1、2012年沪科版初中数学九年级下 26.6三角形的内切圆练习卷与答案（带解析） 选择题 如图， O 内切于 ABC，切点为 D， E， F已知 B=50， C=60， 连结 OE， OF， DE， DF，那么 EDF等于（ ） A 40 B 55 C 65 D 70 答案： B 试题分析：先由三角形的内角和定理求出 A，然后根据切线的性质和四边形的内角和求出 EOF，最后根据圆周角定理得到 EDF的度数 B=50， C=60， A=180-50-60=70； 又 E， F是切点， OEA= OFA=90， EOF=360- A- OEA- OFA=110， EDF= EOF=55 故选 C 考
2、点：本题考查的是切线的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理 点评：解答本题的关键是掌握切线垂直于经过切点的半径，三角形的内角和为180，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 如图，在半径为 R 的圆内作一个内接正方形， 然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第 n个内切圆，它的半径是（ ） A（ ） nR B（ ） nR C（ ） n-1R D（ ） n-1R 答案： A 试题分析：先求出第一个的半径，再求第二个，从中找出规律利用规律计算 第一个的半径是 R， AOC是等腰直角三角形， OC= OA= R，第二个的半径是 R， 同理，第三个的半径是 ， 依此类推
3、得到第 n个圆，它的半径是 第 n个内切圆恰好是第 n+1个圆， 第 n个内切圆，它的半径是 ， 故选 A 考点：本题考查的是图形的变化 点评：注意到正方形的相似性，是解决本题的关键 如图， O 为 ABC的内切圆， C=90， AO 的延长线交 BC 于点 D，AC=4， DC=1，则 O 的半径等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析：设圆 O 与 AC 的切点为 M，圆的半径为 r，先证得 AOM ADC，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得结果 设圆 O 与 AC 的切点为 M，圆的半径为 r， 如图，连接 OM， C=90 CM=r， AOM ADC， OM： CD=AM：
4、 AC， 即 r： 1=（ 4-r）： 4， 解得 ， 故选 A 考点：本题考查了三角形的内切圆和内心 点评：解答本题的关键是作出辅助线 OM，证得 AOM ADC。同时熟练掌握相似三角形的对应边成比 例的性质。 在 Rt ABC中， C=90， AC=3， AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ） A 1.5， 2.5 B 2， 5 C 1， 2.5 D 2， 2.5 答案： C 试题分析：直角三角形的内切圆半径和其三边有特殊关系：三边中 a b为直角边， c为斜边，内切圆半径为 r，则 ；外接圆的半径就是斜边的一半 AB=5， AC=3， ， 外接圆半径 = AB=2.5， 四边形
5、ODCE是正方形，且 O 是 ABC的内切圆， 内切圆半径 = (AC+BC-AB)=1 故选 C 考点：本题考查的是三角形的内切圆与外接圆，勾股定理 点评：解决此题的关键是熟练掌握直角三角形的三边与外接圆半径，内切圆半径之间的关系 下列命题正确的是（ ） A三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B三角形的内心不一定在三角形的内部 C等边三角形的内心，外心重合 D一个圆一定有唯一一个外切三角形 答案： C 试题分析：根据三角形的内心的形成特征依次分析各项即可。 A三角形的内心是三角形内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等，故本选项错误； B三角形的内心是三角形内角平分线的交点，一定 在三角
6、形的内部，故本选项错误； C等边三角形的内心，外心重合，正确； D一个圆有无数个外切三角形，故本选项错误； 故选 C. 考点：本题考查的是三角形的内心的性质，角平分线的性质 点评：解答本题的关键是掌握三角形的内心是三角形内角平分线的交点，角平分线上的点到角两边的距离相等。 如图， ABC中， A=45， I是内心，则 BIC=（ ） A 112.5 B 112 C 125 D 55 答案： A 试题分析：由 A=45可得 ABC+ ACB的度数和，再根据三角形的内心是三角形内角平分线的交点，即可求得 IBC+ ICB的度数和，从而得到结果。 A=45， ABC+ ACB=180- A=135，
7、 I是内心， IBC+ ICB= ABC+ ACB=67.5， BIC=180-（ IBC+ ICB） =112.5， 故选 A. 考点：本题考查的是三角形的内心的性质，三角形的内角和定理 点评：解答本题的关键是掌握三角形的内心是三角形内角平分线的交点。 如图， O 是 ABC的内切圆， D， E， F是切点， A=50， C=60， 则 DOE=（ ） A 70 B 110 C 120 D 130 答案： B 试题分析：先根据三角形的内角和定理求出 B，再根据切线的性质和四边形的内角和即可求出结果 A=50， C=60， B=180-50-60=70； 又 D， E是切点， BEO= BDO
8、=90， DOE=360- B- BEO- BDO=110， 故选 B 考点：本题考查的是切线的性质，三角形的内角和定理 点评：解答本题的关键是掌握切线垂直于经过切点的半径，三角形的内角和为180，四边形的内角和为 360。 解答题 如图，已知 ABC的内切圆 O 分别和边 BC， AC， AB切于 D， E， F， 如果 AF=2， BD=7， CE=4 （ 1）求 ABC的三边长； （ 2）如果 P为 上一点，过 P作 O 的切线，交 AB于 M，交 BC 于 N，求 BMN 的周长 答案：（ 1） AB=9， BC=11， AC=6；（ 2） 14 试题分析：（ 1）根据切线长定理可得
9、AE=AF=2， BF=BD=7， CD=CE=4，即可求得 ABC的三边长； （ 2）根据切线长定理可得 MP=MF， NP=ND，即可求得结果。 （ 1） O 分别和边 BC， AC， AB切于点 D， E， F， AE=AF=2， BF=BD=7， CD=CE=4， AB= AF+ BF=9， BC= BD+ CD=11， AC= AE+ CE=6； （ 2） O 分别和 BC， AB， MN 切于点 D， F， P， MP=MF， NP=ND， MP+ NP =MF+ND， BM+MN+BN=BM+MP+ NP+ BN= BM+ MF+ND+ BN= BF+BD=14， 则 BMN 的
10、周长为 14 考点：本题考查的是三角形的内切圆与内心，切线长定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 如图，已知正三角形 ABC 的边长为 2a （ 1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积； （ 2）根据计算结果，要求圆环的面积， 只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积； （ 3）将条件中的 “正三角形 ”改为 “正方形 ”“正六边形 ”，你能得出怎样的结论？ （ 4）已知正 n 边形的边长为 2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环面积 答案：（ 1） a2；（ 2）弦 AB或 BC 或 AC； （
11、 3）圆环的面积均为 （ ） 2；（ 4） a2 试题分析：正多边形的边心距，半径，边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解 （ 1）设正三角形 ABC的中心为 O， BC 切 O 于点 D连接 OB、 OD， 则 OD BC， BD=DC=a； 则 S圆环 = OB2- OD2=（ OB2-OD2） = BD2 =a2 （ 2）只需测出弦 BC 的长（或 AC， AB） （ 3）结果一样，即 S圆环 =a2 （ 4） S圆环 =a2 考点：本题考查的是正多边形的内切圆与外接圆，勾股定理 点评：正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径，外接圆半径和高，中心角之
12、间的计转化为解直角三角形 阅读材料：如图（ 1）， ABC的周长为 L，内切圆 O 的半径为 r，连结OA， OB， ABC被划分为三个小三角形，用 S ABC表示 ABC的面积 S ABC =S OAB +S OBC +S OCA 又 S OAB = AB r， S OBC = BC r， S OCA = AC r S ABC = AB r+ BC r+ CA r = L r（可作为三角形内切圆半径公式） （ 1）理解与应用 ：利用公式计算边长分为 5， 12， 13的三角形内切圆半径； （ 2）类比与推理：若四边形 ABCD 存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（ 2）且面积为 S，各边长分
13、别为 a， b， c， d，试推导四边形的内切圆半径公式； （ 3）拓展与延伸：若一个 n边形（ n为不小于 3的整数）存在内切圆，且面积为 S，各边长分别为 a1， a2， a3， a -n，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由） 答案：（ 1） 2；（ 2） ；（ 3） 试题分析：读懂题意，根据题中所给结论依次分析各小题即可得到结果。 （ 1） ， 这是一个直角三角形， ， ， 解得 ； （ 2） ，解得 ； （ 3） ，解得 考点：本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形的面积公式 点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的面积公式：面积 = 底 高，同时掌握三角形的内心是三角形内角平分线
14、的交点，角平分线上的点到角两边的距离相等。 如图， ABC中， A=m （ 1）如图（ 1），当 O 是 ABC的内心时，求 BOC的度数； （ 2）如图（ 2），当 O 是 ABC的外心时，求 BOC的度数； （ 3）如图（ 3），当 O 是高线 BD与 CE的交点时，求 BOC的度数 答案：（ 1） 90+ m；（ 2） 2m ；（ 3） 180-m 试题分析：（ 1）若点 O 为 ABC的内心，利用结论可计算出 BOC； （ 2）若点 O 为 ABC的外心，则 BOC和 BAC是同弧所对的圆心角和圆周角，利用圆周角定理可求出 BOC； （ 3）根据四边形的内角和及对顶角相等即可得到结果
15、（ 1）若点 O 为 ABC的内心，则 BOC=90+ A=90+ m； （ 2）若点 O 是 ABC的外心，则 BOC=2 BAC=2m ； （ 3） BD与 CE是高， AEO= ADO=90， EOD=360- AEO- ADO- BAC =180-m， BOC= EOD=180-m 考点：本题考查的是外心和内心的定义，圆周角定理 点评：理解三角形外心和内心的定义，熟悉圆周角定理，记住三角形两内角的平分线的夹角等于 90度与第三个角一半的和，是解决本题的关键 如图， I切 ABC的边分别为 D， E， F， B=70， C=60， M是 上的动点（与 D， E不重合）， DMF的大小一定
16、吗？若一定，求出 DMF的大小；若不一定，请说明理由 答案： DMF的大小一定， DMF=65 试题分析：连接 DI、 FI，先由三 角形的内角和定理求出 A，然后根据切线的性质和四边形的内角和求出 DIF，最后根据圆周角定理即可得到 DMF的度数，从而判断结论 连接 DI、 FI， B=70， C=60， A=180-70-60=50， I切 ABC的边分别为 D， E， F， ADI= AFI=90， DIF =360- A- ADI- AFI =130， DMF = DIF =65， 故 DMF的大小一定， DMF=65 考点：本题考查的是切线的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理 点评
17、：解答本题的关键是掌握切线垂直于经过切点的半径，三角形的内角和为180，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 如图，在 ABC中， AB=AC，内切圆 O 与边 BC， AC， AB分别切于 D，E， F （ 1）求证： BF=CE； （ 2）若 C=30， CE=2 ，求 AC 的长 答案：（ 1）略；（ 2） AC=4 试题分析：（ 1）根据切线长定理可得 AF=AE，即可证得结论； （ 2）连接 AO、 DO，根据切线长定理及 AB=AC 可得 AD BC，根据切线长定理可得 CE=CD，再根据 C的余弦即可求得结果。 （ 1） 内切圆 O 与边 AC， AB分别切于 E， F，
18、AF=AE， AB=AC， BF=CE； （ 2）如图，连接 AO、 DO， 内切圆 O 与边 BC， AC， AB分别切于 D， E， F， AB=AC， CE=CD=2 ， AD BC， ， C=30， ， 解得 考点：本题考查的是三角形的内切圆与内心，切线长定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 如图， Rt ABC中， AC=8， BC=6， C=90， I分别切 AC， BC， AB于 D， E， F，求 Rt ABC的内心 I与外心 O 之间的距离 答案： 试题分析：连接 ID， IE， I
19、F， IB，证得四边形 CEID 为正方形，即得 ID=CE=2，从而得到 BF=BE=4， OF=1，再在 Rt IFO 中根据勾股定理即可求得 IO 如图，连接 ID， IE， IF， IB， 在 Rt ABC， C=90， AC=8， BC=6， AB=10， AO 为外接圆半径， AO=BO=5， 设 Rt ABC的内圆的半径为 r，则 ID=IE=r， C=90， 四边形 CEID是正方形， CE=CD=r， AD=AF=8-r， BE=BF=6-r， 即 8-r+6-r=10， 解得 r=2， AF=6 OF=AF-AO=1， 在 Rt IFO 中， 考点：本题考查的是直角三角形的外心与内心概念，内切圆的性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
