1、2012年浙教版初中数学八年级上 2.6探索勾股定理练习卷与答案（带解析） 选择题 边长分别是下列各组数的三角形中，能组成直角三角形的是（ ） A 5， 10， 13 B 5， 7， 8。 C 7， 24， 25。 D 8， 25， 27。 答案： C 试题分析：根据勾股定理的逆定理，分析各组数是否满足 ，即可判断。 A、 ，故不能组成直角三角形，本选项错误； B、 ，故不能组成直角三角形，本选项错误； C、 ，故能组成直角三角形，本选项正确； D、 ，故不能组成直角三角形，本选项错误； 故选 C. 考点：本题考查的是直角三角形的判定 点评：解答本题的关键是掌握好勾股定理的逆定理。 满足下列条
2、件的 ABC，不是直角三角形的是（ ） A b2=a2-c2 B a b c=3 4 5 C C= A- B D A B C=12 13 5 答案： C 试题分析：分析各项是否能够得到直角或各组数是否满足勾股定理的逆定理，即可判断。 A、由 b2=c2-a2得 c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； B、由 a： b： c=3： 4： 5得 c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； C、由三角形三个角度数和是 180及 C= A- B解得 A=90，故是故是直角三角形； D、由 A： B： C=12： 13： 15，及 A+ B+ C=180得 A=54， B=5
3、8.5， C=67.5，没有 90角，故不是直角三角形 故选 D 考点：本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理 点评：掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键 已知有不重合的两点 A和 B，以点 A和点 B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出（ ） A 2个 B 4个 C 6个 D 8个 答 案： C 试题分析：连接 AB，分别以 A、 B为直角顶点在 AB的两边确定另一顶点位置，再以 AB为斜边，再 AB的两边确定另一顶点的位置，作出图形即可得解 此题应分三种情况： 以 AB为腰，点 A为直角顶点； 可作 ABC1、 ABC2，两个等腰直角三角形； 以 AB
4、为腰，点 B为直角顶点； 可作 BAC3、 BAC4，两个等腰直角三角形； 以 AB为底，点 C为直角顶点； 可作 ABC5、 ABC6，两个等腰直角三角形； 综上可知，可作 6个等腰直角三角形，故选 C 考点：本题考查了等腰直角三角形 点评：等腰直角三角形两腰相等，顶角为直角，据此可以构造出等腰直角三角形难点在于分 AB是直角边与斜边两种情况并且在 AB的两边确定第三个顶点的位置，作出图形更形象直观 填空题 勾股定理说的是 。 答案：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方 试题分析：根据勾股定理的定义直接解答。 勾股定理说的是：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方 考点：本
5、题考查的是勾股定理 点评：解答本题的关键在是掌握好勾股定理的定义，而在直角三角形中是使用勾股定理的前提。 如果三角形中 等于 ，那么这个三角形是直角三角形， 所对的角是直角。 答案：两条较小边的平方和，最大边的平方，最大边 试题分析：根据勾股定理的逆定理即可得到结论。 如果三角形中两条较小边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大边所对的角是直角。 考点：本题考查的是直角三角形的判定 点评：解答本题的关键是掌握好勾股定理的逆定理。 在 ABC中，已知 AB=40， BC=41， AC=9，则 BAC= 度。 答案： 试题分析：根据勾股定理的逆定理，由 可得 ABC 是直角三角
6、形，最大边所对的角是直角。 ABC是直角三角形 最大边是 BC BAC= 考点：本题考查的是直角三角形的判定 点评：解答本题的关键是掌握好勾股定理的逆定理，注意最大边所对的角是直角。 如图， ABC是 Rt， BC是斜边， P是三角形内一点，将 ABP绕点 A逆时针旋转后，能与 ACP重合，如果 AP=3，那么 PP的长等于 。答案： 试题分析：根据旋转的性质，知：旋转角度是 90，根据旋转的性质得出AP=AP=3，即 PAP是等腰直角三角形，腰长 AP=3，则可用勾股定理求出斜边 PP的长 ABP绕点 A逆时针旋转后与 ACP重合， ABP ACP， 即线段 AB旋转后到 AC， 旋转了 9
7、0， PAP= BAC=90， AP=AP=3， PP= 考点：本题考查旋转的性质和直角三角形的性质 点评：解答本题的关键是掌握旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等 直角三角形的周长是 24cm，斜边上的中线长为 5cm，则此三角形的面积是 。 答案： cm2 试题分析：根据直角三角形斜边上的中线求出 AB，求出 AC+BC，两边平方后代入 AB求出 ACBC的值，即可求出答案： 如图所示： CD是直角三角形 ABC斜边上的中线， AB=2CD=10， 直角三角形 ABC的周长是 24， AC+BC=14， 两边平方得： AC2+2AC BC
8、+BC2=196， 由勾股定理得： AC2+BC2=AB2=100， 2AC BC=96， ACBC=48， 此三角形的面积是 24cm2。 考点：本题主要考查的是三角形的面积，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，完全平方公式 点评：本题主要考查对三角形的面积，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，完全平方公式等知识点的理解和掌握，能根据性质求出 ACBC的值是解此题的关键 直角三角形的两边长分别是 3cm、 4cm，则第三边长是 。 答案： cm或 cm 试题分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即 4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾
9、股定理求解 当 4cm是斜边时，第三边长 ； 当 3cm和 4cm是直角边时，第三边长 ； 则第三边长是 5cm或 cm. 考点：本题考查了利用勾股定理解直角三角形 点评：当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解 解答题 如图，有两棵树，一棵高 10米，另一棵高 4米，两树相距 8米一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？答案： m 试题分析：根据 “两点之间线段最短 ”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出 如图，设大树高为 AB=10m， 小树高为 CD=4m， 过 C点作 CE
10、 AB于 E，则 EBDC是矩形，连接 AC， EB=4m， EC=8m， AE=AB-EB=10-4=6m， 在 Rt AEC中， ， 故小鸟至少飞行 10m 考点：本题考查的是勾股定理的应用 点评：善于观察题目的信息构造图形是解题以及学好数学的关键 在 ABC中，三条边长分别为 2n2+2n， 2n+1， 2n2+2n+1（ n 0）。那么 ABC是直角三角形吗？请说明理由。 答案：是 试题分析：首先根据 n为大于 1的自然数，判定该三角形的最长边，然后利用勾股定理逆定理即可进行判定 因为 n为大于 1的自然数，所以 c是最长边 a2+b2=4n4+8n3+8n2+4n+1， c2=4n4
11、+8n3+8n2+4n+1， a2+b2=c2， ABC为直角三角形 考点：本题考查的是直角三角形的判定 点评：此题主要考查学生对勾股定理逆定理的理解和掌握，此题的难点在于化简 a2+b2=4n4+8n3+8n2+4n+1 根据三角形的三边 a， b， c的长，判断三角形是不是直角三角形： （ 1） a=11， b=60， c=61； （ 2） a= ， b=1， c= ； 答案：（ 1）是（ 2）不是 试题分析：根据勾股定理的逆定理，分析各组数是否满足 ，即可判断。 （ 1） ，故三角形是直角三角形 ； （ 2） ，故三角形不是直角三角形。 考点：本题考查的是直角三角形的判定 点评：解答本题
12、的关键是掌握好勾股定理的逆定理。 如图，四边形 ABCD，已知 A=90， AB=3， BC=12， CD=13， DA=4求四边形的面积 答案： 试题分析：连接 BD可得 ABD与 BCD均为直角三角形，根据直角三角形的面积公式即可求得四边形的面积 如图，连接 BD， AB=3， BC=12， CD=13， DA=4， A=90， ， ， BCD均为直角三角形， 考点：本他考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，直角三角形的面积公式 点评：解答本题的关键是运用勾股定理逆定理求三角形是直角三角形 如图，在 ABC中， AD BC，垂足为 D， B=60， C=45 （ 1）求 BAC的度数
13、（ 2）若 AC=2，求 AD的长 答案：（ 1） 75；（ 2） 试题分析：（ 1）根据三角形内角和定理，即可推出 BAC的度数； （ 2）由题意可知 AD=DC，根据勾股定理，即可推出 AD的长度 （ 1） BAC=180-60-45=75； （ 2） AD BC， ADC是直角三角形， C=45， DAC=45， AD=DC， AC=2， 考点：本题主要考查勾股定理、三角形内角和定理 点评：解答本题的关键是根据三角形内角和定理推出 AD=DC 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把 “数形关系 ”（勾股定
14、理）带到其他星球，作为地球人与其他星球 “人 ”进行第一次 “谈话 ”的语言 定理表述 请你根据图 1中的直角三角形，写出勾股定理内容； 尝试证明 以图 1中的直角三角形 为基础，可以构造出以 a、 b为底，以 a+b为高的直角梯形（如图 2），请你利用图 2，验证勾股定理 答案：见 试题分析：通过把梯形的面积分解为三个三角形的面积之和得出，即可证明 定理表述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 ， 又 ， ， 化简得 考点：本题考查的是勾股定理的证明 点评：本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法 如图，如图，在 ABC中， AD BC于 D， ABC=2
15、C，求证：AC2=AB2+AB BC 答案：见 试题分析：为了把 ABC=2 C转化成两个角相等的条件，可以构造辅助线：在 DC上取 DE=BD，连接 AE 根据线段的垂直平分线的性质以及三角形的内角和定理的推论能够证明AB=CE再根据勾股定理表示出 AC2， AB2再运用代数中的公式进行计算就可证明 如图，在 DC上取 DE=BD，连接 AE 则 AE=AB， ABC= AEB ABC=2 C， 又 AEB= C+ EAC， EAC= C， AE=EC， CE=AB 在 Rt ABD和 Rt ACD中， AC2=AD2+CD2， AB2=AD2+BD2， AC2-AB2=（ AD2+CD2）
16、 -（ AD2+BD2） =CD2-BD2 =（ CD+BD）（ CD-BD） =BC （ CD-DE） =BC CE=BC AB 即 AC2=AB2+BC AB 考点：本题考查了勾股定理的应用 点评：运用了线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理的推论、等角对等边、勾股定理以及平方差公式的知识 在直角三角形中，如果两直角边之和为 17，两直角边之差的平方为 49，求斜边的长。 答案： 试题分析：设两直角边为 a和 b，斜边为 c，由两直角边之和为 17得 ，平方得 ， 再根据两直角边之差的平方为 49，可得 ，即可求得 的值，从而得到结果。 设两直角边为 a和 b，斜边为 c，由题意得 整理
17、得 ， 两式相加得 ， 则 ，即 ， ， 答：斜边的长为 13. 考点：本题考查的是勾股定理，完全平方公式 点评：解答本题的关键是掌握好勾股定理，由方程组得到 解题的核心。 如图，在四边形 ABCD中， AB=8， BC=1， DAB=30， ABC=60，四边形 ABCD的面积为 5 ，求 AD的长。 答案： 试题分析：通过作辅助线构造直角三角形 ABE，根据直角三角形的特点与勾股定理求出 BE和 AE的长，然后求出 ABE的面积；根据 ABE与四边形面积之间的关系求出 DE的长，即可求出 AD的长 如图，延长 AD、 BC交于 E， DAB=30， ABC=60， AEB=90， ， ，
18、CDE的面积 = ABE的面积 -四边形 ABCD的面积 ， CE=BE-BC=4-1=3， ， ， 则 考点：本题考查综合应用解直角三角形进行逻辑推理的能力和运算能力 点评：解答本题的关键是作辅助线构造直角三角形。 在 ABC中， C=Rt ， BC=a， AC=b， AB=c。 （ 1） a=9， b=12，求 c； （ 2） a=9， c=41，求 b； （ 3） a=11， b=13，求以 c为边的正方形的面积。 答案：（ 1） 15（ 2） 40（ 3） 290 试题分析：根据勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，即可求得结果。 （ 1） C=Rt ， ， 解得
19、； （ 2） C=Rt ， ， 解得 ； （ 1） C=Rt ， ， ， 解得 ， 以 c为边的正方形的面积为 考点：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用 点评：本题中正确的根据勾股定理求值是解题的关键，把 看作一个整体是求正方形面积的关键点。 一架长 5米的梯子 AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底 3米如果梯子的顶端沿墙下滑 1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动 1米吗？用所学知识，论证你的结论 答案：滑动 1米 试题分析：由题意可知滑动时，三角形的斜边始终保持不变，再根据勾股定理求出 CE的长，与 BC比较后即得结果。 是 在 Rt ACB中， BC=3， AB=5， 则 米， DC=4-1=3米 在 Rt DCE中， DC=3， DE=5， 则 米， BE=CE-CB=1即梯子底端也滑动了 1米 考点： 本题考查的是勾股定理的应用 点评：此题考查了学生对勾股定理的理解及运用能力，解答此题时要注意梯子在滑动前后的长度不变
