1、2012年沪科版初中数学八年级下 17.2勾股定理的逆定理练习卷与答案（带解析） 选择题 若 ABC的三边 a、 b、 c满足 (a-b)( a2+b2-c2)=0，则 ABC是 A等腰三角形 B等边三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 答案： D 试题分析：因为 a， b， c为三边，根据（ a-b）（ a2+b2-c2） =0，可找到这三边的数量关系 （ a-b）（ a2+b2-c2） =0， a=b或 a2+b2=c2， 当 a=b成立时，是等腰三角形， 当 a2+b2=c2时，是直角三角形， 故选 D. 考点：本题考查的是勾股定理的逆定理 点评：解答本题的关键是掌握两个数
2、的积为 0，则至少有一个数是 0. 已知，如图，一轮船以 16海里 /时的速度从港口 A出发向东北方向航行，另一轮船以 12海里 /时的速度同时从港口 A出发向东南方向航行，离开港口 2小时后，则两船相距 A 25海里 B 30海里 C 35海里 D 40海里 答案： D 试题分析：根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角然后根据路程 =速度 时间，得两条船分别走了 32， 24再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离 两船行驶的方向是东北方向和东南方向， BAC=90， 两小时后，两艘船分别行驶了 162=32， 122=24海里， 根据勾股定理得： （海里）， 2小时后两船相距 40海里
3、， 故选 D. 考点：本题考查的是勾股定理的应用 点评：解答本题的关键是熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单 已知，如图长方形 ABCD中， AB=3cm， AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点 D重合，折痕为 EF，则 ABE的面积为（ ） cm2 A 6 B 8 C 10 D 12 答案： A 试题分析：根据折叠的条件 可得： BE=DE，在直角 ABE中，利用勾股定理就可以求解 将此长方形折叠，使点 B与点 D重合，则 BE=ED AD=9cm=AE+DE=AE+BE BE=9-AE， 设 AE=xcm，则 ED=BE=（ 9-x） cm， 根据勾股定理可知 AB2+AE2=
4、BE2 32+x2=（ 9-x） 2， 解得： x=4， 即 AE=4 ABE的面积为 342=6cm2 故选 A 考点：本题考查的是勾股定理的应用 点评：解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可 将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D不能判断 答案： A 试题分析：设原直角三角形的两直角边长为 a、 b，斜边长为 c，由勾股定理可得 a2+b2=c2，求出扩大 n倍后的各边的边长，看是否满足勾股定理，若满足，则根据勾股定理的逆定理可得，该三角形是直角三角形 设原直角三角形的两直角边
5、长为 a、 b，斜边长为 c， 则，直角三角形的各边扩大 n倍后直角三角形的两直角边长为 na、 nb，斜边长为 nc 在原直角三角形中，由勾股定理得： a2+b2=c2， 即 n2a2+n2b2=n2（ a2+b2） =n2c2， 根据勾股定理的逆定理可得： 扩大后的三角形是直角三角形， 所以，得到的三角形一定是直角三角形 考点：本题主要考查了直角三角形的性质 点评：解答本题的关键在于灵活运用勾股定理及勾股定理的逆定理 下列命题中是假命题的是 A ABC中，若 B= C- A，则 ABC是直角三角形 . B ABC中，若 a2=(b+c)(b-c)，则 ABC是直角三角形 . C ABC中，
6、若 A B C=3 4 5，则 ABC是直角三角形 . D ABC中，若 a b c=5 4 3，则 ABC是直角三角形 . 答案： C 试题分析：若一个三角形中有一个直角，或三边满足勾股定理的逆定理，依次分析各项即可。 A. ABC中，若 B= C- A，则 C = A+ B，则 ABC是直角三角形，本选项正确； B. ABC中，若 a2=(b+c)(b-c)，则 a2=b2-c2， b2= a2+c2，则 ABC是直角三角形，本选项正确； C. ABC中，若 A B C=3 4 5，则 ，故本选项错误； D. ABC中，若 a b c=5 4 3，则 ABC是直角三角形，本选项 正确； 故
7、选 C. 考点：本题考查的是直角三角形的判定 点评：利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤： 确定三角形的最长边； 分别计算出最长边的平方与另两边的平方和； 比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等若相等，则此三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形 下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是 A 1.5， 2， 3 B 7， 24， 25 C 6， 8， 10 D 3， 4， 5 答案： A 试题分析：由勾股定理的逆定理可知，如果三角形的三边长 a、 b、 c（其中 c为最长边）满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，据此作答 A、 ， 以 1.5
8、， 2， 3为边的三角形不是直角三角形； B、 ， 以 7， 24， 25为边的三角形是直角三角形； C、 ， 以 6， 8， 10为边的三角形是直角三角形； D、 ， 以 3， 4， 5为边的三角形是直角三角形 故选 A 考点：本题考查的是直角三角形的判定 点评：利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤： 确定三角形的最长边； 分别计算出最长边的平方与另两边的平方和； 比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等若相等，则此三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形 一个直角三角形，有两边长分别为 6和 8，下列说法正确的是 A第三边一定为 10 B三角形的周长为 25 C三
9、角形的面积为 48 D第三边可能为 10 答案： D 试题分析：分情况讨论：主要看两个数中较大的数的情况， 8是斜边和 8不是斜边两种情况求解 当 8是斜边时，根据勾股定理 得第三边是 ； 当 8是直角边时，第三边是 ； 故选 D 考点：本题考查的是勾股定理 点评：此类题重点注意哪一条边是斜边不确定，所以要分两种情况考虑 直角三角形的斜边为 20cm，两条直角边之比为 3 4，那么这个直角三角形的周长为 A 27cm B 30cm C 40cm D 48cm 答案： D 试题分析：可根据一个直角三角形的两条直角边长的比是 3： 4，得出两直角边为 3x， 4x，再利用勾股定理，直接代入即可求得
10、结果 一个直角三角形的两条直角边长的比是 3： 4， 设两条直角边长的长是 3x， 4x， （ 3x） 2+（ 4x） 2=202， 解得： x=4或 -4（不合题意舍去） 3x=12， 4x=16， 这个三角形的周长是： 12+16+20=48cm 故选 D. 考点：本题考查的是勾股定理的应用 点评：利用两直角边的比值表示出两直角边的长是解题关键 填空题 在 Rt ABC中， C=90，（ 1）若 a=5， b=12，则 c= ； （ 2） b=8， c=17 ，则 = 答案：； 60 试题分析：（ 1）在 Rt ABC中，利用勾股定理即可求得 c的值； （ 2）在 Rt ABC中，利用勾股
11、定理求得直角边 a的值，然后根据三角形的面积公式求得 ABC的面积 （ 1） 在 Rt ABC中， C=90， a=5， b=12， c2=a2+b2=52+122=132， c=13； （ 2） 在 Rt ABC中， C=90， b=8， c=17， a2= c2-b2=172-82=225， a=15， S ABC= 158=60 考点：本题考查的是勾股定理 点评：解答本题的关键是熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单 在 ABC中，点 D为 BC 的中点， BD=3， AD=4， AB=5，则AC=_ 答案： 试题分析：根据 BD， AD， AB的长度可以判定 ABD为直角三角形，
12、即AD BC，又 D 为 BC 的中点，可以判定 ABC 为等腰三角形，从而求得结果 在 ABD中，已知 AB=5， AD=4， BD=3， 满足 AB2=AD2+BD2， ABD是直角三角形， 即 AD BC， 又 D为 BC 的中点， ABC为等腰三角形，且 AB=AC， AC=5 考点：本题考查的是直角三角形的判定，等腰三角形的性质 点评：本题中首先要根据勾股定理的逆定理来判定直角三角形，求证 ABC是等腰三角形是解题的关键 已知两条线段的长为 5cm和 12cm，当第三条线段的长为 cm时，这三条线段能组成一个直角三角形 . 答案： 或 13 试题分析：分情况讨论：主要看两个数中较大的
13、数的情况， 12是斜边和 12不是斜边两种情况求解 当 12是斜边时，根据勾股定理得第三边是 ； 当 12是直角边时，第三边是 ； 故第三条线段的长为 或 13cm时，这三条线段能组成一个直角三角形 . 考点：本题考查的是勾股定理 点评：此类题重点注意哪一条边是斜边不确定，所以要分两种情况考虑 等边三角形的边长为 6，则它的高是 _ 答案： 试题分析：根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解高 由题意的底边的一半是 3，再根据勾股定理，得它的高为 考点：本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理 点评：解答本题的关键是掌握好等腰三角形的三线合一：底边上的高、中线，顶角平分线重合。 ABC
14、中，若 ， AC= ，则 A= ， AB= ， S ABC = 答案：， 6， 试题分析：由 ，设 ，则 ， ，根据三角形的内角和为 180即可列出方程求得 x的值，从而得到三角形的形状，再根据特征求解。 设 ，则 ， ， 则 ， 解得 ， ， ， ， AC= 解得 S ABC 考点：本题考查的是三角形的内角和，勾股定理 点评：解答本题的关键是由 得到 ABC是一个含 30度角的直角三角形，同时掌握 30度角所对的直角边等于斜边的一半。 已知甲、乙两人从同一处出发，甲往东走了 4km，乙往南走了 3km，这时甲、乙两人相距 千米 答案： 试题分析：因为甲向东走，乙向南走，其刚好构成一个直角两人
15、走的距离分别是两直角边，则根据勾股定理可求得斜边即两人的距离 如图， AOB=90， OA=4km， OB=3km， ， 则这 时甲、乙两人相距 5千米 考点：本题考查的是勾股定理的应用 点评：善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键 解答题 已知：如图，四边形 ABCD中， B， D是 Rt ， A=45，若 DC=2cm，AB=5cm，求 AD和 BC 的长 答案： AD=（ ） cm， BC =（ ） cm. 试题分析：延长 BC 和 AD交于点 E，构造两个等腰直角三角形，在等腰直角三角形中求出相应的线段的长即可 如图，延长 BC 和 AD交于点 E， B， D是 90， A=45，
16、 E= ECD=45， EDC=90， AB=5， DC=2cm， EC=AB=5cm， DC=ED=2cm， 在 Rt ABC和 Rt EDC中， 由勾股定理得： ， ， AD=AE-DE=（ ） cm， BC=BE-EC=（ ） cm. 考点：本题考查了勾股定理的应用 点评：在解题时延长四边形的两边构造直角三角形是解决本题的关键 已知：如图， ABC中， C=90， D是 AC 的中点。求证：AB2+3BC2=4BD2。 答案：见 试题分析：由 C=90根据勾股定理可得 ， ，再根据 D是 AC 的中点可得 ，代入 分析即可得到结论。 由题意得 ， ， D是 AC的中点， ， ， ， ，
17、， 考点：本题考查的是勾股定理的应用 点评：解答本题的关键是把 代入 得到已知：如图，在 ABC中， AB 15， BC 14， AC 13求 ABC的面积 答案： 试题分析：先作 ABC的高 AD，那么题中有两个直角三角形 AD在这两个直角三角形中，设 BD为未知数，可利用勾股定理都表示出 AD长求得 BD长，再根据勾股定理求得 AD长，从而求得结果 如图，作 ABC的高 AD， 设 BD=x，则 CD=14-x，在 Rt ABD中， AD2+x2=152， 在 Rt ADC 中， AD2=132-（ 14-x） 2， 所以有 152-x2=132-（ 14-x） 2， 解得 x=9， 在
18、Rt ABD中， ， 考点：本题考查了勾股定理的应用 点评：解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点主要利用了勾股定理进行解答 作图题：在数轴上作出 对应的点 . （保留作图痕迹，不写作法） 答案：如图： 试题分析：因为 5=1+4，所以只需作出以 1和 2为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是 然后以原点为圆心，以 为半径画弧，和数轴的正半轴交于一点即可 如图： 过 表示数 1的点 A作数轴的垂线 AB，取 AB=2，以 O 为圆心， OB为半径画弧与数轴相交于点 P，则 P点就是表示 的点 考点：本题考查了无理数用数轴上的点表示的方法 点评：无理数也可以在数轴上表示出来，但应
19、先把它整理为有形的线段长 如图，一根旗杆在离地面 处决裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 12m处，旗杆折断之前有多高？ 答案： m. 试题分析：先根据勾股定理求出斜边 AB 的长，即可得到旗杆折断之前的高度。 旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为 12m，旗杆离地面 9m折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形 根据勾股定理， ， 所以旗杆折断之前大致有 15m+9m=24m. 考点：本题考查的是勾股定理的应用 点评：解答本题的关键是掌握旗杆折断之前的高度不仅是斜边的长，还包括了AC 边。 在 ABC中， BC=m2-n2， AC=2mn， AB=m2+n2(m n)，
20、 求证： ABC是直角三角形。 答案：见 试题分析：分别求出 、 、 ，再分析结果即可判断。 ， ， ， ， ABC是直角三角形。 考点：本题考查的是直角三角形的判定 点评：解答本题的关键是灵活运用完全 平方公式发现 如图， A、 B两个小集镇在河流 CD的同侧，分别到河的距离为 AC=10千米，BD=30 千米，且 CD=30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A、 B两镇供水，铺设水管的费用为每千米 3万，请你在河流 CD上选择水厂的位置 M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 答案：万元 试题分析：先作点 A的对称点 A，连接点 B和点 A，交 l于点 M， M即所求作的点，
21、过点 A作 AA的垂线，延长 BD 交 AA于点 K，根据轴对称的性质，知： MA+MB=AB根据勾股定理即可求解 作 A关于 CD的对称点 A，连接 AB与 CD，交点为 M，点 M即为所求作的点，过点 A作 AA的垂线，延长 BD交 AA于点 K AC BD， CD AK， AK=CD=60千米， BK=BD+DK=60+20=80千米， 在 RtABK中， 千米， 铺设水管的费用为每千米 3万元， 所需费用 =1003=300（万元） 答：铺设水管最节省的总费用是 300万元 考点：本题考查的是轴对称 -最短路线问题 点评：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键
