1、2013届北京市通州区九年级上学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 如图，已知 P是射线 OB上的任意一点， PM OA于 M，且 OM : OP=4 : 5，则 cos的值等于（ ） A B C D 答案： C 试题分析：解：在直角三角形中余弦函数值等于邻边比斜边，要求三角函数值必须知三边的比值或是三边的长， OM:OP=4： 5， PM OA, cos= .而选项 A ,B,D都不满足题意，所以 C正确。 考点：直角三角形函数定义。 点评：熟知三角函数的定义，除了了解余弦还要知道正弦等于对边比斜边，正切等于对边比邻边，本题简单属于基础题。 如图， O 的半径为 3厘米， B为 O
2、外一点， OB交 O 于点 A， AB=OA.动点 P从点 A出发，以 厘米 /秒的速度在 O 上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止当点 P运动的时间为（ ）秒时， BP 与 O 相切 A 1 B 5 C 0.5或 5.5 D 1或 5 答案： D 试题分析：解：由题意可知， P的有两个时刻满足 BP 与 O 相切， BP 与 O相切 , OP PB，又 AB=OA， OP= OB, B=30， AOP=60或 300，设时间为 t，由弧长公式得； AP 弧长 = = ，或 = =5 .又速度为 厘米 /秒， =1，或 5 =5. 考点：切线性质，直角三角形的性质，弧长公式。 点评：熟知以上
3、性质，解答本题时有两种情况容易疏忽，遗漏。由已知可求出P 点的行进的距离即弧长，再与速度的比值就可求得，属于基础题，难度不大，但易错。 如图，等边 ABC的边长为 3， P为 BC 上一点，且 BP 1， D为 AC 上一点，若 APD 60，则 CD的长为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：解 ;由题意知，求得 CD的长只需证的 ABP PCD, ABC 为等边三角形， B= C=60,AB=BC=3.又 BP=1， PC=2，又 APD=60， BAP= CPD, AB:CP=BP:CD 即， 3:2=1： CD, CD= . 选项 A,C,D 错误，只有 B正确。 考点：相似三
4、角形的判定及性质。 点评：本题难度小，在解题过程中注意找准对应边，由已知可得到相似比，从而求出。 如图，直径为 10的 A经过点 和点 ，与 x轴的正半轴交于点D， B是 y轴右侧圆弧上一点，则 cos OBC的值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：解：从题目给的已知条件看，很难求出 cos OBC的值，是因为，求得三角函数值，要有直角三角形，通过三边之比才可以，所以，连接 OA延长交 A于 E， B与 E所对的同弧， B= E，又 OA为直径 OCE=90， 直径为 10,C(0,5) E= B=30,又直角三角形性质得，OC:CE:OE=1: :2, cos OBC= . 考点
5、：直角三角形的性质，三角函数的定义和性质。 点评：要熟练掌握以上的两性质，在求解是，做辅助线是解题的关键，原题中的角可 用等角在另一个直角三角形中求取三角函数值，本题由一定的难度，但难度不大。 在平面直角坐标系中，以点（ 2， 3）为圆心， 2为半径的圆必定（ ） A与 x轴相离、与 y轴相切 B与 x轴、 y轴都相离 C与 x轴相切、与 y轴相离 D与 x轴、 y轴都相切 答案： A 试题分析：解 ;在平面直角坐标系中，圆与坐标轴是否相交相离或相切，要看圆心到坐标轴的距离是否等于半径的长， 点（ 2， 3）为圆心， 横坐标到 y轴的距离为 2，纵坐标到 x轴的坐标为 3，而圆的半径又为 2
6、点（ 2,3）与 x轴相离、与 y轴相切。显然 B,C,D.均不符合题意。 考点：圆的切线定义，及平面直角坐标系定义。 点评：，在解答过程中要熟知以上定义的含义，直线与圆是否相切必须满足三个条件；一，直线与圆有一个交点，二交点到圆心的距离等于半径的长，三直线与圆的半径垂直。再有，要注意的是，坐标点的横坐标的绝对值是指到 y轴的距离，纵坐标是到 x轴的距离，本题属于基础题，但易出错。 如图，在 OAB中， CD AB，若 OC:OA =1:2，则下列结论：（ 1）； （ 2）；（ 3） . 其中正确的结论是（ ） A（ 1）（ 2） B（ 1）（ 3） C（ 2）（ 3） D（ 1）（ 2）（
7、3） 答案： A 试题分析：解：在三角形的证两边的关系大小，与面积关系中常常可利用全等或，相似三角形证得。本题中属于相似三角形的类型， 在 OAB中， CD AB， OAB OCD = ,又 OC:OA =1:2 AB =2 CD。因为两个三角形相似，那么相似比的平方等于面积比，所以，选项（ 3）错误，（ 1）（ 2）正确。 考点：相似三角形的定义和性质。 点评：熟知上的定义和性质，由题意易判断出结论。本题属于基础题，简单易做。 若一个正多边形的一个内角是 144，则这个多边形的边数为（ ） A 12 B 11 C 10 D 9 答案： C 试题分析：解：求正多形的边数时，可有角的大小求之，即
8、，正多边形的每个内角都相等，边数等于角的个数，用一个角的度数与个数积就求出内角和，而内角和定理适合所有的多边形，所以可设边数为 n边，有题意得，（ n-2）180=144解得 n=10. 考点：正多边形的定义，多边形的内角和定理。 点评：熟知上两个定义，定理，根据题意列方程，易求之，本题属于基础题，简单。 如图， A、 B、 C是 O 上的点，若 AOB=70，则 ACB的度数为（ ） A 70 B 50 C 40 D 35 答案： D 试题分析：解 ;在同圆等圆中求圆周角的度数，可利用圆周角与圆心角所对的相同的弧时，圆周角等于圆心角的一半求得，由题知； AOB=70为圆心角，而 ACB为圆周
9、角，两角所对的弧同问 AB弧，所以 ACB= AOB=35. 考点：圆周角与圆心角的关系。 点评：在解本题时要注意的是，两个角必须是在同一圆中或等圆，同一弧或等弧的条件下，才有圆周角等于圆心角的一半。题简单易求，属于基础题。 若两圆的半径分别是 1cm和 5cm，圆心距为 6cm，则这两圆的位置关系是（ ） A内切 B相交 C外切 D外离 答案： C 试题分析：解：两圆的位置关系大体有五种；内切，外切，外离，相交，内含。可用 R， r， d三者关系表示两圆的位置关系，其中 R ， r为圆的半径， d为圆心距。当两圆外切时， R+r=d.相交时 R-rdR+r，内切时， R-r=d,外离时 R+
10、rd. R=5 r=1 d=6, R+r=5+1=d=6. 两圆外切。 考点：两圆的位置关系。 点评：判断两圆的位置关系要明确两圆的半径和与圆心距的长之间大小，本题易知，半径的和等于圆心距，从而判定出，属于基础题 。 已知 O 的半径为 5， A为线段 OP的中点，若 OP=10，则点 A在（ ） A O 内 B O 上 C O 外 D不确定 答案： B 试题分析：解：点在圆上时，点到圆心的距离等于半径的长，由， O 的半径=5，点 A为 OP的中点， OP=10, OA=5等于半径的长，点与圆有三种位置关系，点在圆内，点在圆上，点在圆外。但圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心
11、的距离大于半径，显然 A,C,D不合要求 点 A在 O 上 ,选择 B. 考点：点于圆的位置关系。 点评：要熟知点于圆的位置关系，本题由已知易得，点到圆心的距离的半径的长。属于简单题，基础题。 填空题 图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第 n个圆中， m =_（用含 n的代数式表示） 答案： m=9n2-1 试题分析：解：结合给出的三个图形找到规律，由图可知， 8=912-1 ，35=922-1,80=932-1所以 ,m=9n2-1 考点：图形信息题型。 点评：要仔细观察给我的前三个图形的规律来，找到规律了，就不难求出结果，本题易一定的难度，难度不是很大，属于中档题。 小红要过生
12、日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为 9cm，母线长为 30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为 _cm2 .（结果保留 ） 答案： 试题分析：求圆锥的侧面积需要知道圆的半径，母线长， 半径 =9cm，母线=30cm， 侧面积 =930 。 考点：圆锥侧面积公式。 点评：熟知圆锥侧面积公式，由已知易求，本题属于基础题。 如图，在 O 中，半径 OA BC， AOB =50，则 ADC 的度数是_. 答案： ADC=25 试题分析：解：求圆周 角时，通常利用圆心角来求， OA BC， AB弧 =AC弧，又 ADC 所对的弧为 AC 弧， AOB =50 ADC
13、= AOB=50=25. 考点：圆周角与圆心角的关系，垂径定理。 点评：熟知圆周角与圆心角的关系及垂径定理，由已知求之，本题属于基础题。 如图是二次函数 的部分图象，由图象可知方程的解是 _ ， _. 答案： x1=-1,x2=5. 试题分析：解：求方程的解即是求函数图象与 x轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个。由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像一点与 x轴的交点为 5，所以，另一交点为 2-3=-1. x1=-1,x2=5. 考点：二次函数的性质与图像。 点评：要了解二次函数性质与图形，由于图像的开口向下，所以，有两个交点，知一易求另一个，本题属于基础题。
14、如图， O 的弦 AB=8， OD AB于点 D， OD= 3，则 O 的半径等于 答案： 试题分析：解：连接 OA,因为弦与半径垂直，构建直角三角形，由勾股定理求得， OD AB， OD= 3, AB=8 AD=4.AO2=AD2+OD2，即 AO2=42+32 AO=5 考点：垂径定理，勾股定理。 点评：熟知以上两定理，由已知易得，本题属于基础题，难度小，易做得。 计算： tan45 + cos45 = 答案： 试题分析解：解：要想解得此题要熟知三角函数的正切，与余弦函数的特殊角的函数值， tan45=1， cos45= ， 原式 =1+ =2. 考点：三角函数特殊角的值。 点评：本题不难
15、，属于基础题，只要熟知各特殊角的三角函数值就可求之。 解答题 （ 8分）将抛物线 c1： y= 沿 x轴翻折，得到抛物线 c2，如图所示 . （ 1）请直接写出抛物线 c2的表达式； （ 2）现将抛物线 c1向左平移 m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与 x轴的交点从左到右依次为 A， B；将抛物线 c2向右也平移 m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为 N，与 x轴的交点从左到右依次为 D， E. 用含 m的代数式表示点 A和点 E的坐标； 在平移过程中，是否存在以点 A， M， E为顶点的三角形是直角三角形的情形？若存在，请求出此时 m的值；若不存在，请说明理由 . 答案：
16、（ 1） y= x2- .(2) (-1-m,0) m=1时， AME为 Rr . 试题分析：因为二次函数的图像关于 x轴对称时，函数中的 a,c,互为相反数， b值不变，函数向左平移时，纵坐标不变，横坐标均减少平移个单位，可假定成立，由直角三角形性质得到验证。解：（ 1）抛物线 c2的表达式是 ； 2分； （ 2） 点 A的坐标是（ ， 0）， 3分； 点 E的坐标是（ ， 0） . 4分； 假设在平移过程中，存在以点 A， M， E为顶点的三角形是直角三角形 . 由题意得只能是 . 过点 M作 MG x轴于点 G. 由平移得： 点 M的坐标是（ ， ）， 5分； 点 G的坐标是（ ， 0）
17、， ， ， ， 在 Rt AGM中， tan ， ， 6分； ， ， tan ， ， 7分； . 8分 . 所以在平移过程中，当 时，存在以点 A， M， E为顶点的三角形是直角三角形 . 考点：二次函数的图像与性质，直角三角形的性质。函数图像翻折时，式的系数的变换。 点评：要熟练掌握以上各种性质，在解题时要掌握正确的方法，本题由一定的难度有三问需认真的思考一一作答，属于中档题。 （ 7分）已知：如图，在四边形 ABCD中， BCDC， BCD=60o， ADC=45o， CA平分 BCD， ，求四边形 ABCD的面积 . 答案： S ABCD=4 . 试题分析：由于所求的四边形是一般的四边形
18、，在求面积时，需要上，下底及高的值才可求出，本题不具有此条件，所以需做辅助线将四边形化为等面积的三角形以求之。 .解：在 CD上截取 CF=CB，连结 AF. 过点 A作 AE CD于点E 1分； CA平分 BCD ， BCD=60o， ， 在 ABC和 AFC中 ABC AFC. 2分； AF=AB ， ， . 3分； 在 Rt ADE中， ， ， sin ， AE=ED=2 . 4分； 在 Rt AEC中， ， tan ， . 5分； AE CD ， FE=ED=2 . 6分； = 7分 . 注：另一种解法见下图，请酌情给分 . 考点：四边形的面积，三角形的面积，三角形的全等判定，三角函数
19、定义。 点评：本题求解有一定的难度，关键在画辅助线上，及把不规则的四边形变成可求的三角形，从而可求，解题时应用的知识面很多，需要对图形的认识能力很高，属于偏难题型。做法不唯一。 （ 6分）如图， AD为 O 的直径，作 O 的内接等边三角形 ABC.黄皓、李明两位同学的作法分别是： 黄皓： 1. 作 OD的垂直平分线，交 O 于 B， C两点， 2. 连结 AB， AC， ABC即为所求的三角形 . 李明： 1. 以 D为圆心， OD长为半径作圆弧，交 O 于 B， C两点， 2. 连结 AB， BC， CA， ABC即为所求的三角形 . 已知两位同学的作法均正确，请选择其中一种作法补全图形，
20、并证明 ABC是等边三角形 . 答案： ABC是等边三角形， 试题分析：由两同学的做法不同，一个根据三角形性质求得，另一个根据两圆的知识求得，但得到的三角形都为等边三角形。解：我选择 黄皓 的作法 . 如图画图正确 . 2分； 证明：连结 OB、 OC. AD为 O 的直径， BC 是半径 OD的垂直平分线， AB=AC， BD=CD, ， 3分； . 4分； 在 Rt OEC中， cos ， ， 5分； . . ABC是等边三角形 . 6分 . 我选择 李明 的作法 . 如图画图正确 . 2分； 证明：连结 DB、 DC. 由作图可知： DB=DO=DC， 在 O 中， OB=OD=OC，
21、OBD和 OCD都是等边三角形， 3分； ， 4分； ， ， ， ， 5分； ABC是等边三角形 . 6分 . 考点： 等边三角形的定义，及做法。 点评：熟知等边三角形的定义及做法，线段的垂直平分线上的点到两端点距离相等，两圆相交圆心距等于一圆半径时，两圆心与两圆的交点构成的四边形是菱形。本题由一定的难度，但不大，属于中档题。 (6分 ) 如图是黄金海岸的沙丘滑沙场景 .已知滑沙斜坡 AC 的坡度是 ，在与滑沙坡底 C距离 20米的 D处，测得坡顶 A的仰角为 26.6，且点 D、 C、B在同一直线上，求滑坡的高 AB（结果取整数：参考数据： sin26.6=0.45，cos26.6=0.89
22、， tan26.6=0.50） 答案： AB=30米。 试题分析：可利用三角函数值的比值，设 AB边的长在由勾股定理求得 AB的长。解：由题意可知： 米， 26.6， . 在 Rt ABC中， ， 1分； 设 ， ， 2分； 在 Rt ABD中， ， 3分； ， 4分； 解得： ， 5分； . 答：滑坡的高 AB为 30米 . 6分 . 考点：三角函数定义，勾股定理。 点评：熟知三角函数的定义及勾股定理，由已知所给的条件易求之，本题属于基础题，难度不大。 （ 6分）在平面直角坐标系 xOy中，二次函数 的图象过 A（ -1， -2）、 B（ 1， 0）两点 （ 1）求此二次函数的式； （ 2）
23、点 是 x轴上的一个动点，过点 P作 x轴的垂线交直线 AB于点 M，交二次函数的图象于点 N当点 M 位于点 N 的上方时，直接写出 t 的取值范围 答案： (1)y=x2+x-2 (2)-1t1. 试题分析：求函数式的常用方法是待定系数法，由于已知给出了 c的值，又知两个坐标点，所以代入即可求出 a ,b 的值。由于点 P 在 x轴上，由图像知 a0，所以开口向上，因图像与 x轴有两个交点，所以满足题意的横坐标 t,只有在点A， B之间取得。解：（ 1）把 A（ -1,-2）、 B（ 1,0）分别代入中， 2分； 解得： 3分； 所求二次函数的式为 . 4分； （ 2） . 6分 . 考点
24、：二次函数的与图像性质。 点评：熟知二次函数的图像与性质，在解题过程中由已知可求的式，需要注意的是，在求取值范围时，要结合函数的图像。本题属于基础题，难度不大。 （ 6分）如图，在 ABC中，点 O 在 AB上，以 O 为圆心的圆经过 A， C两点，交 AB于点 D，已知 2 A + B = （ 1）求证： BC 是 O 的切线； （ 2）若 OA=6， BC=8，求 BD的长 答案： 试题分析：证明切线需要满足三要素；即直线与圆一个交点，点到圆的距离等于半径的长，直线与半径垂直，本题没有半径，所以可连接 OC,从而可求之。在（ 2）问中由（ 1）知 BO 的长，做差可得 BD的值。（ 1）证
25、明：连结 OC. 1分； ， ， ， . 2分； 在 OCB中， ， BC 是 O 的切线 . 3分； （ 2）解：在 O 中， OC=OA=OD=6， 4分； ， . . 5分； . 6分 . 考点： 点评： （ 4分）如图，在 ABD和 AEC中， E为 AD上一点，若 DAC = B， AEC = BDA. 求证： . 答案： = 试题分析：如两个三角形相似那么对应边成比例，相似三角形的判定条件一般有三种，两个对应角相等，那么三角形相似；三对应边成比例，那么三角形相似两对应边成比例，及其夹角相等，那么三角形相似。；证明： DAC = B， AEC = BDA， 2分； AEC BDA.
26、3分； . 4分 . 考点：相似三角形的判定及性质。 点评：熟知相似三角形的判定条件及性质，本题属于基础题，简单易求证。 （ 9分）在平面直角坐标系 xOy中，点 B(0， 3)，点 C是 x轴正半轴上一点，连结 BC，过点 C作直线 CP y轴 . （ 1）若含 45角的直角三角形如图所示放置其中，一个顶点与点 O 重合，直角顶点 D在线段 BC 上，另一个顶点 E在 CP上求点 C的坐标； （ 2）若含 30角的直角三角形一个顶点与点 O 重合，直角顶点 D 在线段 BC 上，另一个顶点 E在 CP上，求点 C的坐标 答案： (1) C(3， 0) ,（ 2）（ ， 0） (3 ,0).
27、试题分析：由题意知，求 C点坐标很难，所以要做辅助线，结合平面直角坐标系的性质求得，在（ 2）中由已知得有两种情况，解：（ 1）过点 D分别作DG x轴于 G， DH PC于 H. 1分； ， ODE是等腰直角三角形， OD=DE， ， CP y轴， 四边形 DGCH是矩形， 2分； ， DH=GC. ， ， ODG EDH. 3分； DG=DH. DG=GC， DGC 是等腰直角三角形， ， 4分； tan ， OC=OB=3. 点 C的坐标为（ 3,0） 5分； 分两种情况： 当 时， 过点 D分别作 DG x轴于 G， DH PC于 H. ， ODE是直角三角形， tan ， ， CP
28、y轴， 四边形 DGCH是矩形， ， DH=GC. ， ， ODG EDH. 6分； . ， tan ， ， tan ， OC= . 7分； 当 时， 过点 D分别作 DG x轴于 G， DH PC于 H. ， ODE是直角三角形， tan ， ， CP y轴， 四边形 DGCH是矩形， ， DH=GC. ， ， ODG EDH. 8分； . ， tan ， ， tan ， OC= . 9分 . 点 C的坐标为（ ,0）、（ ,0） . 考点：平面直角坐标系的定义，直角三角形的定义，三角函数定义，相似三角形的判定及性质。 点评：熟练掌握以上各定义性质，在解题时要结合已知所给的条件，在做辅助线的情况下，可求得，第二问求之值时，容易遗漏，需注意，本题涉及到的知识面广，计算量教大，也容易出错。综合性很强，属于难题。
