1、2013届江苏省如皋市东部共同体九年级上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 抛物线 的顶点坐标是（ ） A（ -2， 3） B（ 2， 3） C（ -2， -3） D（ 2， -3） 答案： A 试题分析：二次函数 ，顶点坐标是（ h， k），对称轴是 x=h 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（ -2， 3）， 故选 A. 考点：本题考查的是二次函数的性质 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次函数的顶点坐标，即可完成 函数 y=ax 1与 y=ax2 bx 1（ a0）的图象可能是（ ） 答案： C 试题分析：根据 a的符号，分类讨论，结合两函数图象相交于（ 0， 1）
2、，依次分析各项 . 当 x=0 时，两个函数的值都为 1，故两函数图象应相交于（ 0， 1），可排除 A； 当 a 0时，函数 y=ax2+bx+1（ a0）的图象开口向上，函数 y=ax+1的图象应在一、二、三象限，故可排除 D； 当 a 0时，函数 y=ax2+bx+1（ a0）的图象开口向下，函数 y=ax+1的图象应在一二四象限，故可排除 B 正确的只有 C，故选 C 考点：本题考查的是一次函数与二次函数的图象 点评：解答本题的关键是熟记一次函数 y=kx+b在不同 情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等 直角 ABC中， C=90， AC=8，
3、 BC=6，两等圆 A， B外切，那么图中两个扇形（阴影部分）的面积是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：先根据勾股定理求得 AB 的长，再利用扇形面积公式即可求得结果 ACB=90， AC=8， BC=6， ， ， 故选 A. 考点：本题考查的是勾股定理，扇形的面积公式 点评：解答本题的关键是根据图形的特征得到两个扇形的面积的圆心角之和为90度，同事熟记扇形的面积公式 在平面直角坐标系中，将抛物线 先向右平移 2个单位，再向上平移 2个单位，得到的抛物线式为 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据二次函数图象的平移规律即可得到结果 函数 先向右平移 2个单位，得 ， 再
4、向上平移 2个单位，得 ， 故选 B. 考点：本题主要考查了二次函数的图象与几何变换 点评：解答本题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减 . 已知 O 的半径为 2，直线 l上有一点 P满足 PO=2，则直线 l与 O 的位置关系是（ ） A相切 B相离 C相离或相切 D相切或相交 答案： D 试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定分 OP垂直于直线 l， OP不垂直直线 l两种情况讨论 当 OP垂直于直线 l时，即圆心 O 到直线 l的距离 d=2=r， O 与 l相切； 当 OP不垂直于直线 l时，即圆心 O 到直线 l的距离 d 2=r， O 与直线 l相交 故直线
5、 l与 O 的位置关系是相切或相交 故选 D 考点：本题考查的是直线与圆的位置关系 点评：解答本题的关键是熟练掌握判断直线和圆的位置关系： 直线 l和 O相交 d r； 直线 l和 O 相切 d=r； 直线 l和 O 相离 d r 从生产的一批螺钉中抽取 1000个进行质量检查，结果发现有 5个是次品，那么从中任取 1个是次品概率约为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：直接根据求概率的公式即可得到结果 . 因为抽取 1000个进行质量检验，结果发现有 10个次品，所以从中抽取一个是次品的概率约为 ， 故选 B. 考点：本题考查的是概率公式 点评：解答本题的关键是熟练掌握概率公式：如果
6、一个事件有 n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A出现 m种可能，那么事件 A的概率二次函数 的图象如图所示，则下列关系式不 正确的是（ ） A 0 B 0 C 0 D 0 答案： C 试题分析：根据抛物线的开口方向，与 y轴的交点位置，对称轴的位置，特殊值，与 x轴的交点个数依次分析各项即可判断 . 抛物线开口向下， a 0， 抛物线与 y轴交于正半轴， c 0， 对称轴在 y轴左边， ， b 0， abc 0， 抛物线与 x轴有两个交点， 0， 当 x=1时， y 0， a+b+c 0 故选 C 考点：本题主要考查二次函数的图象与系数的关系 点评：解答本题的关键是熟记二次函数 （
7、 a0）的图象为抛物线，当 a 0时，抛物线开口向上；对称轴为直线 ；抛物线与 y轴的交点坐标为（ 0， c）；当 b2-4ac 0时，抛物线与 x轴有两个交点 如图， AB.CD是 O 的两条弦，连接 AD.BC若 BAD=60，则 BCD的度数为（ ） A 40 B 50 C 60 D 70 答案： C 试题分析：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 . 由图可知 BCD= BAD=60，故选 C. 考点：本题考查的是圆周角定理 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握圆周角定理，即可完成 下列事件发生的概率为 0的是（ ） A掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上；
8、 B今年冬天如皋会下雪； C掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为 1； D一个转盘被分成 3个扇形，按红、白、黄排列，转动转盘，指针停在红色区域 答案： C 试题分析：发生概率为 0的事件，就是一定不会发生的事件，是不可能事件，依据定义即可判断 A、 B、 D均是随机事件，故错误； C、是不可能事件，发生的概率为 0，故本选项正确 . 考点：本题考查的是不可能事件的概念 点评：解答本题的关键是注意概率只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生 下列说法正确的是 ( ) A垂直于半径的直线是圆的切线 B经过三点一定可以作圆 C弦是直径 D每个三角形都有一个内切圆 答案： D
9、 试题分析：根据与圆有关的基本概念依次分析各项即可判断 . A.垂直于半径且经过切点的直线是圆的切线，注意要强调 “经过切点 ”，故本选项错误； B.经过不共线的三点一定可以作圆，注意要强调 “不共线 ”，故本选项错误； C.经过圆心的弦是直径，注意要强调 “经过圆心 ”，故本选项错误； D.每个三角形都有一个内切圆，本选项正确 . 考点：本题考查的是与圆有关的基本概念 点评：解答本题的关键是注意与圆有关的基本概念中的一些重要字词，学生往往容易忽视，要重点强调 . 填空题 已知二次函数 （ ）与一次函数 的图象相交于点 A（ -2， 4）， B（ 8， 2）（如图所示），则能使 y11时 y随
10、 x增大而减小，当 x1时 y随 x增大而增大，请写出一个符合条件的二次函数的式 . 答案：答案：不唯一，如 试题分析：根据题意可知，抛物线开口向下，二次项系数为负，且对称轴为x=1. 答案：不唯一，如 考点：本题考查的是二次函数的性质 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次函数的性质，即可完成 已知圆的内接正六边形的周长为 18，那么圆的面积为 . 答案： 试题分析：根据圆内接正六边形边长与半径的关系即可求出圆的面积 圆的内接正六边形的周长为 18， 圆内接正六边形的边长是 3， 圆的半径是 3， 圆的面积是 9 考点：本题考查的是正多边形和圆 点评：解答本题的关键是熟练掌握圆的内接
11、正六边形的边长与圆的半径相等 . 解答题 如图，已知直线 PA交 O 于 A.B两点， AE是 O 的直径 ,点 C为 O 上一点，且 AC 平分 PAE，过 C作 CDPA ，垂足为 D. (1)求证： CD为 O 的切线； (2)若 DC+DA=6， O 的直径为 10，求 AB的长度 . 答案：（ 1）见；（ 2） 6 试题分析：（ 1）连接 OC，由 OA=OC 结合 CD PA可证得 CAD+ DCA=90，再根据角平分线的性质，得 DCO=90，即可证得 CD为 O 的切线； （ 2）过 O 作 OF AB，则 OCD= CDA= OFD=90，得四边形 OCDF 为矩形，设 AD
12、=x，在 Rt AOF中，由勾股定理得（ 5-x） 2+（ 6-x） 2=25，从而求得 x的值，由勾股定理得出 AB的长 （ 1）如图，连接 OC 点 C在 O 上， OA=OC， OCA= OAC CD PA， CDA=90，则 CAD+ DCA=90 AC 平分 PAE， DAC= CAO DCO= DCA+ ACO= DCA+ CAO= DCA+ DAC=90 又 点 C在 O 上， OC为 O 的半径， CD为 O 的切线； （ 2）如图，过 O 作 OF AB，垂足为 F， OCD= CDA= OFD=90， 四边形 DCOF为矩形 OC=FD， OF=CD DC+DA=6，设 A
13、D=x，则 OF=CD=6-x， O 的直径为 10， DF=OC=5， AF=5-x， 在 Rt AOF中，由勾股定理得 AF2+OF2=OA2即（ 5-x） 2+（ 6-x） 2=25， 化简得 x2-11x+18=0，解得 x=2或 x=9 CD=6-x 0，故 x=9舍去， x=2， AD=2， AF=5-2=3， OF AB，由垂径定理知， F为 AB的中点， AB=2AF=6 考点：本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质以及垂径定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握切线垂直于经过切点的半径，故证明切线时往往连接切点和圆心，再证垂直 . 如图，平行四边形 ABCD中，
14、，点 的坐标是 ，以点 为顶点的抛物线 经过 轴上的点 . （ 1）求点 的坐标； （ 2）若抛物线向上平移后恰好经过点 ，求平移后抛物线的式 . 答案：（ 1） A（ 2， 0）， B（ 6， 0）， C（ 4， 8）；（ 2） y=-2x2+16x+8 试题分析：（ 1）根据平行四边形的性质可得点 C的坐标，再根据抛物线的对称性即可求得点 A， B的坐标； （ 2）先把二次函数化为顶点式，再根据抛物线向上平移后恰好经过点 ，同时结合二次函数图象的平移规律即可得到结果 . （ 1）在平行四边形 ABCD中， CD AB且 CD=AB=4， 点 C的坐标为（ 4， 8） 设抛物线的对称轴与 x
15、轴相交于点 H，则 AH=BH=2， 点 A， B的坐标为 A（ 2， 0）， B（ 6， 0）； （ 2）由抛物线 的顶点为 C（ 4， 8）， 可设抛物线的式为 y=a（ x-4） 2+8， 把 A（ 2， 0）代入 上式， 解得 a=-2 设平移后抛物线的式为 y=-2（ x-4） 2+8+k， 把（ 0， 8）代入上式得 k=32， 平移后抛物线的式为 y=-2（ x-4） 2+40 即 y=-2x2+16x+8 考点：本题考查的是二次函数的图象与几何变换 点评：解答本题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减；同时注意解决二次函数的平移问题时一般都要先化为顶点式 .
16、 已知：如图， AB是 O 的直径，点 C.D为圆上两点，且弧 CB弧 CD，CF AB于点 F， CE AD的延长线于点 E （ 1）试说明： DE BF； （ 2）若 DAB 60， AB 6，求 ACD的面积 答案：（ 1）见；（ 2） 试题分析：（ 1）由弧 CB=弧 CD可得 CB=CD， CAB= CAE，再结合CF AB， CE AD可得 CED CFB，根据全等三角形的性质即得结论； （ 2）由 AB是直径可得 ACB=90，由 DAB=60， AB=6，解直角三角形ACB可以求出 AC， BC，接着求出 CF， BF，再证的 CAE CAF，即可求出 ACD的面积 （ 1）
17、弧 CB=弧 CD CB=CD， CAB= CAE 又 CF AB， CE AD CE=CF 直角 CED 直角 CFB DE=BF； （ 2） DAB=60， CAB= CAE=30， AB是 O 的直径， ACB=90， CB= AB=3， BCF+ ABC=90， CAB+ ABC=90， BCF= CAB=30， FB= CB= ， ， RtCFB的面积 ， 由第 1问可知， DE=BF， CE=CF， 则 RtCED的面积 =RtCFB的面积 ， AF=AB-FB= ， 由第 1问可知， AE=AF= ， CE=CF ， 考点：本题考查的是圆周角定理，全等 三角形的判定和性质 点评：
18、本题把角平分线，全等三角形放在圆的背景中，利用圆的有关性质和角平分线的性质来证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质解决问题 如图，抛物线的对称轴是直线 ，它与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点，点 ， 的坐标分别是 ， . (1) 求此抛物线对应的函数式； (2) 若点 是抛物线上位于 轴上方的一个动点，求 ABP面积的最大值 . 答案：（ 1） y=-x2+2x+3；（ 2） 8 试题分析：（ 1）已知对称轴是直线 ，故可设顶点式，再根据图象过点， ，即可根据待定系数法求得函数关系式； （ 2） ABP 中可把 AB 看作底， P 点的纵坐标作为高，当 ABP 面积的最大时，即点 P的纵坐
19、标最大，此时点 P为二次函数的顶点坐标，从而可以求得结果 . （ 1) 抛物线的对称轴是直线 x=1， 设抛物线的式是 y=a（ x-1） 2+k 图象过点 ， . 0=4a+k =a+k 解得： a=-1， k=4 y=-（ x-1） 2+4即 y=-x2+2x+3 ； （ 2)当 x=1时， P点的纵坐标值最大 y=4， x轴上两个交点分别是 A（ -1， 0） B（ 3， 0） 此时三角形 ABP的面积最大 S=4 4 =8. 考点：本题考查的是二次函数的性质 点评：解答本题的关键是注意当二次函数的问题中明确了对称轴时，一般应设顶点式，同时熟练掌握二次函数的顶点坐标 . 如图， ABC内
20、接于半圆， AB为直径，设 D是弧 AC 的中点，连接 BD交AC 于 G，过 D作 DE AB于 E，交 AC 于 F. 求证： FD=FG 答案：见 试题分析：由 D是弧 AC 的中点可得弧 AD=弧 DC，即得 ABD= DBC，根据 AB为直径再结合 DE AB可得 EDG= DGF，即可证得结论 . D是弧 AC 的中点， 弧 AD=弧 DC， ABD= DBC AB为直径 ACB=90 CGB=90- CBA， DGF= CGB(对顶角相等）， DGF=90- CBD， DE AB， GDF=90- DBE， EDG= DGF， FDG是等腰 ， FD=FG. 考点：本题考查的是圆
21、周角定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角 . 如图 1，抛物线 y= - x2+ x+3与 x轴交于 A.C两点，与 y轴交于 B点，与直线 y=kx+b交于 A.D两点 . （ 1）直接写出 A、 C两点坐标和直线 AD的式； （ 2）如图 2，质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字 -1.1.3.4随机抛掷这枚骰子两次，把第一次着地一面的数字 m记做 P点的横坐标，第二次着地一面的数字 n记做 P点的纵坐标则点 P（ m， n）落在图 1中抛物线与直线围成区域内（图中阴影部分，含边界）的概率是多少？ 答案：（ 1） A（ -3， 0）， C（
22、4， 0）， y=- x- ；（ 2） 试题分析：（ 1）直接观察图象即可得到 A、 C两点的坐标，再根据待定系数法即得结果； （ 2）先根据抛物线与直线的式得到 m、 n的取值范围，再列举出所有情况，即得结果 . （ 1） A（ -3， 0）， C（ 4， 0）； 直线 AD式： y=- x- ； （ 2）由抛物线与直线式可知，当 m=-1时， - n ，当 m=1时， -1n ， 当 m=3时， - n ，当 m=4时， - n0， 所有可能出现的结果如下： 第一次 第二次 -1 1 3 4 -1 （ -1， -1） （ -1， 1） （ -1， 3） （ -1， 4） 1 （ 1， -1
23、） （ 1， 1） （ 1， 3） （ 1， 4） 3 （ 3， -1） （ 3， 1） （ 3， 3） （ 3， 4） 4 （ 4， -1） （ 4， 1） （ 4， 3） （ 4， 4） 总共有 16种结果，每种结果出现的可能性相同，而落在图 1中抛物线与直线围成区域内的结果有 7 种：（ -1， 1），（ 1， -1），（ 1， 1），（ 1，3），（ 3， -1），（ 3， 1），（ 4， -1）， 因此 P（落在抛物线与直线围成区域内） = 考点：本题考查的是二次函数的性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握概率公式：如果一个事件有 n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A出现
24、m种可能，那么事件 A的概率 已知抛物线的顶点（ -1， -2）且图象经过（ 1， 6），求此抛物线式 . （ 1）求该二次函数的式； （ 2）当 y 0时， x的取值范围 . 答案：（ 1） y=2(x+1)2-2；（ 2） -2 x 0. 试题分析：（ 1）已知顶点为（ -1， -2），则可设顶点式，再根据图象经过（ 1，6），即可求得结果； （ 2）先求出抛物线与 x轴的交点坐标，再根据二次函数的性质即可得到结果 . （ 1）设抛物线的式为 y=a(x-k)2+h 抛物线的顶点（ -1， -2） k=-1,h=-2 y=a(x+1)2-2 再将（ 1,6）代入式中，解得： a=2 式为
25、y=2(x+1)2-2； （ 2）当 y=0时， 2(x+1)2-2=0 解得 x=0或 x=-2 抛物线与 x轴的 交点为（ -2， 0）（ 0， 0） y 0时，函数图象位于 x轴的下方， 图象位于 x轴的下方的自变量 x的取值范围为 -2 x 0. 考点：本题考查的是二次函数的性质 点评：解答本题的关键是注意当题目中明确了顶点坐标时，一般应设顶点式，同时熟练掌握待定系数法求函数关系式 . 如图，破残的圆形轮片上，弦 AB的垂直平分线交 AB于 C，交弦 AB于 D. (1)求作此残片所在的圆 (不写作法，保留作图痕迹 )； (2)若 AB 24cm， CD 8cm，求 (1)中所作圆的半
26、径 . 答案：（ 1）如图所示： （ 2） 13cm 试题分析：（ 1）根据 垂径定理，即可求得圆心； （ 2）连接 OA，根据垂径定理与勾股定理，即可求得圆的半径长 （ 1）连接 BC，作线段 BC 的垂直平分线交直线 CD与点 O， 以点 O 为圆心， OA长为半径画圆， 圆 O 即为所求； （ 2）如图，连接 OA OD AB AD= AB=12cm 设圆 O 半径为 r，则 OA=r， OD=r-8 直角三角形 AOD中， AD2+OD2=OA2 122+(r-8)2=r2 r=13 圆 O 半径为 13cm 考点：本题考查了垂径定理的应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握圆中任意两条弦
27、的垂直平分线的交点即为圆心 . “如皋是我家，爱护靠大家 ”.自我市开展整治 “六乱 ”行动以来，我市学生更加自觉遵守交通规则 .某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过三个十字路口，每个十字路口有红 .绿两色交通信号灯，他在某天上学途中遇到三个红灯的概率为多少？（画出树形图分析所有可能结果） 答案： 试题分析：先画树形图列举出所有情况，看遇到三个红灯的情况数占总情况数的多少即可 画树形图如图： 所有可能出现的结果有 8种，且每种结果出现的可能性相等，小明遇到三个红灯（记作事件 A）的可能结果有 1种， 所以 P（ A） = 考点：本题考查的是概率公式 点评：解答本题的关键是熟练掌握概率公式：如
28、果一个事件有 n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A出现 m种可能，那么事件 A的概率如图，半径为 2的 C与 x轴的正半轴交于点 A，与 y轴的正半轴交于点 B，点 C的坐标为（ 1， 0）若抛物线 过 A.B两点 . （ 1）求抛物线的式； （ 2）在抛物线上是否存在点 P，使得 PBO= POB？ 若存在求出 P的坐标，不存在说明理由； （ 3）若点 M是 抛物线（在第一象限内的部分）上一点， MAB面积为 S，求S的最大（小）值 . 答案：（ 1） y= x2+ x+ ；（ 2） P（ 1 ， ）；（ 3）最大值为 试题分析：（ 1）连接 OB，根据勾股定理即可求得点 B 的
29、坐标，再结合 A（ 3，0），利用待定系数法即可求得抛物线的式； （ 2）作线段 OB 的垂直平分线 l，与抛物线的交点即为点 P，由 PBO= POB，可知符合条件的点在线段 OB的垂直平分线上， OB的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的 P点有两个，注意不要漏解； （ 3）作 MH x轴于点 H，构造梯形 MBOH与三角形 MHA，求得 MAB面积关于 M 点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得 MAB 面积的最大值 （ 1）如图，连接 OB BC=2， OC=1 OB= = B（ 0， ） 将 A（ 3， 0）， B（ 0， ）代入二次函数的表达式 得 ，解得 ， y= x2+
30、 x+ ； （ 2）如图，作线段 OB的垂直平分线 l，与抛物线的交点即为点 P， B（ 0， ）， O（ 0， 0）， 直线 l的表达式为 y= 代入抛物线的表达式， 得 x2+ x+ = ； 解得 x=1 ， P（ 1 ， ）； （ 3）如图，作 MH x轴于点 H 设 M（ xm， ym）， 则 S MAB=S 梯形 MBOH+S MHAS OAB= （ MH+OB） OH+ HA MH OA OB = （ ym+ ） xm+ （ 3xm） ym 3 = xm+ ym ym= xm2+ xm+ ， S MAB= xm+ （ xm2+ xm+ ） = xm2+ xm = （ xm ） 2+ 当 xm= 时， S MAB取得最大值，最大值为 考点：本题考查的是二次函数的性质、圆的性质、垂直平分线，勾股定理 点评：解答本题的关键是注意第（ 2）问中注意垂直平分线与抛物线的交点有两个，不要漏解；第（ 3）问中，重点关注图形面积的求法以及求极值的方法
