： OA=20 OA=50 = 考点：相似三角形的性质 点评：相似三角形的相似比 =相似三角形的周长比，基础题。 两圆的半径分别为 2和 3，若圆心距为 5，则这两圆的位置关系是 A相交 B外离 C外切 D内切 答案： C 试题分析： r=2 R=3 d=r+R=2+3=5 考点：圆心距与两圆半径的关系 点评：当圆心距 =两圆半径和时，两圆外切，基础题。 如图， O是 ABC的外接圆，若 ABC 40，则 AOC的度数为 A 20 B 40 C 60 D 80 答案： D 试题分析； ABC=40,点 O是圆心， AOC=2 ABC=8
6、0 考点：圆心角与圆周角的关系 点评：在同圆等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的二倍， 已知二次函数 的图象与 x轴交于 ( ,0)和 ( ,0)，其中，与 轴交于正半轴上一点下列结论： ； ； ； 其中所有正确结论的序号是 _ 答案： 试题分析： y=ax2+bx+c x1+x2=- ， x1 x2= ， x2=1 0， -2 x1 -1 0， - 0 又二次函数与 y轴交于正半轴 c 0 得 a 0 b 0, acb2 图像与 x轴有两个交点， 4ac-b2 0 ac b2 x2=1 a+b+c=0 c=-a-b 0 -a-b 0即 -a b a+b+c=0 b=-a-c 又 - 0 0 即
7、 0 -a-c 0 -a c 根据韦达定理 X1 乘以 X2 等于 c/a a0 所以 同时除以 a变化为 1c/a-2 又 方程中 x2=1 -2 x 1 -2x1x2 1 考点：二次函数的图像与性质，韦达定理，不等式的性质与解法。 点评：熟练掌握二次函数图像与性质，由题意知，图像经过 y轴的正半轴得到截距 c 0，根据达定理得到， a 0,b 0 错误 .再两点交于 x轴， 成立。又一点坐标 x=1， a+b+c=0 将 c=-a-b代入不等式中得到 错误， 同样将 b=-a-c,代入不等式中得到结果正确。中难题型，中考常出现，本题关键是利用了韦达定理，还有函数图像的性质。 填空题 扇形的
8、半径为 9，且圆心角为 120，则它的弧长为 _. 答案： 试题分析：由弧形公式得； L= = =6 考点：弧长公式 点评：掌握弧长公式，注意，题中给出半径，先要求出直径。基础题 已知抛物线 经过点 、 ，则 与 的大小关系是 _ 答案： y1 y2 试题分析： 点 A(2， y1)点 B（ 3,y2）经过抛物线 y=x2-x-3 y1=22-2-3=1 y2=32-3-3=3 y1 y2 考点：二次函数的一般知识 点评：已知两点的坐标，和函数的式，将点的坐标代人就可求出 y的值，根据大小比较。此题属于基础题。 如图， PA、 PB分别与 O相切于 A、 B两点，且 OP=2， APB=60.
9、若点 C在 O上，且 AC= ，则圆周角 CAB的度数为_ 答案： 75 试题分析； PA PB 是 0的切线 PAO= PBO=90 又 APB=60 APO= BPO=30 AOP= BOP=60 AOB=120 AO=BO=1 (在直角三角形中， 30度的角所对的边等于斜边的一半， )又 AC= AO=1 , 点 C有两种情况在 AB的优弧和劣弧上。 求得角为 15 75 考点：圆切线的性质，及优 (劣 )弧的定义。及直角三角形 特殊角与边的关系。 点评：熟练掌握切线定理，在直角三角形中由特殊的角的三边关系，得到所求。本题有两个答案：，易漏掉，属于中档题，有一定的难度。 计算题 计算：
10、答案： -3 解答题 如图， ABC中， B=60， ACB=75，点 D是 BC边上一动点，以 AD为直径作 O，分别交 AB、 AC于 E、 F，若弦 EF的最小值为 1，则 AB的长为 A B C 1.5 D 答案： B 试题分析：连接 DE， OE. AD与 EF交于 G AD是直径， AED=90，又 EF有最小值为 1， 当 AD EF时有最小值。 B=60 ACB=75， BCA=45, EF=1 AD= .根据勾股定理可求出 AE， BE,得到 AB= . 考点：垂径定理，勾股定理，圆周角的性质，特殊角直角三角形边的关系。 点评：熟练掌握圆周角的性质，垂径定理，勾股定理及直角三
11、角形的性质，注意辅助线的连接，由题意可求之，本题属于中档题，注意边之间的关系由特殊角得到，由勾股定理得到。 以平面上一点 O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作 AOB和 COD，其中 ABO= DCO=30 图 1 图 2 图 3 （ 1）点 E、 F、 M分别 是 AC、 CD、 DB的中点，连接 FM、 EM 如图 1，当点 D、 C分别在 AO、 BO的延长线上时， =_； 如图 2，将图 1中的 AOB绕点 O沿顺时针方向旋转 角（ ），其他条件不变，判断 的值是否发生变化，并对你的结论进行证明； （ 2）如图 3，若 BO= ，点 N在线段 OD上，且 NO=2.点 P是线段
12、AB上的一个动点，在将 AOB绕点 O旋转的过程中，线段 PN长度的最小值为_，最大值为 _ 答案：（ 1） = 的值不变。（ 2） PN的最大值为 -2 最小值为 3 +2. 试题分析：有 题意可得 AOD BOCD,即 AD/BO= /3，又 E F M分别是中点知， EF=1/2AD ,FA=1/2 根据三角形相似的性质，知相似比。由特殊角的三角函数， EMF=30 FM/EM= . 的值不变，由于角的值不变。解：（ 1） ； 1分 结论： 的值不变 . （阅卷说明：判断结论不设给分点） 证明：连接 EF、 AD、 BC.（如图） Rt AOB中， AOB=90， ABO=30， . R
13、t COD中， COD=90， DCO=30， . . AOD=90+ BOD， BOC=90+ BOD， AOD= BOC. AOD BOC 2分 ， 1= 2. 点 E、 F、 M分别是 AC、 CD、 DB的中点， EF AD， FM CB，且 ， . ， 3分 3= ADC= 1+ 6， 4= 5. 2+ 5+ 6=90， 1+ 4+ 6=90，即 3+ 4=90. EFM=90. 4分 在 Rt EFM中， EFM=90， ， EMF=30. . 5分 （ 2）线段 PN长度的最小值为 ，最大值为 . 7分 阅卷说明：第（ 2）问每空 1分 . 考点： 相似三角形的判定，直角三角形特
14、殊角与边的关系， 点评： 本题关键是证相似三角形，及其转化边的关系，从中找到所求的边之间的关系。本题属于难题，计算多，应用的知识点也多。不但要掌握几何的知识，还要熟知三角函数。 已知抛物线 经过点（ ， ） （ 1）求 的值； （ 2）若此抛物线的顶点为（ ， ），用含 的式子分别表示 和 ，并求 与之间的函数关系式； （ 3）若一次函数 ，且对于任意的实数 ，都有 ，直接写出 的取值范围 . 答案： (1)n-m= (2)q=-p2+p+ (3)- m 且 m0 试题分析 (1) 点（ -1,3m+ ）经过抛物线， 代入式得出 n-m的值（ 2）将点（ p,q）代入式。解：（ 1） 抛物线
15、经过点（ ， ）， . . . 1分 （ 2） ， ， . 2分 . . 3分 ， . . . 5分 （ 3） 的取值范围为 且 . . 7分 阅卷说明：只写 或只写 得 1分 . 考点：二次函数的性质，不等式的解法。 点评：本题 (1)问较简单，将坐标点代入即可求之。（ 2）问由（ 1）知 m n 的关系，将点（ p,q）代入就能得到式 (3)构建不等式，由 y1 y2的式得到，注意解不等式时的性质。本题属于中难题。计算量较大，易出错。 阅读下面的材料： 小明在学习中遇到这样一个问题：若 1xm，求二次函数 的最大值他画图研究后发现， 和 时的函数值相等，于是他认为需要对 进行分类讨论 他的
16、解答过程如下： 二次函数 的对称轴为直线 ， 由对称性可知， 和 时的函数值相等 若 1m 5，则 时， 的最大值为 2； 若 m5，则 时， 的最大值为 请你参考小明的思路，解答下列问题： （ 1）当 x4时，二次函数 的最大值为 _； （ 2）若 px2，求二次函数 的最大值； （ 3）若 txt+2时，二次函数 的最大值为 31，则 的值为_ 答案：（ 1） y=49 （ 2） y=2p2+4p+1 或 17 (3)t=1或 t=-5. 试题分析： (1) y=2x2+4x+1 y=2(x+1)2-1. 对称轴 x=-1,又 -2x4时， y的最大值，当 x=4时， y有最大值为 49.
17、（ 2） Px2 由于二次函数具有对称性，当 x=2与 x=-4时，函数值相等，而 x=-1时， y有最小值，是因为 a0,图像开口向上。 当 p-4， x=p时， y有最大值， y=2p2+4P+1.当 -4p2， x=2时， y有最大值 y=17.(3)当 t-1， x=t+2时， y有最大值，即 2（ t+2 ） 2+4(t+2)+1=31 (t+7)(t-1)=0 t1=1 t2=-7(舍去 ) 当 t-1， x=t时， y有最大值，即2t2+4t+1=0 (t+5)(t-3)=0 t1=-5 t2=3(舍去 )。 t=1或 t=-5解：（ 1）当时，二次函数 的最大值为 49 ； 1
18、 分 （ 2） 二次函数 的对称轴为直线 ， 由对称性可知，当 和 时函数值相等 . 若 ，则当 时， 的最大值为 . . 2分 若 ，则当 时， 的最大值为 17. . 3分 （ 3） 的值为 或 . . 5分 阅卷说明：只写 或只写 得 1分；有错解得 0分 . 考点：二次函数的图像与性质，即对称轴，顶点坐标式的求法。 点评：本题是难题，难点在于当自变量 x 的取值范 围内要考虑到对称轴的关系，需要讨论。此题还可以依据函数的单调性来讨论，即是在对称轴为准，自变量x在那个范围上是 y随着 x的增大而增大，即为增函数，反之，减函数。由此得到函数的最值。 平面直角坐标系 中，原点 O是正三角形
19、ABC外接圆的圆心，点 A在轴的正半轴上， ABC的边长为 6以原点 O为旋转中心将 ABC沿逆时针方向旋转角，得到 ，点 、 、 分别为点 A、 B、 C的对应点 （ 1）当 =60时， 请在图 1中画出 ； 若 AB分别与 、 交于点 D、 E，则 DE的长为 _； （ 2）如图 2，当 AB时， 分别与 AB、 BC交于点 F、 G，则点 的坐标为 _， FBG的周长为 _， ABC与 重叠部分的面积为_ 答案：（ 1）由旋转角，对应点可画出图像，（ 2） DE=2 (3)A(- ,3) FBG的周长 6，重叠的面积 27-9 试题分析：（ 1） 在平面直角坐标系 XOY中， ABC是
20、O的外接圆，经中心 O旋转 60后，得到 ABC把 0平均分成了六份，六个顶点能构成内接正六边形 各边的交点又构成小的正六边形， AB 与 AB的交点为三等份的点，从而得到 DE= 6=2，（ 2） 点 O是三角形四心重合的点， AB AB.可得AB x轴，在 ABC中可易求 OA=2 。 OA=2 由 O,A与 x 轴组成的三角形是特殊的三角形，即 30,6090 A(- ,3) BF=AF, FBG的周长=AB的边长 =6. （ 3）设 BG为 x,则 FG为 x,BF为 2x. x+ x+2x=6 x=(3- ) ABC的面积 -三倍 BFG的面积 =重叠的面积 = 63 -3 （ 3-
21、 ） （ 3- ） =27-9 .解：（ 1） 如图所示 . 1 分 DE的长为 2 ； 2 分 （ 2）点 的坐标为 ， FBG的周长为 6 ， ABC与 重叠部分的面积为 5 分 阅卷说明：第（ 2）问每空 1分 . 考点：等边三角形的内心定义，旋转图形的性质，三角形外接圆的性质，及直角三角形的性质。 点评：本题有一定的难度，关键熟悉几个公式的应用，由于圆心就是三角形的内心，从而得到特殊角的度数在 Rt 三角形中， 30所对的直角边是斜边的一半，列出方程求出边长，再有重叠的面积 =三角形的面 -三个全等的小三角形的面积。注意的是，旋转后得到六个全等的三角形。中档题，有一定的难度，计算量较大
22、易出错。 如图， AB是 O的直径，点 C在 O上，过点 C的直线与 AB的延长线交于点 P， COB=2 PCB. （ 1）求证： PC是 O的切线； （ 2）点 M是弧 AB的中点， CM交 AB于点 N，若 MN MC=8，求 O的直径 . 答案：（ 1）由题意得到半径 OC PC, PC是 O的切线（ 2） AB=4 试题分析（ 1）：因为同圆中半径相等，得到相等的角，直径所对的圆周角为90，再由已知，经过等量代换，半径与直线垂直。（ 2）连接 AM， BM.由题意易得 ANC NMA,由已知一边的长为 8，根据相似三角形的相似比求之。注意的是；相似比找准对应边。通过角找边容易。 1）
23、证明： OA=OC， A= ACO . COB=2 ACO . 又 COB=2 PCB， ACO = PCB . . 1分 AB是 O的直径， ACO + OCB=90 . PCB + OCB=90， 即 OC CP. OC是 O的半径， PC是 O的切线 . 2 分 （ 2）解：连接 MA、 MB.（如图） 点 M是弧 AB的中点， ACM= BAM. AMC= AMN， AMC NMA . 3 分 . . =8， . . 4分 AB是 O的直径，点 M是弧 AB的中点， AMB=90， AM=BM= . . 5分 考点：圆周角的性质，在同圆等中弧，弦，圆周角三者关系。相似三角形的判定条件及
24、性质。 点评：掌握切线判定的条件，即经与圆过一点，且与半径垂直，这个点到圆心的距离等于半径长。本题需要画辅助线，借助 M点为中点根据弧弦圆周角的关系求之。 已知抛物线 . （ 1）它与 x轴的交点的坐标为 _； （ 2）在坐标系中利用描点法画出它的图象； （ 3）将该抛物线在 轴下方的部分 (不包含与 轴的交点 )记为 G，若直线与 G 只有一个公共点，则 的取值范围是 _ 答案：（ 1）（ -1,0），（ 3,0） (2),列表，描 点，连线及可画图。（ 3） -3b1或 b=- 试题分析： (1) y=x2-2x-3与 x轴相交， y=0， x2-2x-3=0,解得 x1=-1,x2=3.
25、(2)图像的画法三步骤；列表，连点，连线。（ 3） y=x2-2x-3与 y=x+b交于点 G, x2-2x-3=x+b 即 x2-3x-3-b=0 =9-4(-3-b),即 21+4b0, b- , G点在x轴下面， x2-2x-3-b0 解得 -3b 1解：（ 1）它与 x轴的交点的坐标为 ( ，0)，（ 3， 0）； 1分 （ 2）列表： x 0 1 2 3 y 0 0 图象（如图）； 3 分 （ 3） 的取值范围是 或 5 分 阅卷说明：只写 或只写 得 1分 . 考点：二次函数图像的性质，图像的画法， 点评：由式与 x轴相交纵坐标为 0，解方程可求出坐标点，根据式，可画图像，由于一次
26、函数与二次函数有唯一交点，可列方程，点 G又在 x轴下，构建不等式求出 b的取值范围。属于中档题，注意的是，构建不等式及其解法。 如图，一艘海轮位于灯塔 P的南偏东 45方向，距离灯塔 100海里的 A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔 P的北偏东 30方向上的 B处 . （ 1） B处距离灯塔 P有多远？ （ 2）圆形暗礁区域的圆心位于 PB的延长线上，距离灯塔 200海里的 O处 .已知圆形暗礁区域的半径为 50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险 .请判断若海轮到达 B处是否有触礁的危险，并说明理由 答案： BP=100 ，没有危险。 试题分析：解：（ 1）作 PC AB于 C.（如
27、图） 在 Rt PAC中， PCA=90， CPA=90 45=45. . 2 分 在 Rt PCB中， PCB=90， PBC=30. . 答： B处距离灯塔 P有 海里 . 3 分 （ 2）若海轮到达 B处没有触礁的危险 . . 4分 理由如下： ， 而 ， . . . 5分 B处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险 . 考点：方位角的定义，勾股定理。 点评：熟练掌握方位角的定义，在平面内上北下南左西右东，此题给出特殊的角度，可求出各边的长。确定危险性，关键是确定点 B是否在暗礁区的内外。有一定难度，但不大。 如图，在 ABCD中，点 E在 BC边上，点 F在 DC的延长线上，且 DAE= F
28、 （ 1）求证： ABE ECF； （ 2）若 AB=5， AD=8， BE=2，求 FC的长 答案：（ 1）欲求 ABE ECF ，由已知得到两三角形两个对应角相等，所以，两三角行相似（ 2） FC= 试题分析：由题意根据平行四边形的性质，可得到两个三角形的对应角相等， ABE ECF，再由相似比，得到所求的值。（ 1）证明：如图 . 四边形 ABCD是平行四边形， AB CD， AD BC. B= ECF， DAE= AEB 2 分 又 DAE= F， AEB= F. ABE ECF . 3分 （ 2）解： ABE ECF， . . 4分 四边形 ABCD是平行四边形， BC=AD=8.
29、EC=BC BE=8 2=6. . . 5 分 考点：相似三角形的判定条件，性质。 点评：由平行四边形的性质得到对边平行，从而知角的相等，根据等量代换，由已知得到角相等，相似三角形两角相等即相似。两三角形相似对应边成比例，由已知列方程求之。本题属于基础题型。 如图， AB是 O 的直径， CD是 O的一条弦，且 CD AB于点 E （ 1）求证： BCO= D； （ 2）若 CD= ， AE=2，求 O的半径 答案： BCO= D 半径 =3. 试题分析： (1)证明： O为圆心， OB=OC, BCO= B 又 B与 D所对的同弧 AC， B= D BCO= D (2)设半径为 x,则 EO
30、=（ x-2） , CD AB CE=DE= 4 =2 在 Rt CEO中，由勾股定理得；CO2-OE2=CE2 即 x2-(x-2)2=(2 )2 解得 x=3 （ 1）证明：如图 . OC=OB， BCO= B. B= D， BCO= D. 2 分 （ 2）解： AB是 O 的直径，且 CD AB于点 E， . . 3分 在 Rt OCE中， ， 设 O的半径为 r，则 OC=r， OE=OA AE=r 2， . . 4分 解得 . O 的半径为 3. 5分 考点：垂径定理，勾股定理，在同圆等圆中圆周角与弧的关系。等腰三角形的性质。 点评：在同圆中，两个角要是相等的条件是所对 的同一个弧，
31、（ 1）中 B= D，又 B= BCO， 等量代换证得。（ 2）中，根据勾股定理可列方程求之。中等偏难题，计算较多。 如图，在 Rt ABC 中， C=90，点 D在 AC 边上若 DB=6， AD= CD，sin CBD= ，求 AD的长和 tanA的值 答案： AD=2， tanA=2 试题分析： sin CBD= C=90BD=6 sin CBD= = = CD=4 又 AD= CD AD=2 在 Rt BCD中由勾股定理得； BC2=BD2-CD2即 BC2=62-42=20 BC= =2 , tanA= = = 解：在 Rt DBC中， C=90， sin CBD= ， DB=6，
32、(如图 ) . 1 分 . 2 分 ， 3分 AC= AD+CD=2+4=6， 4分 在 Rt ABC中， C=90， . 5分 考点：三角函数的定义， 点评：熟知三家函数的定义，正弦等于对边比斜边，正切等于对边比邻边。有一点的难度，但不大。属于基础题。 已知抛物线 （ 1）用配方法将 化成 的形式； （ 2）将此抛物线向右平移 1个单位，再向上平移 2个单位，求平移后所得抛物线的式 答案： (1)y=(x-2)2-3 .(2)y=(x-3)2-1=x2-6x+8 试题分析： (1) y=x2-4x+1 y=x2-4x+4-4+1 y=(x-2)2-3 (2)由 (1)得 y=(x-2-1)2
33、-3+2即 y=(x-3)2-1 解：（ 1） . 2分 （ 2） 抛物线 的顶点坐标为 ， . 3分 平移后的抛物线的顶点坐标为 . . 4分 平移后所得抛物线的式为 . 5分 考点：二次函数图象平移的规律，二此函数一般式化顶点式的方法 点评：熟知二次函数图象平移时，上加下减，左加右减。即上下平移时，纵坐标加减，左右平移时，横坐标加减。这里注意的是；平移时一定要把二次函数的式化成顶点式形式，函数标准式化顶点式时；配方的原则是，一次项系数一半的平方比上二次项系数，此题的二次项为 “1”，属于基础题。 如图 1，平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 A、 B 两点，点 C是 AB的中点， CD AB且 CD=AB.直线 BE与 轴平行，点 F是射线 BE上的一个动点，连接 AD、 AF、 DF. （ 1）若点 F的坐标为（ ， ）， AF= . 求此抛物线的式； 点 P是此抛物线上一个动点，点 Q在此抛物线的对称轴上，以点 A、 F、 P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点 Q的坐标； （ 2）若 ， ，且 AB的长为 ，其中 .如图 2，当 DAF=45时，求 的值和 DFA的正切值 . 答案：（ 1） y= x2- x+ Q1( ,3) Q2( ,5) Q3( ,7)
